2022-2023學年河南省洛陽市高二下學期期中考試數(shù)學（文）試題 一、單選題1．直線運動的物體，從時刻到時，物體的位移為，那么為A．從時刻到時，物體的平均速度B．從時刻到時位移的平均變化率C．當時刻為時該物體的速度D．該物體在時刻的瞬時速度【答案】D【分析】根據(jù)題意，由變化率與導數(shù)的關系，分析可得答案.【詳解】根據(jù)題意，直線運動的物體，從時刻到時，時間的變化量為，而物體的位移為，那么為該物體在時刻的瞬時速度.故選：D.【點睛】本題考查變化率的定義，涉及導數(shù)的定義，屬于基礎題．2．假設某地在20年間的年均通貨膨脹率為5％，物價（單位：元）與時間（單位：年）之間的關系為，其中為時的物價.假定某種商品的，那么在第10個年頭，這種商品的價格上漲的速度大約為（精確到0.001元／年）（    ）附：，，.A．0.079元／年 B．0.076元／年C．1.629元／年 D．1.551元／年【答案】A【分析】根據(jù)導數(shù)的幾何意義求解.【詳解】由題意，  ，則 時，商品價格上漲的速度 ；故選：A.3．小明騎車上學，開始時勻速行駛，途中因交通堵塞停留了一段時間，后為了趕時間加快速度行駛．與以上事件吻合得最好的圖象是（　?。?/span>A． B．C． D．【答案】C【分析】先研究四個選項中圖象的特征，再對照小明上學路上的運動特征，兩者對應即可選出正確選項.【詳解】考查四個選項，橫坐標表示時間，縱坐標表示的是離開學校的距離，由此知，此函數(shù)圖象一定是下降的，由此排除A；再由小明騎車上學，開始時勻速行駛可得出圖象開始一段是直線下降型，又途中因交通堵塞停留了一段時間，故此時有一段函數(shù)圖象與x軸平行，由此排除D，之后為了趕時間加快速度行駛，此一段時間段內(nèi)函數(shù)圖象下降的比較快，由此可確定C正確，B不正確．故選C．【點睛】本題考查函數(shù)的表示方法，關鍵是理解坐標系的度量與小明上學的運動特征，屬于基礎題.4．曲線在點處的切線垂直于直線，則（    ）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】求出函數(shù)的導數(shù)后可求切線的斜率，從而可得關于的方程，解出后可得正確的選項.【詳解】，所以，因為在點處的切線垂直于直線，故切線的斜率為，故即，故選：D.5．的展開式的第6項的系數(shù)是A． B． C． D．【答案】C【分析】先寫出二項式展開式的通項，通過通項求解.【詳解】由題得，令r=5,所以，所以的展開式的第6項的系數(shù)是.故選C【點睛】本題主要考查二項式展開式的系數(shù)問題，意在考查學生對該知識的理解掌握水平，屬于基礎題.6．6名同學排成一排，其中甲、乙、丙三人必須在一起的不同排法共有（    ）A．36種 B．72種 C．144種 D．720種【答案】C【分析】利用捆綁法可求不同的排法.【詳解】甲、乙、丙三人在一起，有種不同的排法，把甲、乙、丙看成一個整體，與其余的3個人混排，共有種不同的排法，故共有種，故選：C.7．已知函數(shù)在時有極大值，則的極大值為（    ）A．0 B．32 C．0或32 D．0或-32【答案】B【分析】求導，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求解.【詳解】 ， ，即 在 和 處取得極值，由題意： 時為極大值， ， ， 當 時， 單調(diào)遞增，當 時， 單調(diào)遞減，當 時， 單調(diào)遞增， 在 處取得極大值， ，的極大值 ；故選：B.8．的展開式中各項系數(shù)的和為2，則該展開式中常數(shù)項為A．-40 B．-20 C．20 D．40【答案】D【詳解】令x=1得a=1.故原式=．的通項，由5-2r=1得r=2,對應的常數(shù)項=80，由5-2r=-1得r=3,對應的常數(shù)項=-40，故所求的常數(shù)項為40 ，故選D9．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】求出函數(shù)的導數(shù)，求出不等式的解后可得其增區(qū)間.【詳解】的定義域為，而，令，則，而，故，故的增區(qū)間為.故選：A.10．將5名北京冬奧會志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個項目進行培訓，每名志愿者只分配到1個項目，每個項目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有（    ）A．60種 B．120種 C．240種 D．480種【答案】C【分析】先確定有一個項目中分配2名志愿者，其余各項目中分配1名志愿者，然后利用組合，排列，乘法原理求得.【詳解】根據(jù)題意，有一個項目中分配2名志愿者，其余各項目中分配1名志愿者，可以先從5名志愿者中任選2人，組成一個小組，有種選法；然后連同其余三人，看成四個元素，四個項目看成四個不同的位置，四個不同的元素在四個不同的位置的排列方法數(shù)有4！種，根據(jù)乘法原理，完成這件事，共有種不同的分配方案，故選：C.【點睛】本題考查排列組合的應用問題，屬基礎題，關鍵是首先確定人數(shù)的分配情況，然后利用先選后排思想求解.11．已知函數(shù)在時有極值10，則（    ）A． B．C．或 D．【答案】B【分析】先求出函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)極值點和對應的極值可求值，再檢驗后可得正確的選項.【詳解】，因為在時有極值10，故且，即，消元后得到：，故或.