2022-2023學(xué)年河南省焦作市高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.  已知集合，，則(    )A.  B.  C.  D. 2.  若復(fù)數(shù)，則(    )A.  B.  C.  D. 3.  已知向量，，若，則實(shí)數(shù)(    )A.  B.  C.  D. 4.  已知等比數(shù)列中，，，則(    )A.  B.  C.  D. 5.  已知拋物線：的焦點(diǎn)為，是上一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則的面積為(    )A.  B.  C.  D. 6.  已知角滿足，則(    )A.  B.  C.  D. 7.  已知函數(shù)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)在區(qū)間內(nèi)，且兩個(gè)相鄰對(duì)稱中心之間的距離大于，則的取值范圍為(    )A.  B.  C.  D. 8.  已知函數(shù)存在零點(diǎn)，函數(shù)存在零點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是(    )A.  B.  C.  D. 二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）9.  年年為上半年中國國內(nèi)生產(chǎn)總值統(tǒng)計(jì)如下，且已知年全年中國國內(nèi)生產(chǎn)總值為萬億元，則下列結(jié)論中正確的是(    )

 A. 年下半年中國為萬億元
B. 年中國大于年與年的之和
C. 年中國同比增長(zhǎng)率超過的有年、年、年
D. 年中國同比增長(zhǎng)最快的是年10.  已知函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是(    )A. 當(dāng)時(shí)，是上的增函數(shù)
B. 當(dāng)時(shí)，直線與的圖象沒有公共點(diǎn)
C. 當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為
D. 當(dāng)有一個(gè)極值點(diǎn)為時(shí)，的極大值為11.  已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，，為上的動(dòng)點(diǎn)，的最大值為，則下列結(jié)論中正確的是(    )A. 橢圓的短軸長(zhǎng)為
B. 當(dāng)，分別在軸的上方和下方時(shí)四邊形的周長(zhǎng)的取值范圍是
C. 存在四個(gè)不同的點(diǎn)，使得
D. 若為銳角三角形，則點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍是12.  如圖，在三棱柱中，，平面，，三棱錐的外接球的表面積為，記直線與所成的角為，直線與平面所成的角為，則下列結(jié)論中正確的是(    )A.
B. 三棱柱的體積的最大值為
C. 球心到平面的距離為
D. 三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13.  若的展開式中的系數(shù)為，則實(shí)數(shù) ______ ．14.  某足球隊(duì)共有名球員練習(xí)點(diǎn)球，其中前鋒人，中場(chǎng)人，后衛(wèi)人若前鋒點(diǎn)球進(jìn)門的概率均是，中場(chǎng)點(diǎn)球進(jìn)門的概率均是，后衛(wèi)點(diǎn)球進(jìn)門的概率均是，則任選一名球員點(diǎn)球進(jìn)門的概率是______ 結(jié)果保留兩位小數(shù)15.  已知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為______ ．16.  已知在四面體中，，，則該四面體外接球的體積為______ ．四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.  本小題分
已知在等差數(shù)列中，，．
Ⅰ求的通項(xiàng)公式；
Ⅱ若是等比數(shù)列，且，，求數(shù)列的前項(xiàng)和．18.  本小題分
已知在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，且．
Ⅰ求；
Ⅱ若，的面積為，求證：是正三角形．19.  本小題分
如圖，在長(zhǎng)方體中，，，交于點(diǎn)．
Ⅰ證明：平面；
Ⅱ求直線與平面所成角的正弦值．
20.  本小題分
年月日至日是第二個(gè)全國家庭教育宣傳周，為進(jìn)一步促進(jìn)家校共育，某校舉行“家教伴成長(zhǎng)，協(xié)同育新人”主題活動(dòng)，最終評(píng)出了位“最美家長(zhǎng)”，其中有位媽媽，位爸爸，學(xué)校準(zhǔn)備從這位“最美家長(zhǎng)”中每次隨機(jī)選出一人做家庭教育經(jīng)驗(yàn)分享．
Ⅰ若每位“最美家長(zhǎng)”最多做一次家庭教育經(jīng)驗(yàn)分享，記第一次抽到媽媽為事件，第二次抽到爸爸為事件，求和；
Ⅱ現(xiàn)需要每天從這位“最美家長(zhǎng)”中隨機(jī)選人，連續(xù)天分別為低年級(jí)、中年級(jí)、高年級(jí)和全體教師各做場(chǎng)經(jīng)驗(yàn)分享，天只做場(chǎng)，且人選可以重復(fù)，記這天中爸爸做經(jīng)驗(yàn)分享的天數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．21.  本小題分
