27.1.2 黃金分割基礎(chǔ)訓(xùn)練知識(shí)點(diǎn)1 比例中項(xiàng)1.若x是2,18的比例中項(xiàng),則x=___________. 2.若線段a=6 cm,b=3 cm,且c是a,b的比例中項(xiàng),則線段c的長(zhǎng)度為(　　)A.3 cm　 B.±3 cm　 C.±18 cm　 D.18 cm3.如果a∶b=3∶2,且b是a,c的比例中項(xiàng),那么b∶c等于(　　)A.4∶3 B.3∶2 C.2∶3 D.3∶44.如圖,有三個(gè)直角三角形,其中OA=AB=BC=CD=1,則線段OA,OD的比例中項(xiàng)線段的長(zhǎng)度為(　　)A.     B.C.±  D.知識(shí)點(diǎn)2 黃金分割5.如果點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)(AC>BC),則下列比例式正確的是(　　)A.AB∶AC=AC∶BC B.AB∶BC=BC∶ACC.AC∶BC=BC∶AB D.AC∶AB=AB∶BC6.若點(diǎn)C為線段AB的黃金分割點(diǎn),且AC>BC,則①AB=AC;②AC=AB;③AB∶AC=AC∶CB;④AC≈0.618AB.其中正確的有(　　)A.1個(gè)   B.2個(gè)  C.3個(gè) D.4個(gè)7.從美學(xué)角度來說,人的上身長(zhǎng)與下身長(zhǎng)之比為黃金比例,可以給人一種協(xié)調(diào)的美感.某女老師上身長(zhǎng)約61.80 cm,下身長(zhǎng)約93.00 cm,她要穿約___________cm的高跟鞋才能達(dá)到黃金比的美感效果(精確到1 cm).  提升訓(xùn)練考查角度1 利用比例性質(zhì)求解比例中項(xiàng)問題8.已知線段a,b,c滿足==,且a+2b+c=26.(1)求a,b,c的值;(2)若線段x是線段a,b的比例中項(xiàng),求x.  考查角度2 利用黃金分割的定義找黃金分割點(diǎn)(計(jì)算法、定義法)9.以長(zhǎng)為2的線段AB為邊作正方形ABCD,取AB的中點(diǎn)P,連接PD,在BA的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)F,使PF=PD,以AF為邊作正方形AMEF,點(diǎn)M在AD上.(1)求MA,DM的長(zhǎng);(2)求證:AM2=AD·DM.(3)根據(jù)(2)的結(jié)論你能找出圖中的一個(gè)黃金分割點(diǎn)嗎? 考查角度3 利用黃金分割的定義證明黃金矩形(計(jì)算法、定義法)10.寬與長(zhǎng)的比是的矩形叫黃金矩形,心理學(xué)測(cè)試表明,黃金矩形令人賞心悅目,它給我們以協(xié)調(diào)、勻稱的美感,現(xiàn)將同學(xué)們?cè)诮虒W(xué)活動(dòng)中折疊黃金矩形的方法歸納得出以下作圖步驟(如圖所示:)第一步:任作一個(gè)正方形ABCD;第二步:分別取AD,BC的中點(diǎn)M,N,連接MN;第三步:以N為圓心,ND長(zhǎng)為半徑畫弧,交BC的延長(zhǎng)線于E;第四步:過E作EF⊥AD,交AD的延長(zhǎng)線于F.請(qǐng)你根據(jù)以上作法,證明矩形DCEF為黃金矩形(可取AB=2).11.如圖是一張矩形紙片ABCD,E,F分別是BC,AD上的點(diǎn)(但不與頂點(diǎn)重合),如果直線EF將矩形分成面積相等的兩部分:(1)問得到的兩個(gè)四邊形是否相似?若相似,請(qǐng)求出相似比;若不相似,請(qǐng)說明理由.(2)這樣的直線可以作幾條?12.已知菱形A1B1C1D1的邊長(zhǎng)為2,∠A1B1C1=60°,對(duì)角線A1C1,B1D1相交于點(diǎn)O.