2022-2023學(xué)年河南省焦作市沁陽市高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．命題“任意，”的否定是（   ）A．存在， B．存在，C．任意， D．任意，【答案】B【分析】根據(jù)全稱命題與存在性命題的之間的關(guān)系，準(zhǔn)確改寫，即可求解.【詳解】根據(jù)全稱命題與存在性命題的之間的關(guān)系，可得：命題“任意，”的否定是“存在，”.故選：B.2．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則的值為（   ）A．10 B．20 C．25 D．30【答案】D【分析】利用等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)求得，進(jìn)而求得的值.【詳解】等差數(shù)列中，，則，則故選：D3．關(guān)于的不等式的解集是，則的取值范圍是A． B． C． D．【答案】C【詳解】∵ ∴∵不等式的解集是∴用數(shù)軸表示如圖：∴，故選C4．已知，，，d均為實(shí)數(shù)，下列不等關(guān)系推導(dǎo)成立的是（    ）A．若， B．若，C．若， D．若，【答案】D【分析】舉反例否定選項(xiàng)AB；求得的正負(fù)判斷選項(xiàng)C；求得的大小關(guān)系判斷選項(xiàng)D.【詳解】由，，可得，則選項(xiàng)A判斷錯(cuò)誤；由，，可得，則選項(xiàng)B判斷錯(cuò)誤；，又，則.則選項(xiàng)C判斷錯(cuò)誤；由，可得，又，則，則.則選項(xiàng)D判斷正確.故選：D5．在中，角A，，的對邊分別為，，，若，則角A與角的關(guān)系為（   ）A． B．C．且 D．或【答案】D【分析】利用正弦定理和余弦定理求得，，之間的關(guān)系，進(jìn)而得到角A與角的關(guān)系.【詳解】由，可得，則，則，則，則，整理得，則或，則或.故選：D6．已知數(shù)列，，，，，，…，，，，…，，則其第43項(xiàng)為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】運(yùn)用歸納及等差數(shù)列前n項(xiàng)和求解即可.【詳解】以1為分母的有1項(xiàng)：；以2為分母的有2項(xiàng)：，；以3為分母的有3項(xiàng)：，，；…；以此類推：以n為分母的有n項(xiàng)：，，……，.所以，又因?yàn)?/span>，可得第項(xiàng)為分母為的第個(gè)數(shù)，所以此數(shù)列的第43項(xiàng)為：.故選：C.7．已知點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)滿足：，設(shè)，則的最大值是（    ）A．-6 B．1 C．2 D．4【答案】D【分析】先由不等式組得到可行域，將目標(biāo)函數(shù)化為，由圖像得到在過點(diǎn)時(shí)取得最大值，代入約束條件求解即可．【詳解】解：不等式組，它的可行域如圖：為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)，則，，所以，則，如圖直線經(jīng)過可行域的點(diǎn)時(shí)縱截距最大，即取得最大值，由，解得，即，將代入得，故選：D．8．已知命題，命題.若是的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題意可知：，解得： ，， ， ，: 或，: 或 ，若是的充分條件，則是的子集， 且 ，解得 .故答案為9．設(shè)，分別為雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P為雙曲線右支上一點(diǎn)，M是的中點(diǎn)，且，，則雙曲線的離心率為（    ）A．5 B． C． D．4【答案】A【分析】根據(jù)幾何關(guān)系，可知，再結(jié)合雙曲線的定義，即可求得雙曲線的離心率.【詳解】點(diǎn)分別是線段和的中點(diǎn)，所以，因?yàn)?/span>，所以，因?yàn)?/span>，，解得：，，，即，解得：.故選：A10．在棱長為2的正方體，中，、分別是、的中點(diǎn)，則點(diǎn)到截面的距離為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量點(diǎn)到平面距離公式進(jìn)行計(jì)算.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，故設(shè)平面的法向量為，所以點(diǎn)到截面的距離為.故選：B11．已知是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)到直線和的距離之和的最小值是（    ）A．3 B．4 C． D．6【答案】B【分析】先判斷直線與拋物線的位置關(guān)系，過點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，連接，根據(jù)拋物線的定義，得到，推出，結(jié)合圖形，可得，，共線時(shí)，最小，進(jìn)而可得出結(jié)果.【詳解】由消去得，因?yàn)?/span>，所以方程無解，即直線與拋物線無交點(diǎn)；過點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，記拋物線的焦點(diǎn)為，連接，因?yàn)?