已知函數(shù)．
Ⅰ證明：在上單調(diào)遞減；
Ⅱ若函數(shù)為的導(dǎo)函數(shù)，且單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍．22.  本小題分
已知點(diǎn)在雙曲線：上，過的右焦點(diǎn)的動(dòng)直線與交于，兩點(diǎn)．
Ⅰ若點(diǎn)，分別為的左、右頂點(diǎn)，為上異于，的點(diǎn)，求表示斜率的值；
Ⅱ證明以為直徑的圓恒過軸上的定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo)．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：，，
．
故選：．
可求出集合，然后進(jìn)行交集的運(yùn)算即可．
本題考查了一元二次不等式的解法，交集的定義及運(yùn)算，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
 2.【答案】 【解析】解：，
．
故選：．
由復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則求出，再求即可．
本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算和復(fù)數(shù)的模等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．
 3.【答案】 【解析】解：由可得，
則有，
即，解得．
故選：．
由向量垂直的坐標(biāo)關(guān)系，列方程可求得的值．
本題考查向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題．
 4.【答案】 【解析】解：根據(jù)題意，設(shè)等比數(shù)列的公比為，
若，則有，解可得，
又由，則，
故選：．
根據(jù)題意，設(shè)等比數(shù)列的公比為，由于，可得的值，進(jìn)而計(jì)算可得答案．
本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，涉及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題．
 5.【答案】 【解析】解：根據(jù)題意，拋物線：的焦點(diǎn)為，
設(shè)，則，，，
．
故選：．
根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程求出焦點(diǎn)，再利用拋物線定義求出點(diǎn)的縱坐標(biāo)，利用三角形的面積公式即可求解．
本題考查拋物線的定義，考查三角形面積公式，是中檔題．
 6.【答案】 【解析】解：，
；
；
；
．
故選：．
利用兩角和的正切可求得，進(jìn)而可求得與的值，利用兩角和的正弦可求得答案．
本題考查兩角和與差的三角函數(shù)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．
 7.【答案】 【解析】解：函數(shù)，，
令，；
，；
圖象的一個(gè)對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)在區(qū)間內(nèi)，
所以，
又因?yàn)?/span>，所以，；
時(shí)，，
又因?yàn)?/span>圖象兩個(gè)相鄰對(duì)稱中心之間的距離大于，
所以，由，所以，
所以的取值范圍是．
故選：．
化函數(shù)，求圖象的對(duì)稱中心橫坐標(biāo)，根據(jù)題意求出的取值范圍．
本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．
 8.【答案】 【解析】解：易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，
又，
則，
于是，解得，
則函數(shù)在上存在零點(diǎn)，
令，可得，
則直線與函數(shù)在上的圖象有交點(diǎn)，
在上恒成立，
則函數(shù)在上單調(diào)遞增，
又時(shí)，，，
則．
故選：．
易知，則，問題等價(jià)于函數(shù)在上存在零點(diǎn)，令，進(jìn)一步可轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)在上的圖象有交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的取值情況，即可得到答案．
本題考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．
 9.【答案】 【解析】解：對(duì)于，年下半年中國為萬億元，故A正確；
對(duì)于，年與年的之和萬億元，年中國為萬億元，
所以年中國小于年與年的之和，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于，由統(tǒng)計(jì)圖可知，年中國同比增長(zhǎng)率超過的有年、年、年，故C正確；
對(duì)于，由統(tǒng)計(jì)圖可知，年中國同比增長(zhǎng)最快的是年，故D正確．
故選：．
根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖逐個(gè)判斷各個(gè)選項(xiàng)即可．
本題主要考查了統(tǒng)計(jì)圖的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
 10.【答案】 【解析】解：已知，函數(shù)定義域?yàn)?/span>，
可得，
對(duì)于選項(xiàng)A：當(dāng)時(shí)，，
