2022-2023學年廣西玉林市博白縣中學高一下學期4月聯(lián)考數(shù)學試題 一、單選題1．已知（為虛數(shù)單位，）為純虛數(shù)，則（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】先利用復數(shù)除法法則進行化簡，結合純虛數(shù)條件列出方程，求出的值.【詳解】為純虛數(shù)，，，故選：C.2．已知，，若與共線，則等于（    ）A．6 B． C．3 D．【答案】B【分析】根據向量共線的坐標表示列方程求即可.【詳解】因為與共線，，， 所以，所以.故選：B.3．在中，，則的值為（    ）A． B．－  C．－  D．【答案】C【分析】由題意可設，再根據余弦定理求解即可.【詳解】解：因為，所以設，由余弦定理可得.故選：C.4．如圖是一個水平放置的直觀圖，它是一個底角為，腰和上底均為1，下底為的等腰梯形，那么原平面圖形的面積為（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】先判斷原平面圖形為直角梯形，且直角腰長為2，上底邊長為1，下底邊長，代入梯形的面積公式計算．【詳解】平面圖形的直觀圖是一個底角為，腰和上底長均為1，下底為的的等腰梯形，原平面圖形為直角梯形，且直角腰長為2，上底邊長為1，梯形的下底邊長為，原平面圖形的面積．故選：A．5．民間娛樂健身工具陀螺起源于我國，最早出土的石制陀螺是在山西夏縣發(fā)現(xiàn)的新石器時代遺址．如圖所示的是一個陀螺的立體結構圖．已知底面圓的直徑，圓柱體的高，圓錐體的高，則這個陀螺的表面積是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】結合組合體表面積的計算方法計算出正確答案.【詳解】圓柱、圓錐的底面半徑為，圓錐的母線長為，所以陀螺的表面積是.故選：C6．若，，向量與向量的夾角為150°，則向量在向量上的投影向量為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用投影向量的定義直接求解.【詳解】因為，，向量與向量的夾角為150°，所以向量在向量上的投影向量為.故選：D7．如圖,三棱錐中,,,且,則三棱錐的外接球表面積為A． B． C． D．【答案】B【詳解】∵面，面，∴，∵，，∴面，∵面，∴，取的中點，則，∴為球心，∵，∴，∴球半徑為 ，∴該三棱錐的外接球的表面積為，故選B.8．在正六邊形ABCDEF中，點P為CE上的任意一點，若，則（    ）A．2 B． C．3 D．不確定【答案】C【分析】延長交于點，延長交于點，可推出，，所以有，然后利用平面向量共線的推論即可求出【詳解】如圖，延長交于點，延長交于點設正六邊形ABCDEF的邊長為則在中有，，所以，所以有，同理可得因為所以因為三點共線，所以有，即故選：C【點睛】遇到三點共線時，要聯(lián)想到平面向量共線的推論：三點共線，若，則. 二、多選題9．已知為虛數(shù)單位，復數(shù)，則下列說法不正確的是（    ）A．的虛部為 B．的共軛復數(shù)C． D．【答案】ABD【分析】根據復數(shù)虛部的定義即可判斷A；根據共軛復數(shù)的定義即可判斷B；根據復數(shù)的模的計算公式即可判斷C；根據復數(shù)的乘法運算即可判斷D.【詳解】復數(shù)的虛部為，故A錯誤；的共軛復數(shù)，故B錯誤；，故C正確；，故D錯誤.故選：ABD.10．已知是兩個不重合的平面，是兩條不重合的直線，則下列命題正確的是（    ）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】CD【分析】根據空間中線、面的位置關系，逐一分析各個選項，即可得答案.【詳解】對于A：若，則或，故A錯誤；對于B：若，則與可平行也可異面，故B錯誤；對于C：若，則，故C正確；對于D：若，則，又，則，故D正確.故選：CD11．已知平面向量，，則下列命題中正確的有（    ）A． B．C． D．【答案】BD【分析】由向量的定義判斷A，由模的坐標表示求出模判斷B，根據垂直的坐標表示判斷C，由數(shù)量積求得向量的夾角余弦判斷D．【詳解】對于A，由于向量不能比較大小，故A錯誤；對于B，∵，∴，故B正確；對于C，∵，∴不成立，故C錯誤；對于D，∵，故D正確．故選：BD．12．已知是鈍角三角形，內角，，所對的邊分別為，，，若，，則最大的邊的取值可能是（    ）A．5 B．6 C． D．7【答案】BC【分析】根據余弦定理即可求解.【詳解】由于是鈍角三角形，且最大，所以，故，進而，所以均符合要求，而D不符合兩邊之和大于第三邊，故選：BC 三、填空題13．已知是方程的一個根，則實數(shù)的值為______.【答案】5【分析】將方程的根代入方程求解即可.【詳解】由題意知，，整理得： ，解得，故答案為：5.14．如圖所示是古希臘數(shù)學家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻著一個圓柱，圓柱內有一個內切球，這個球的直徑恰好與圓柱的高相等，相傳這個圖形表達了阿基米德最引以為豪的發(fā)現(xiàn)．該圓柱的體積與球的體積之比為______．