考生注意：
1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將考生號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.
2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.
3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 已知集合，，則=（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求出集合和集合，再由交集定義求解即可.
【詳解】由已知，，
由不等式得，∴，即，
∴，
∴.
故選：D.
2. 若向量的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)的范圍是（ ）
A. B. (，4)
C. D. ( ，1 )
【答案】A
【解析】
【分析】由題且不共線，據(jù)此可得答案.
【詳解】因向量的夾角為銳角，則，
且不共線，即.
綜上可知，或.
故選：A
3. 已知 則=（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用誘導(dǎo)公式求解.
【詳解】解：因?yàn)?，
所以，
故選：C
4. 已知函數(shù)，為了得到函數(shù)的圖象，只需把的圖象（ ）
A. 向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度B. 向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度
C. 向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度D. 向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)圖象平移變換知識(shí)對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行辨析即可.
【詳解】對(duì)于A，把的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可以得到
，故選項(xiàng)A不正確；
對(duì)于B，把的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可以得到
，故選項(xiàng)B不正確；
對(duì)于C，把的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可以得到
，故選項(xiàng)C不正確；
對(duì)于D，把的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可以得到
，故選項(xiàng)D正確.
故選：D.
5. 如圖，在中，為邊上的中線，，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由平面向量基本定理，用基底表示所求向量，根據(jù)向量的線性運(yùn)算求解即可.
【詳解】由已知，∵中，為邊上的中線，∴，
又∵，∴，
∴.
故選：A.
6. 若，則的最小值為（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】將化為，后利用基本不等式可得答案.
【詳解】，
因，所以，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，
所以的最小值為.
故選：B.
7. 如圖是位于河南省焦作市的“騰飛”銅馬雕塑，建于1985年，寓意焦作人民奮發(fā)昂揚(yáng)的精神風(fēng)貌.某同學(xué)為測(cè)量雕塑的高度CD，選取了與雕塑底部在同一條水平直線上的點(diǎn)A，B，并測(cè)得米，則雕塑的高度CD為（ ）
參考數(shù)據(jù)：
A. 米B. 米C. 米D. 米
【答案】C
【解析】
【分析】設(shè)，在中，得到，在中，利用正弦定理求解.
【詳解】解：設(shè)，
在中，，
在中，由正弦定理得，
即，
所以，
故選：C
8. 已知 則（ ）
A B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)條件得到，則，后由函數(shù)的單調(diào)性比較大小即可.
【詳解】因?yàn)?
注意到，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，所以.
因?yàn)榫谏蠁握{(diào)遞減，所以.
又在上單調(diào)遞增，所以.
綜上可知，.
故選：B.
二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 若則（ ）
A. B. 事件A與B不互斥
C. 事件A與B相互獨(dú)立D. 事件A與B不一定相互獨(dú)立
【答案】BC
【解析】
【分析】根據(jù)互斥與獨(dú)立事件的定義判斷即可.
【詳解】因?yàn)?，所以與能同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，故B正確；
，所以，故A不正確；
又，故成立，
故事件A與B相互獨(dú)立，故C正確，D錯(cuò)誤
故選：BC.
10. 已知向量，則（ ）
A ∥ B.
C. D. 與的夾角為
【答案】BD
【解析】
【分析】利用向量平行，向量模，向量垂直，向量夾角的坐標(biāo)表示驗(yàn)證各選項(xiàng)正誤即可得答案.
【詳解】A選項(xiàng)，，因，則與不共線，故A錯(cuò)誤；
B選項(xiàng)，，
又，則，故B正確；
C選項(xiàng)，因，則與不垂直，故C錯(cuò)誤；
D選項(xiàng)，，又，
則，即與的夾角為 ，故D正確.
故選：BD
11. 已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（ ）
A.
B. 直線是的圖象的一條對(duì)稱軸
C. 函數(shù)是偶函數(shù)
D. 函數(shù)在上單調(diào)遞減
【答案】AD
【解析】
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的圖象，先求得，然后求得，根據(jù)三角函數(shù)的對(duì)稱性、單調(diào)性確定正確答案.
【詳解】因?yàn)椋?，所以，即?br>又，由于，所以，
所以，即，所以，
根據(jù)誘導(dǎo)公式得，
所以，故A選項(xiàng)正確；
令得，
不存在，使得，
所以直線不是的圖象的一條對(duì)稱軸，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
因?yàn)?，所以?br>易知函數(shù)的定義域?yàn)镽，且，
所以函數(shù)是奇函數(shù)，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
令得，
當(dāng)時(shí)，得在上單調(diào)遞減，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以D選項(xiàng)正確.