所以函數(shù)是上的增函數(shù)，故選項(xiàng)A正確；
對(duì)于選項(xiàng)B：不妨令，
整理得，
不妨設(shè)，函數(shù)定義域?yàn)?/span>，
易知，在定義域上恒成立，
所以，
此時(shí)直線與的圖象在的情況下沒有公共點(diǎn)，故選項(xiàng)B正確；
對(duì)于選項(xiàng)C，當(dāng)時(shí)，令，
解得或，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，故選項(xiàng)C正確；
對(duì)于選項(xiàng)D：不妨令，此時(shí)，
可得，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，極小值，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，極大值，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．
故選：．
由題意，對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而判斷選項(xiàng)A和選項(xiàng)C；將分類出來，易知當(dāng)時(shí)才會(huì)有交點(diǎn)，進(jìn)而判斷選項(xiàng)B；令，對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)得到的單調(diào)性和極值，進(jìn)而判斷選項(xiàng)D．
本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，考查了邏輯推理、轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力．
 11.【答案】 【解析】解：由題意可得，解得，，
可得，
所以橢圓的方程為：；
對(duì)于，可知短軸長(zhǎng)，故A正確；
對(duì)于，，在橢圓上，，，
可知四邊形的周長(zhǎng)為，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于，當(dāng)在上下頂點(diǎn)處時(shí)，最大，
此時(shí)由離心率為，，，
，在上下頂點(diǎn)處時(shí)，，
存在兩個(gè)不同的點(diǎn)，使得，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于，由可知一定是銳角，
若為銳角三角形，則點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍是，故D正確．
故選：．
由已知可得，可求橢圓方程，根據(jù)橢圓的性質(zhì)，結(jié)合每個(gè)選項(xiàng)的條件計(jì)算可判斷其正確性．
本題考查求橢圓的方程，考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，屬中檔題．
 12.【答案】 【解析】解：設(shè)外接球的半徑為，三棱錐的外接球的表面積為，
，解得，，故A錯(cuò)誤；
以，，為正方體的同一頂點(diǎn)的三條棱，可得為正方體的外接球的直徑，
正方體的外接球即是三棱柱的外接球，
，
，，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
三棱柱的體積的最大值為，
又平面，到平面的距離為，
又是的中點(diǎn)，到平面的距離為，故C錯(cuò)誤；
，是直線與所成的角，，
平面，為直線與平面所成的角，
，
，故D正確；
故選：．
利用空間幾何體的性質(zhì)，結(jié)合每個(gè)選項(xiàng)的條件計(jì)算判斷即可得結(jié)論．
本題考查空間幾何體的體積的計(jì)算，考查線線角與線面角的求法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．
 13.【答案】或 【解析】解：根據(jù)題意知，的展開式的通項(xiàng)公式為，
展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為，解得或．
故答案為：或．
由題意可得，的展開式的通項(xiàng)公式，根據(jù)的系數(shù)為列方程求得的值即可．
本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
 14.【答案】 【解析】解：由題意得，選中前鋒的概率為，選中中場(chǎng)的概率為，選中后衛(wèi)的概率為，
則任選一名球員點(diǎn)球進(jìn)門的概率是．
故答案為：．
利用相互獨(dú)立事件的乘法公式求解即可．
本題考查相互獨(dú)立事件的乘法公式，是基礎(chǔ)題．
 15.【答案】 【解析】解：是偶函數(shù)，的定義域?yàn)?/span>，
的圖象關(guān)于對(duì)稱，
又時(shí)，，
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
由得，，即，解得或，
不等式的解集為．
故答案為：．
根據(jù)條件得出關(guān)于對(duì)稱，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，然后由得出，解出的范圍即可．
本題考查了偶函數(shù)的定義及對(duì)稱性，二次函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間，絕對(duì)值不等式的解法，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．
 16.【答案】 【解析】解：，，
，過作平面于，連接，，，
，，
