2021-2022學(xué)年河南省焦作市高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，，則（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】化簡集合即得解.【詳解】解: ，，所以．故選：C2．若角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，且，則（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由三角函數(shù)的定義可得答案.【詳解】由三角函數(shù)的定義可得，解得，因此．故選：D.3．如圖所示，一船向正北方向航行，當(dāng)航行到點(diǎn)時(shí)，看見正西方向有兩個(gè)相距10海里的燈塔和恰好與船在一條直線上，繼續(xù)航行1小時(shí)到達(dá)點(diǎn)后，看見燈塔在船的南偏西方向上，燈塔在船的南偏西方向上，則這艘船的速度是（       ）A．5海里/時(shí) B．海里/時(shí) C．10海里/時(shí) D．海里/時(shí)【答案】A【分析】依題意有，在中，求得，從而求得速度．【詳解】依題意有，，，從而，在中，求得，這艘船的速度是（海里/時(shí)）．故選：A4．已知向量，，且，則實(shí)數(shù)（       ）A． B． C．4 D．-4【答案】A【分析】求出，再化簡即得解.【詳解】解：由已知得，因?yàn)?/span>，所以，即，解得．故選：A5．從甲地開車到乙地共有，，三條路線可走，路線堵車的概率為0.06，路線堵車的概率為0.09，路線堵車的概率為0.12，且三條路線是否堵車相互獨(dú)立，若小李從這三條路線中隨機(jī)選一條，則堵車的概率為（       ）A．0.06 B．0.09 C．0.12 D．0.27【答案】B【分析】根據(jù)獨(dú)立事件和互斥事件概率的計(jì)算方法計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)槁肪€是隨機(jī)選的，所以選擇每條路線的概率都是．選擇走路線且堵車的概率為，選擇走路線且堵車的概率為，選擇走路線且堵車的概率為，所以堵車的概率為．故選：B6．已知，（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式化簡可得答案.【詳解】由題意，．故選：C.7．設(shè)，，，則（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】分析得到即得解.【詳解】解：由題得，，且，，所以．故選：A8．已知曲線：，：，則下面結(jié)論正確的是（       ）A．把上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移個(gè)單位長度，得到曲線B．把上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移個(gè)單位長度，得到曲線C．把上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移個(gè)單位長度，得到曲線D．把上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移個(gè)單位長度，得到曲線【答案】B【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖象變換結(jié)論驗(yàn)證各選項(xiàng)即可.【詳解】因?yàn)?/span>把上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變可得曲線，再把得到的曲線向右平移個(gè)單位長度，得到曲線，即，A錯(cuò)，把上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變可得曲線，再把得到的曲線向右平移個(gè)單位長度，得到曲線，B對(duì)，把上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變可得曲線，再把得到的曲線向右平移個(gè)單位長度，得到曲線，C錯(cuò)把上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變可得曲線，再把得到的曲線向右平移個(gè)單位長度，得到曲線，D錯(cuò)，故選：B.9．在平行四邊形中，點(diǎn)滿足，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)．設(shè)，則（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用平面向量基本定理即可求解.【詳解】如圖，在平行四邊形中，，，，，因?yàn)?/span>，所以．故選：10．已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍為（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由可求得的取值范圍，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可得出關(guān)于的不等式，即可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以，解得，所以的取值范圍為．故選：D.11．已知，點(diǎn)在線段上，且的最小值為，則（）的最小值為（       ）A． B． C．2 D．