當時，，故為上的增函數(shù)，無極值點，舍；當時，，當或時，；當時，，故在處取極小值，符合題設要求.故選：B.12．已知函數(shù)，若函數(shù)有唯一零點，則實數(shù)的取值范圍是（    ）A．  B． C．  D． 【答案】D【分析】分段求導，根據(jù)單調(diào)性以及極值點作函數(shù)圖像，根據(jù)圖像求解.【詳解】當 時， 單調(diào)遞減；當 時， ，當 時， ，當 時， 單調(diào)遞減，當 時， 單調(diào)遞增，所以在 處取得極大值， ，并且有 ，函數(shù) 得大致圖象如圖：由圖可知： 只有1個零點，則必須： 或 ；故選：D. 二、填空題13．如圖，從甲地到乙地有2條路，從乙地到丁地有4條路；從甲地到丙地有4條路，從丙地到丁地有2條路.則從甲地到丁地共有____________條不同的路.【答案】【分析】按照甲地經(jīng)乙地到丁地、甲地經(jīng)丙地到丁地分類，結合分類加法、分步乘法計數(shù)原理即可得解.【詳解】如果由甲地經(jīng)乙地到丁地，則有種不同的路線；如果由甲地經(jīng)丙地到丁地，則有種不同的路線；因此，從甲地到丁地共有種不同的路線.故答案為：.14．已知，，，且，，，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，則實數(shù)，，的大小關系是____________.（用“<”連接）【答案】【分析】構造函數(shù)，，，，，分別利用導數(shù)研究函數(shù)在上的單調(diào)性和在上的單調(diào)性，即可比較大小.【詳解】設，，則 ，，由題意知，，，，因為在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，因為 在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減，所以.故答案為：15．甲、乙、丙、丁、戊5名學生進行某種勞動技能比賽，決出第1名到第5名的名次.甲、乙兩名參賽者去詢問成績，回答者對甲說：“很遺憾，你和乙都未拿到冠軍”，對乙說：“你當然不會是最差的”，從這個回答分析，5人的名次排列共可能有________種不同的情況.（用數(shù)字作答）【答案】【分析】由題意可得：甲、乙都不是第一名，且乙不是最后一名，先排乙，再排甲，其他三名同學在三個位置上全排列，由分步乘法計數(shù)原理即可求解.【詳解】由題意可得：甲、乙都不是第一名，且乙不是最后一名，先排乙，有第二、三、四名3種情況，再排甲，除第一名和乙排的名次外，甲有3種情況，其他三名同學排在三位置全排列有種，由分步乘法計數(shù)原理可知共有種，故答案為：.16．已知函數(shù)，若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是____________.【答案】【分析】求出函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)非負可求參數(shù)的取值范圍.【詳解】，因為在上單調(diào)遞減，故，有恒成立，故對恒成立，所以對恒成立，故對恒成立，令，而在上為減函數(shù)，故在上最大值為，故.故答案為：. 三、解答題17．已知函數(shù)．（Ⅰ）求曲線在點處的切線方程；（Ⅱ）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值．【答案】(Ⅰ)；（Ⅱ）最大值1；最小值.【詳解】試題分析：（Ⅰ）根據(jù)導數(shù)的幾何意義，先求斜率，再代入切線方程公式中即可；（Ⅱ）設，求，根據(jù)確定函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性求函數(shù)的最大值為，從而可以知道恒成立，所以函數(shù)是單調(diào)遞減函數(shù)，再根據(jù)單調(diào)性求最值.試題解析：（Ⅰ）因為，所以.又因為，所以曲線在點處的切線方程為.（Ⅱ）設，則.當時，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減.所以對任意有，即.所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.因此在區(qū)間上的最大值為，最小值為.【名師點睛】這道導數(shù)題并不難，比一般意義上的壓軸題要簡單很多，第二問比較有特點的是需要兩次求導數(shù)，因為通過不能直接判斷函數(shù)的單調(diào)性，所以需要再求一次導數(shù)，設，再求，一般這時就可求得函數(shù)的零點，或是()恒成立，這樣就能知道函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)單調(diào)性求其最值，從而判斷的單調(diào)性，最后求得結果.18．某醫(yī)院呼吸內(nèi)科有3名男醫(yī)生、2名女醫(yī)生，其中李亮（男）為科室主任；感染科有2名男醫(yī)生、2名女醫(yī)生，其中張雅（女）為科室主任．現(xiàn)在院方?jīng)Q定從兩科室中選4人參加培訓．(1)若至多有1名主任參加，則有多少種派法？(2)若呼吸內(nèi)科至少有2名醫(yī)生參加，則有多少種派法？(3)若至少有1名主任參加，且有女醫(yī)生參加，則有多少種派法？【答案】(1)105；(2)105；(3)87. 