是的外心，為的中點(diǎn)，
四面體外接球的球心在上，，
設(shè)外接球的半徑為，
，
解得，
該四面體外接球的體積為
故答案為：
由已知可得，過作平面于，連接，，，可得是的外心，進(jìn)而可得四面體外接球的球心在上，進(jìn)而可求四面體外接球的半徑，可求得該四面體外接球的體積．
本題考查空間幾何體的外接球的體積的求法，考查運(yùn)算求解能力，屬中檔題．
 17.【答案】解：Ⅰ設(shè)公差為的等差數(shù)列中，，．
所以，解得，
故．
Ⅱ由于若是等比數(shù)列，且，，
由Ⅰ得：，，
故，
所以，
所以，
故． 【解析】Ⅰ直接利用等差數(shù)列的性質(zhì)，建立方程組，進(jìn)一步求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；
Ⅱ首先求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)一步利用分組法求出數(shù)列的和．
本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，數(shù)列的求和，分組法的求和，主要考查學(xué)生的理解能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．
 18.【答案】解：Ⅰ由及正弦定理得，
所以，
所以，
所以，因?yàn)?/span>，所以，
所以，因?yàn)?/span>，所以；
Ⅱ證明：因?yàn)?/span>，所以，
由余弦定理可得，
所以，即，
所以，所以，所以，
所以是正三角形． 【解析】Ⅰ由正弦定理得，進(jìn)而運(yùn)算可得，可求；
Ⅱ利用余弦定理及三角形的面積可證，可得結(jié)論．
本題考查正余弦定理的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬中檔題．
 19.【答案】Ⅰ證明：建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，
因?yàn)?/span>，，交于點(diǎn)，所以，，，
，，，
所以，，，
設(shè)平面的法向量為，則，
令，則，，所以，
計(jì)算，所以，
又因?yàn)?/span>平面，所以平面；
Ⅱ因?yàn)?/span>，，
計(jì)算直線與平面所成角的正弦值為
，． 【解析】Ⅰ建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)表示向量，求出與平面的法向量，再判斷平面；
Ⅱ利用向量計(jì)算直線與平面所成角的正弦值．
本題考查了空間中的直線與平面平行以及直線與平面所成角的計(jì)算問題，是中檔題．
 20.【答案】解：Ⅰ根據(jù)題意可知，，
．
Ⅱ爸爸做經(jīng)驗(yàn)分享的天數(shù)的所有可能取值為，，，，，且，
，
，
，
，
，
故的分布列為：根據(jù)二項(xiàng)分布的期望公式可知． 【解析】Ⅰ根據(jù)古典概型概率公式求出，根據(jù)求出即可；
Ⅱ根據(jù)題意可知，爸爸做經(jīng)驗(yàn)分享的天數(shù)的所有可能取值為，，，，，且，計(jì)算對(duì)應(yīng)概率，寫出分布列和期望即可．
本題考查離散型隨機(jī)變量的應(yīng)用，屬于中檔題．
 21.【答案】解：Ⅰ證明：函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，，
令，
，，
令得，
所以在上，單調(diào)遞增，
在上，單調(diào)遞減，
所以，
所以對(duì)任意恒成立，
所以在上單調(diào)遞減．
Ⅱ由題知
，
，
即，
令，
，，
令得舍或，
所以在上，單調(diào)遞增，
在上，單調(diào)遞減，
所以，
所以，
所以，
所以的取值范圍為． 【解析】Ⅰ函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，求導(dǎo)分析的符號(hào)，的單調(diào)性，即可得出答案．
Ⅱ由題知，由于單調(diào)遞增，則，即，令，只需，即可得出答案．
本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，解題中需要理清思路，屬于中檔題．
 22.【答案】解：Ⅰ點(diǎn)在雙曲線：上，
，解得，
雙曲線的方程為，
則，，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，
則，，
，
點(diǎn)在雙曲線上，，；
Ⅱ證明：設(shè)以為直徑的圓與軸的交點(diǎn)為，
由Ⅰ可知雙曲線的右焦點(diǎn)為．
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，
，，，
，
整理得到．
由，消去可得，
直線與雙曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
，且，
，由題設(shè)有對(duì)任意的總成立，
，，
可轉(zhuǎn)化為，
整理得到對(duì)任意的總成立，
故，解得，即點(diǎn)的坐標(biāo)為．
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，：，
此時(shí)，或，，
則，即在以為直徑的圓上，
綜上，以為直徑的圓恒過軸上的定點(diǎn)，且定點(diǎn)的坐標(biāo)為． 【解析】Ⅰ將點(diǎn)代入雙曲線方程即可得方程，直接計(jì)算與斜率乘積即可；Ⅱ假設(shè)存在定點(diǎn)，則，由此將根與系數(shù)的關(guān)系代入即可得．
本題考查直線與雙曲線的綜合問題，考查過定點(diǎn)問題，屬于難題．
 

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