【答案】【分析】設球的半徑為，則圓柱的底面半徑為，高為，從而可求出兩個幾何體的體積，進而可得答案【詳解】設球的半徑為，則圓柱的底面半徑為，高為，，，故答案為：15．趙爽是我國古代數(shù)學家，大約在公元222年，他為《周髀算經》一書作序時，介紹了“趙爽弦圖”——由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形，如圖1所示.類比“趙爽弦圖”，可構造如圖2所示的圖形，它是由3個全等的三角形與中間一個小等邊三角形拼成的一個大等邊三角形.在中，若，則___________.【答案】【分析】由條件可得，，由余弦定理可得答案.【詳解】由題意為等邊三角形，則,所以根據條件與全等，所以在中， 所以 故答案為：16．若的外接圓半徑為，且，則的取值范圍是_________．【答案】【分析】根據的幾何意義可確定取得最值時點的位置，由此可求得的取值范圍.【詳解】的外接圓圓心為，過作，如下圖所示，，的幾何意義為在方向上的投影，當與重合時，取得最大值；當與重合時，取得最小值；，為等邊三角形，，又，，又，，則，，解得：，；同理可得：，，，.故答案為：. 四、解答題17．如圖，PA是圓柱的母線，AB是底面圓的直徑，C是底面圓周上異于A．B的一點，且．(1)求證：平面PAC(2)若M是PC的中點，求三棱錐的體積．【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）通過證明來證得平面.（2）先求得三棱錐的高，進而求得三棱錐的體積.【詳解】（1）∵PA為圓柱母線，∴平面ACB，∵平面，∴，∵AB為底面圓直徑，∴，∵平面APC，平面APC，，∴平面PAC.（2）∵平面APC，平面平面APC，∴平面ACM，BC為三棱錐的高，，∵，M為PC中點，∴，，，∴.18．如圖，漁船甲位于島嶼A的南偏西60°方向的B處，且與島嶼A相距12海里，漁船乙以10海里/小時的速度從島嶼A出發(fā)沿正北方向航行，若漁船甲同時從B處出發(fā)沿北偏東α的方向追趕漁船乙，剛好用2小時追上.(1)求漁船甲的速度；(2)求的值.【答案】(1)14海里小時；(2). 【分析】（1）由題意知，，，.在△中，利用余弦定理求出，進而求出漁船甲的速度.（2）在△中，，，，，由正弦定理，即可解出的值.【詳解】（1）(1）依題意，，，，.在△中，由余弦定理，得.解得.故漁船甲的速度為海里小時.即漁船甲的速度為14海里小時.（2）在△中，因為，，，，由正弦定理，得，即.的值為.19．如圖，在正方體中，分別為，AB中點．(1)求證：平面；(2)求異面直線EF與所成角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】取的中點M，連接，推導出，利用線面平行的判定定理即可證明平面；由可知為異面直線EF與所成角，從而利用余弦定理求解即可.【詳解】（1）證明：取的中點M，連接，在中，因為分別為的中點，所以且，又且，所以且，所以四邊形MEFA為平行四邊形，有，又平面平面，所以平面；（2）不妨設正方體棱長為2，由可知為異面直線EF與所成角，在中，已知，由余弦定理得，所以異面直線EF與所成角的余弦值為20．已知的內角，，的對邊分別為，，，且．(1)求角；(2)若是邊上一點，且，，求面積的最大值．【答案】(1)(2) 【分析】（1）由，利用正弦定理結合兩角和的正弦公式得到求解；（2）根據，得到，再分別在和中，利用余弦定理根據，得到，再在中利用余弦定理，兩者結合得到，利用基本不等式得到，然后利用三角形面積公式求解.【詳解】（1）解：因為，所以，因為，所以，所以；（2）因為，所以，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，因為，所以，兩式相加得，又在中，由利用余弦定理得：，所以，當且僅當，即時，等號成立，所以，所以，面積的最大值21．如圖，四棱錐中，底面為菱形，的中點為，的中點為，且平面．(1)證明：平面；(2)若，，，求直線與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）連接，，可得，由直線與平面平行的判定可得平面；（2）作，垂足為，連接，作，垂足為，即可證明平面，分別求出和的值，設直線與平面所成角為，求出直線與平面所成角的正弦值即可．【詳解】（1）連接，則為與的交點，連接，底面為菱形，所以為的中點，又的中點為，可得，平面，平面，平面；（2）作，垂足為，連接，作，垂足為，平面，平面，，又，，平面，平面，平面，，又，，平面，平面，，四邊形為菱形，為等邊三角形，又，，，，，，在中，，由，得，點到平面的距離為，設直線與平面所成角為，則，即直線與平面所成角的正弦值為．22．在中，已知且.（1）試確定的形狀；（2）求的取值范圍.【答案】（1）直角三角形；（2）.【分析】（1）根據正弦定理化簡整理得到即可判斷三角形的形狀；（2）由正弦定理將表示成，接著根據三角函數(shù)的知識求解取值范圍即可.【詳解】解：（1）由正弦定理得：，所以①因為，所以所以，②把②代入①得所以是直角三角形（2）由（1）知，所以所以.根據正弦定理得因為，所以即的取值范圍是. 

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