故選：AD
12. 已知的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，則下列說法正確的是（ ）
A. 若，，，則有兩解
B. 若，，，則
C. 若，，是角的平分線，且點(diǎn)在邊上，則的長(zhǎng)度可能為
D. 若，，則面積的最大值為
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用正弦定理可判斷A選項(xiàng)；利用二倍角的正弦公式、正弦定理以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可判斷B選項(xiàng)；利用等面積法求出的取值范圍，可判斷C選項(xiàng)；利用余弦定理、基本不等式結(jié)合三角形的面積公式可判斷D選項(xiàng).
【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)?，，?br>由正弦定理可得，
所以，，故有兩解，A對(duì)；
對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)椋?，，可得?br>所以，，則為銳角，故，B錯(cuò)；
對(duì)于C選項(xiàng)，設(shè)，其中，則，
因?yàn)?，即?br>即，
所以，，而，C對(duì)；
對(duì)于D選項(xiàng)，由余弦定理可得，
所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
故，D對(duì).
故選：ACD.
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 2023年3月1日，“中國(guó)日?qǐng)?bào)視覺”學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)號(hào)上線.某黨支部理論學(xué)習(xí)小組抽取了10位黨員在該學(xué)習(xí)平臺(tái)的學(xué)習(xí)成績(jī)?nèi)缦?83，85，88，90，91，91，92，93，96，97，則這10名黨員學(xué)習(xí)成績(jī)的75%分位數(shù)為___________ .
【答案】
【解析】
【分析】由百分位數(shù)定義可得答案.
【詳解】因，則從小到大第8個(gè)成績(jī)?yōu)閷W(xué)習(xí)成績(jī)的75%分位數(shù)，即.
故答案為：
14. 已知向量的夾角為60°，且 ，則在方向上的投影數(shù)量為___________ .
【答案】-1
【解析】
【分析】先求出向量 與向量 的夾角，再根據(jù)投影的定義求解.
【詳解】設(shè)向量 ， 與 的夾角為 ，則 ，
，
， 在 方向上投影的數(shù)量為 ，
故答案為：-1.
15. 若函數(shù) 有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 __________ .
【答案】
【解析】
【分析】求出函數(shù)在上的零點(diǎn)，分析可知，直線與函數(shù)在上的圖象無交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】當(dāng)時(shí)，令可得；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，
因?yàn)楹瘮?shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，所以，函數(shù)在上無零點(diǎn)，
由可得，
所以，直線與函數(shù)在上的圖象無交點(diǎn)，如下圖所示：
且當(dāng)時(shí)，，由圖可知，當(dāng)或時(shí)，直線與函數(shù)在上的圖象無交點(diǎn).
因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故答案為：.
16. 已知在中，為邊上的中線，且=4，則的取值范圍為_________.
【答案】
【解析】
【分析】分別在和中，利用余弦定理得到，，根據(jù)，兩式相加得到，然后利用余弦定理結(jié)合基本不等式求解.
【詳解】解：如圖所示：
在中，由余弦定理得，
，
在中，由余弦定理得，
，
因?yàn)?，所以?br>兩式相加得，則，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
所以，
因?yàn)椋?br>所以，
故答案為：
四、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
17. 已知向量滿足||=2，||=1，且與的夾角為120°.
（1）求||;
（2）求與的夾角.
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）由向量模的計(jì)算公式可得答案；
（2）利用向量夾角計(jì)算公式可得答案.
小問1詳解】
；
【小問2詳解】
，
，
，
則，又，則與的夾角為.
18. 已知函數(shù)
（1）求的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）求在區(qū)間 上的最大值與最小值.
【答案】（1）；；
（2）在區(qū)間 上的最大值為2，最小值為1.
【解析】
【分析】（1）由周期計(jì)算公式及單調(diào)遞減區(qū)間可得答案；
（2）由題可得，后由在上的單調(diào)性可得答案.
【小問1詳解】
因，則最小正周期為；
因在上單調(diào)遞減，則，
即的單調(diào)遞減區(qū)間為：；
【小問2詳解】
因，則，又在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，.
則當(dāng)，即時(shí)，取最大值，為；
當(dāng)，即時(shí)，取最小值，為；
即在區(qū)間 上的最大值為2，最小值為1.
19. 已知的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，且向量與
平行.
（1）求;
（2）若，，求的面積.
【答案】（1）.
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示得，在根據(jù)正弦定理進(jìn)行邊角互化即可求得角；
（2）根據(jù)余弦定理，及，，，配方可求解出，再利用三角形的面積公式求解即可.