/span>點(diǎn)到直線的距離為,為拋物線的準(zhǔn)線，根據(jù)拋物的定義可得，，則到直線和的距離之和為，若，，三點(diǎn)不共線，則有，當(dāng)，，三點(diǎn)共線，且位于之間時(shí)，，則，又，所以，即所求距離和的最小值為.故選：.12．如下圖，兩點(diǎn)都在河的對岸（不可到達(dá)），為了測量兩點(diǎn)間的距離，選取一條基張，測得：，，，則(   )A． B． C． D．?dāng)?shù)據(jù)不夠，無法計(jì)算【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，確定，再借助直角三角形勾股定理計(jì)算作答.【詳解】在四邊形中，因?yàn)?/span>，，有，則，令交于，則，，顯然，于是，而，因此，解得.故選：A 二、填空題13．在中，其三邊分別為，，且三角形的面積，則角__________.【答案】/【分析】根據(jù)面積公式結(jié)合余弦定理計(jì)算出的值，即可求解出的值.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，則，又，所以.故答案為：.14．已知數(shù)列滿足，，則__________．【答案】【分析】依題意可得，即可得到是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，從而求出，即可得解.【詳解】解：由，，同時(shí)除以可得.即是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列.所以，即.故答案為：.15．過橢圓內(nèi)一點(diǎn)，且被這點(diǎn)平分的弦所在直線的方程是___.【答案】【分析】利用點(diǎn)差法即可求得過點(diǎn)且被點(diǎn)P平分的弦所在直線的方程.【詳解】設(shè)該直線與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)分別為，則又，，兩式相減得則，則，則所求直線方程為，即經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.故答案為：16．已知函數(shù)，若正實(shí)數(shù)，滿足.則的最小值為__________.【答案】1【分析】先判斷的單調(diào)性和奇偶性，求出a與b的關(guān)系，再運(yùn)用基本不等式求解.【詳解】是奇函數(shù)；又 ，是單調(diào)增函數(shù)，由得 ， ，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；故答案為：1. 三、解答題17．已知命題p：方程(a>0)表示雙曲線，命題q：方程表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓．(1)若命題q為真命題，求m的取值范圍；(2)若p是q的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）；（2）【分析】（1）命題q為真命題，即方程表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，只需要滿足2－m＞m－1＞0 即可；（2）p是q的充分不必要條件，則p命題下m的范圍是q命題下m的范圍的子集.【詳解】(1)∵命題q為真命題，∴2－m＞m－1＞0，∴1＜m＜.(2)方程＋＝1(a>0)表示雙曲線，則(m－3a)(m－4a)＜0(a＞0)，解得3a＜m＜4a，∵p是q的充分不必要條件，∴解得≤a≤.【點(diǎn)睛】判斷充要條件的方法是：①若p?q為真命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的充分不必要條件；②若p?q為假命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的必要不充分條件；③若p?q為真命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的充要條件；④若p?q為假命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的即不充分也不必要條件．⑤判斷命題p與命題q所表示的范圍，再根據(jù)“誰大誰必要，誰小誰充分”的原則，判斷命題p與命題q的關(guān)系．18．的內(nèi)角的對邊分別為，已知.(1)求角的大小；(2)若，的面積為，求的周長.【答案】(1)(2). 【分析】（1）由正弦定理和兩角和的正弦公式，化簡得，求得，即可求得值；（2）由余弦定理求得，再由，求得，進(jìn)而得到，即可得到的周長.【詳解】（1）解：因?yàn)?/span>，由正弦定理化簡得，整理得，因?yàn)?/span>，可得，且，所以，又因?yàn)?/span>，所以.（2）解：由余弦定理，可得，即，又由，解得，將代入，可得，所以，故的周長為.19．已知數(shù)列滿足，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.（1）求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)；(2).【詳解】試題分析：（1）由等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式可得an；運(yùn)用數(shù)列的遞推式：當(dāng)n=1時(shí)，b1=S1，當(dāng)n≥2時(shí)，bn=Sn-Sn-1，即可得到{bn}的通項(xiàng)公式；（2）由（1）知cn=，運(yùn)用數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，即可得到所求和．