【答案】B【分析】由取得最小值得點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，由得，由配方可得答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，取得最小值，因?yàn)?/span>，所以此時(shí)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，因?yàn)?/span>，所以，故，則，因?yàn)?/span>，故．故選：B.12．若，設(shè)函數(shù)的零點(diǎn)為，的零點(diǎn)為，則（       ）A． B．C． D．【答案】B【分析】構(gòu)造函數(shù)，，，根據(jù)對(duì)稱性得出，再由基本不等式判斷即可.【詳解】由題意可構(gòu)造函數(shù)，，，則，分別為直線與函數(shù)，圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)（如圖所示），由對(duì)稱性可知，即，若，可得，與題意不符，故，所以，，，可知B正確，C，D都不正確．故選：B二、填空題13．已知向量，滿足，，且，則向量在方向上的投影數(shù)量為______．【答案】-0.5【分析】利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算先求出與的夾角，然后，再計(jì)算投影數(shù)量即可.【詳解】，，且，，所以，向量在向量方向上的投影數(shù)量為．故答案為：14．已知函數(shù)（，為常實(shí)數(shù)），且，則______．【答案】【分析】判斷出是奇函數(shù)，由奇函數(shù)的性質(zhì)可得答案．【詳解】因?yàn)?/span>，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，設(shè)，，則是奇函數(shù)，因?yàn)?/span>，所以，所以．故答案為：.15．如圖，在中，點(diǎn)在邊上，，是等邊三角形，且面積為，則______．【答案】【分析】求出，，再利用余弦定理求解.【詳解】解：因?yàn)?/span>是等邊三角形，且面積為，所以，解得，所以．因?yàn)?/span>，所以，由題得，在中，由余弦定理得，即，解得．故答案為：16．八卦是中國傳統(tǒng)文化中的概念和哲學(xué)符號(hào)，如圖1是八卦模型圖，其平面圖形為圖2中的正八邊形，設(shè)該正八邊形對(duì)角線的交點(diǎn)為，若，則下列結(jié)論中所有正確結(jié)論的序號(hào)是______．①；②；③；④.【答案】①③④【分析】在正八邊形中，每個(gè)邊對(duì)應(yīng)的中心角為，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立的直角坐標(biāo)系，求出、的坐標(biāo)由坐標(biāo)運(yùn)算可判斷①；由坐標(biāo)運(yùn)算求出可判斷②；由向量的坐標(biāo)運(yùn)算可判斷③；求出可判斷④．【詳解】由圖知，在正八邊形中，每個(gè)邊對(duì)應(yīng)的中心角為，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖的直角坐標(biāo)系，則，，，，，．對(duì)于①：，，，所以，故①正確；對(duì)于②：，，，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③：，，，所以，故③正確；對(duì)于④：，所以，故④正確．故答案為：①③④.三、解答題17．已知向量，．(1)當(dāng)實(shí)數(shù)為何值時(shí)，？(2)若，，且，，三點(diǎn)共線，求實(shí)數(shù)的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）首先求出與的坐標(biāo)，依題意，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示得到方程，解得即可；（2）首先求出，，依題意，根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示得到方程，解得即可；【詳解】(1)解：，，，，，，．(2)解：，，，，三點(diǎn)共線，，即有，．18．已知是第四象限角，且的終邊在直線上．(1)求，和的值；(2)求的值．【答案】(1)；；．(2)【分析】根據(jù)條件結(jié)合三角函數(shù)的定義求解；(2)利用誘導(dǎo)公式化簡可求其值.【詳解】(1)因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，且位于第四象限，所以點(diǎn)在的終邊上．所以；；．(2)原式19．在中，角，，的對(duì)邊分別是，，，已知．(1)求的大?。?/span>(2)若，求面積的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)，利用正弦定理得到，再利用余弦定理求解；（2）由（1）可知，結(jié)合基本不等式得到，再利用三角形面積公式求解.【詳解】(1)解：因?yàn)?/span>，所以，即．由余弦定理得，因?yàn)?/span>，所以．(2)由（1）可知，而，所以，即，所以的面積，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即面積的最大值為．20．第19屆亞運(yùn)會(huì)將于2022年9月在杭州舉行，志愿者的服務(wù)工作是亞運(yùn)會(huì)成功舉辦的重要保障．某高校承辦了杭州志愿者選拔的面試工作．