【小問1詳解】
由題意得：，所以，
由正弦定理得：，
又因?yàn)?，則有，
又，所以.
【小問2詳解】
由余弦定理得：，
又，，，
所以，解得，
則的面積.
20. 全國(guó)愛衛(wèi)辦組織開展“地級(jí)市創(chuàng)衛(wèi)工作”滿意度調(diào)查工作,2023年2月14日24日在網(wǎng)上進(jìn)行問卷調(diào)查,該調(diào)查是國(guó)家衛(wèi)生城市評(píng)審的重要依據(jù),居民可根據(jù)自身實(shí)際感受,對(duì)所在市創(chuàng)衛(wèi)工作作出客觀、公正的評(píng)價(jià).現(xiàn)隨機(jī)抽取了100名居民的問卷進(jìn)行評(píng)分統(tǒng)計(jì),評(píng)分的頻率分布直方圖如圖所示,數(shù)據(jù)分組依次為:
（1）求的值以及這100名居民問卷評(píng)分的中位數(shù)；
（2）若根據(jù)各組的頻率的比例采用分層隨機(jī)抽樣的方法,從評(píng)分在[65,70)和[70,75)內(nèi)的居民中共抽取6人,查閱他們的答卷情況,再從這6人中選取2人進(jìn)行專項(xiàng)調(diào)查,求這2人中恰有1人的評(píng)分在內(nèi)的概率.
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）由各組數(shù)據(jù)頻率之和為1可得a,由頻率分布直方圖計(jì)算中位數(shù)公式可得答案；
（2）由（1）結(jié)合頻率分布直方圖可知6人中,[65,70)中的有2人,[70,75)中的有4人,后利用列舉法可知總情況數(shù)與2人中恰有1人的評(píng)分在[70,75)內(nèi)的情況數(shù),即可得答案.
【小問1詳解】
由頻率分布直方圖,
；
注意到前3個(gè)矩形對(duì)應(yīng)頻率之和為：,
前4個(gè)矩形對(duì)應(yīng)頻率之和為：,
則中位數(shù)在之間,設(shè)為x,則,即中位數(shù)為.
【小問2詳解】
評(píng)分在[65,70),[70,75)對(duì)應(yīng)頻率為：,則抽取6人中,[65,70)中的有2人,設(shè)為,[70,75)中的有4人,設(shè)為.
則從6人中選取2人的情況為：
,共15種,恰有1人在[70,75)中的有8種情況,
故相應(yīng)概率為：.
21. 如圖，在中，，，是邊的中點(diǎn)，
（1）求邊的長(zhǎng);
（2）若點(diǎn)在邊上，且△的面積為，求邊的長(zhǎng).
【答案】（1）4 （2）
【解析】
【分析】（1）在中利用余弦定理可求的長(zhǎng)，利用為中點(diǎn)可得答案；
（2）先利用余弦定理求出的長(zhǎng)，再求出，利用面積公式可求答案.
【小問1詳解】
因?yàn)椋?，?br>所以，解得，
因?yàn)槭沁叺闹悬c(diǎn)，所以.
【小問2詳解】
在中，;
,
,
因?yàn)椤鞯拿娣e為，所以,
即，解得.
22. 已知函數(shù)
（1）判斷的奇偶性;
（2）判斷的單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義證明；
（3）若方程在區(qū)間上恰有1個(gè)實(shí)根，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍.
【答案】（1）奇函數(shù) （2）單調(diào)遞增，證明見解析；
（3）
【解析】
【分析】(1)根據(jù)奇偶性的定義求解；
(2)根據(jù)單調(diào)性的定義證明；
(3)先求出 的值域，令 ，將原方程等價(jià)于直線 與函數(shù) 只有一個(gè)交點(diǎn)即可.
【小問1詳解】
因?yàn)?，定義域?yàn)镽，
又 ，
所以 是奇函數(shù)；
【小問2詳解】
函數(shù)單調(diào)遞增，
設(shè) ，則有：
，
因?yàn)?，，，
所以，即，
所以函數(shù)單調(diào)遞增；
【小問3詳解】
由于 是單調(diào)遞增的，當(dāng) 時(shí)， ，
令 ，則 等價(jià)于方程 在 時(shí)有一個(gè)根，
也就等價(jià)于函數(shù) 與直線 在時(shí)有一個(gè)交點(diǎn)，
函數(shù)圖象如下：
，
當(dāng) 時(shí)， ，當(dāng) 時(shí)， ，
由圖可知：當(dāng) 時(shí)滿足題意；
綜上，實(shí)數(shù)λ的取值范圍為 .

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