試題解析：（1）因?yàn)?/span>， ，所以為首項(xiàng)是1，公差為2的等差數(shù)列，所以                              又當(dāng)時(shí)， ，所以，當(dāng)時(shí)， …①    …②由①-②得，即，                       所以是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，故.       （2）由（1）知，則    ①    ②①-②得                    所以                                         點(diǎn)睛：用錯(cuò)位相減法求和應(yīng)注意的問題(1)要善于識(shí)別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形；(2)在寫出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出“Sn－qSn”的表達(dá)式；(3)在應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種情況求解.20．已知橢圓C：的焦距為2，以橢圓短軸為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)，橢圓的右頂點(diǎn)為A．求橢圓C的方程；過點(diǎn)的直線l與橢圓C相交于兩個(gè)不同的交點(diǎn)P，Q，記直線AP，AQ的斜率分別為，，問是否為定值？并證明你的結(jié)論．【答案】（1） (2)見解析【分析】由已知求得c與b，再由隱含條件求得a，則橢圓方程可求；當(dāng)直線PQ的斜率不存在時(shí)，顯然不合題意；當(dāng)直線PQ的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，與橢圓方程聯(lián)立，化為關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合斜率公式即可求得為定值．【詳解】由題意可知，，則，，，可得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為；當(dāng)直線PQ的斜率不存在時(shí)，顯然不合題意；當(dāng)直線PQ的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，即，聯(lián)立方程組 ，得．由，得．設(shè)，則，．．所以為定值．【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用問題,解答此類題目，通常聯(lián)立直線方程與橢圓（圓錐曲線）方程的方程組，應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解，此類問題易錯(cuò)點(diǎn)是復(fù)雜式子的變形能力不足，導(dǎo)致錯(cuò)漏百出，本題能較好的考查考生的邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力、分析問題解決問題的能力等.21．如圖所示，在底面為平行四邊形的四棱錐中，,平面，且，，點(diǎn)是的中點(diǎn)．    （1）求證：平面；（2）求二面角的大?。?/span>【答案】（1）見解析（2）【詳解】試題分析：（1）一般線面平行考慮連接中點(diǎn)，形成中位線，連BD交AC于M,連接EM即可；（2）以A為原點(diǎn)建系，顯然只需求平面EAC的法向量，利用法向量求二面角．試題解析：∵平面，，平面，∴，，且，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系．（1）∵，，∴，∴，，設(shè)平面的法向量為，則，取，得．又，所以，∵，∴，又平面，因此，平面．（2）∵平面的一個(gè)法向量為，由（1）知，平面的法向量為，設(shè)二面角的平面角為（為鈍角），則，得：．所以二面角的大小為．22．已知拋物線，過拋物線C的焦點(diǎn)F作互相垂直的兩條直線AB，CD，與拋物線C分別相交于A，B和C，D，點(diǎn)A，C在x軸上方.（1）若直線AB的傾斜角為，求的值；（2）設(shè)與的面積之和為S，求S的最小值.【答案】（1）（2）8【分析】（1）先求出直線直線AB的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理和拋物線的性質(zhì)即可求出；（2）設(shè)直線AB的方程為，則CD為，分別根據(jù)韋達(dá)定理和基本不等式即可求出S的最小值.【詳解】解：（1）直線AB的方程為，設(shè)，，由，消y可得，∴，∴.（2）由已知條件得直線AB的斜率存在且不為0，設(shè)直線AB的方程為，則CD為，設(shè)，，，，由，消y可得，∴，，∴，∴，由，消y可得，∴1，，∴，∴∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故S的最小值為8.【點(diǎn)睛】本題考查了直線和拋物線的位置關(guān)系，韋達(dá)定理，考查了運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題. 

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