【分析】（1）分無主任參加和只有1名主任參加兩種情況，再根據(jù)組合的方法求得答案；（2）分2名醫(yī)生、3名醫(yī)生和4名醫(yī)生參加三種情況，再根據(jù)組合的方法即可求得答案；（3）考慮張雅參加和不參加兩種情況，如果張雅不參加則李亮必須參加，進而根據(jù)組合的方法即可求得答案.【詳解】（1）若無主任參加，則有種派法，若只有1名主任參加，則有種派法，故不同的派法共有（種）.（2）由題意，可分為三類考慮：第一類，呼吸內(nèi)科有2名醫(yī)生參加，則共有種派法；第二類，呼吸內(nèi)科有3名醫(yī)生參加，則共有種派法；第三類，呼吸內(nèi)科有4名醫(yī)生參加，則共有種派法．所以呼吸內(nèi)科至少有2名醫(yī)生參加的派法共有（種）．（3）張雅既是主任，也是女醫(yī)生，屬于特殊元素，優(yōu)先考慮，所以以張雅是否參加來分類．第一類，張雅參加，則有種派法，第二類，張雅不參加，則李亮必須參加，則有種派法．所以至少有1名主任參加，且有女醫(yī)生參加的派法共有（種）．19．已知二次函數(shù)，其導函數(shù)的圖象如圖，．（1）求函數(shù)的解析式；（2）若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【詳解】（1）依據(jù)題設條件建立方程組求解；（2）借助題設條件,運用導數(shù)的知識建立不等式組求解.（1）由已知，其圖象為直線，且過，兩點，，（2）因為，的單調(diào)增區(qū)間為，，遞減區(qū)間為要使函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，則，解得20．已知函數(shù).（1）當時，求證：；（2）當時，，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）見解析，（2）【分析】（1）要證，只要證，所以利用導數(shù)求出的最小值即可；（2）（），轉化為，而時此式恒成立，所以只考慮的情況，所以轉化為，構造函數(shù)，然后利用導數(shù)求出其最小值即可【詳解】（1）證明：當時，，定義域為，則，由，得，由，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以是 的極小值點，也是的最小值點，且，所以，（2）解：由（），得（），當時，上述不等式恒成立，當時，，令 （），則，由（1）可知，當時，，所以由，得，由，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以是的極小值點，也是的最小值點，且，所以，所以實數(shù)的取值范圍為21．已知二項式.(1)若展開式中第5項、第6項、第7項的二項式系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式的第8項；(2)若展開式中前三項的二項式系數(shù)的和等于79，求展開式中二項式系數(shù)最大的項.【答案】(1)答案見解析(2) 【分析】（1）根據(jù)第5項、第6項、第7項的二項式系數(shù)成等差數(shù)列，列出關于的方程，再根據(jù)組合數(shù)的計算公式求出，再根據(jù)展開式的通項即可的解；（2）根據(jù)展開式中前三項的二項式系數(shù)的和等于79，結合組合數(shù)的計算公式求出，再根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)可得出答案.【詳解】（1）因為展開式中第5項、第6項、第7項的二項式系數(shù)成等差數(shù)列，所以，且，即，解得或，當時，，當時，；（2）展開式中前三項的二項式系數(shù)的和等于79，即，所以，解得或（舍去），所以展開式中第項的二項式系數(shù)最大，.22．已知函數(shù)的圖象在點處的切線斜率為.(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)討論方程的實數(shù)根的個數(shù).【答案】(1)答案見詳解(2)答案見詳解 【分析】（1）分成和兩種情況，利用導數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）參變分離，討論函數(shù)與的交點情況.【詳解】（1），由，得，所以，.當時，由，得；由，得；當時，由，得；由，得.所以當時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減；當時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減；（2）由，，即方程.設，，令，得.當時，，當時，，故在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.所以當時，取最大值，最大值為.又在區(qū)間上單調(diào)遞減且，當無限增大時，無限接近于零；在區(qū)間上單調(diào)遞增，且當無限接近零時，接近負無窮；所以當時，與有兩個交點；當或時，與有1個交點；當時，與無交點.所以當時，方程有兩個不同的實數(shù)根；當或時，方程只有一個實數(shù)根；當時，方程無解.【點睛】利用導數(shù)研究含參函數(shù)的零點或方程根的個數(shù)問題方法點睛：一種情況可以構造函數(shù)，分情況討論函數(shù)的單調(diào)性，結合零點存在性定理，得出各段的零點個數(shù)；另外可以進行參變分離，考慮兩個圖象的交點情況. 

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