以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以O(shè)A1,OB1所在直線為x軸、y軸,建立如圖所示的直角坐標(biāo)系.以B1D1為對(duì)角線作菱形B1C2D1A2∽菱形A1B1C1D1,再以A2C2為對(duì)角線作菱形A2B2C2D2∽菱形B1C2D1A2,再以B2D2為對(duì)角線作菱形B2C3D2A3∽菱形A2B2C2D2,…,按此規(guī)律繼續(xù)作下去,在x軸的正半軸上得到點(diǎn)A1,A2,A3,…,An,則點(diǎn)An的坐標(biāo)為　　　　.  參考答案1.【答案】±6　解：∵x是2和18的比例中項(xiàng),∴x=±=±6.2.【答案】A　解：∵線段c的長(zhǎng)度為正數(shù),∴答案在A,D中選.∵c是a,b的比例中項(xiàng),∴c2=ab=18,∴c=3 cm.3.【答案】B4.【答案】D　解：易知OA=1,OD==2,∴線段OA,OD的比例中項(xiàng)線段的長(zhǎng)度為==.5.【答案】A　解：根據(jù)黃金分割的定義判斷.6.【答案】B　解：由點(diǎn)C為線段AB的黃金分割點(diǎn),且AC>BC,可得==,由此可以判斷③④正確,所以正確的說法有2個(gè).故選B.解題策略:解這類問題要明確在由黃金分割點(diǎn)分得的兩條線段中,較長(zhǎng)線段是較短線段和原線段的比例中項(xiàng).7.【答案】7　解：設(shè)她要穿x cm的高跟鞋才能達(dá)到黃金比的美感效果.根據(jù)題意,得=,解得x≈7.8.解:(1)=====2,∴a=6,b=4,c=12.(2)因?yàn)榫€段x是線段a,b的比例中項(xiàng),所以x2=ab.所以x===2.9.(1)解:如圖,∵P為邊AB的中點(diǎn),∴AP=AB=1,∴DP===.∴PF=PD=.∴FA=PF-AP=-1.∴AM=FA=-1,DM=AD-MA=3-.(2)證明:∵AM2=(-1)2=6-2,AD·DM=2(3-)=6-2,∴AM2=AD·DM.(3)解:圖中的點(diǎn)M為線段AD的黃金分割點(diǎn).10.證明:在正方形ABCD中,取AB=2.∵N為BC的中點(diǎn),∴NC=BC=1.在Rt△DNC中,ND===.又∵NE=ND,∴CE=NE-NC=-1,∴=.故矩形DCEF為黃金矩形.11.解:(1)設(shè)AF=a,DF=b,BE=m,EC=n,AB=CD=h(a,b,m,n,h均大于零).由題意知S梯形ABEF=S梯形CDFE,即(a+m)·h=(b+n)·h,所以a+m=b+n.①又AD=BC,所以a+b=m+n,即a=m+n-b.②把②代入①,得m+n-b+m=b+n,所以m=b,即DF=BE.所以AF=EC.故有====1.在矩形ABCD中,∠A=∠B=∠C=∠D=90°.因?yàn)?/span>AD∥BC,所以∠AFE=∠CEF,∠BEF=∠DFE.所以四邊形ABEF∽四邊形CDFE.∴得到的兩個(gè)四邊形相似,且相似比為1.(2)這樣的直線可以作無(wú)數(shù)條.分析:(1)分別設(shè)出直線分矩形兩邊所成的四條線段,由分成的兩部分面積相等可得各邊關(guān)系.(2)過對(duì)角線交點(diǎn)的任一條直線都滿足條件.12.(,0)　點(diǎn)撥:由題意,點(diǎn)A1的坐標(biāo)為(1,0),點(diǎn)A2的坐標(biāo)為(3,0),即(,0),點(diǎn)A3的坐標(biāo)為(9,0),即(,0),點(diǎn)A4的坐標(biāo)為(27,0),即(,0),,…,∴點(diǎn)An的坐標(biāo)為(,0). 

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初中數(shù)學(xué)人教版九年級(jí)下冊(cè)電子課本

27.1 圖形的相似

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