現(xiàn)隨機(jī)抽取了100名候選者的面試成績，并按照，，，，分成五組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．已知第二、三、四組的頻率之和為0.9，第一組和第五組的頻率相同．(1)求，的值；(2)估計(jì)這100名候選者面試成績的中位數(shù)（精確到0.1）；(3)若先用分層隨機(jī)抽樣的方法從面試成績?cè)?/span>段的候選者中抽取6人，再從這6人中隨機(jī)抽取2人，求這2人來自同一分?jǐn)?shù)段的概率．【答案】(1)，(2)69.4(3)【分析】（1）由頻率分布直方圖列方程組即能求出的值；（2）由于第一、二組的頻率之和為0.3而第三組的頻率為0.45，所以中位數(shù)在第三組，根據(jù)比例即可求解中位數(shù)；（3）根據(jù)分層抽樣，在段和段的候選者分別有1人和5人，列舉出這6人中選出2人的總的基本事件數(shù)，和選出的兩人來自同一分?jǐn)?shù)段的基本事件數(shù)，利用古典概型的概率公式求解即可．【詳解】(1)因?yàn)榈诙⑷?、四組的頻率之和為0.9，所以，解得．再由第一組、第五組的頻率之和為，即，得．(2)根據(jù)頻率分布直方圖可知，第一、二組的頻率之和為0.3，第三組的頻率為0.45，所以中位數(shù)在第三組，且為．(3)由（Ⅰ）可得面試成績?cè)?/span>段和段的候選者分別有5人和25人，若用分層隨機(jī)抽樣的方法從中抽取6人，則需在段中抽取1人，設(shè)為，在段中抽取5人，分別設(shè)為，，，，．該試驗(yàn)的樣本空間為，共有15個(gè)樣本點(diǎn)．設(shè)“從這6人中隨機(jī)抽取2人，這2人來自同一分?jǐn)?shù)段”為事件，則，有10個(gè)樣本點(diǎn)，故．21．已知函數(shù)（，，）的部分圖象大致如圖．(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間．(2)將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度得到曲線，把上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/span>2倍得到函數(shù)的圖象．若關(guān)于的方程在上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)，(2)【分析】（1）由函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出，由周期求出，由五點(diǎn)法作圖求出的值，從而可得函數(shù)的解析式，再利用余弦函數(shù)的單調(diào)性，即可求解的單調(diào)遞增區(qū)間．（2）利用函數(shù)圖象變換規(guī)律，得到的解析式，根據(jù)正弦函數(shù)的定義域和值域，即可求得的范圍．【詳解】(1)根據(jù)圖象，可得，由，得．所以，由，得，所以．令，，得，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，．(2)將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度得到曲線：，再把上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/span>2倍得到的圖象．由在上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，即在上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，因?yàn)?/span>，設(shè)，則，則需直線與的圖象在兩個(gè)不同的公共點(diǎn)．畫出在時(shí)的簡圖如下：所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．22．定義：如果函數(shù)在定義域內(nèi)的給定區(qū)間上存在（），滿足，則稱函數(shù)為上的“平均值函數(shù)”，為它的平均值點(diǎn)．(1)函數(shù)是否為上的“平均值函數(shù)”？如果是，請(qǐng)求出它的平均值點(diǎn)；如果不是，請(qǐng)說明理由．(2)若函數(shù)是上的平均值函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)為上的“平均值函數(shù)”，1是它的平均值點(diǎn)(2)【分析】（1）根據(jù)“平均值函數(shù)”的定義計(jì)算，看是否滿足定義，即可判斷，繼而求得平均值點(diǎn);（2）根據(jù)定義計(jì)算，從而得到，整理并換元可得在上有解，構(gòu)造函數(shù)結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)的分布，求得答案.【詳解】(1)函數(shù)是上的“平均值函數(shù)”．令，因?yàn)?/span>，設(shè)是它的平均值點(diǎn)，則有，解得，，故為上的“平均值函數(shù)”，1是它的平均值點(diǎn)．(2)令，，設(shè)是它的平均值點(diǎn)，則，即，整理得．令，則，則需方程在上有解，令，，，①當(dāng)在內(nèi)有一個(gè)實(shí)根時(shí)，，即 ，解得，或；②當(dāng)在內(nèi)有兩個(gè)不等的實(shí)根時(shí)，需滿足，可得 ，無解．綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是．

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