24．1.2　垂直于弦的直徑1．進(jìn)一步認(rèn)識(shí)圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形．2．能利用圓的軸對(duì)稱(chēng)性，通過(guò)探索、歸納、驗(yàn)證得出垂直于弦的直徑的性質(zhì)和推論，并能應(yīng)用它解決一些簡(jiǎn)單的計(jì)算、證明和作圖問(wèn)題．3．認(rèn)識(shí)垂徑定理及推論在實(shí)際中的應(yīng)用，會(huì)用添加輔助線的方法解決問(wèn)題．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 一、情境導(dǎo)入你知道趙州橋嗎？它又名“安濟(jì)橋”，位于河北省趙縣，是我國(guó)現(xiàn)存的著名的古代石拱橋，距今已有1400多年了，是隋代開(kāi)皇大業(yè)年間(605～618)由著名將師李春建造的，是我國(guó)古代人民勤勞和智慧的結(jié)晶．它的主橋拱是圓弧形，全長(zhǎng)50.82米，橋?qū)捈s10米，跨度37.4米，拱高7.2米，是當(dāng)今世界上跨徑最大、建造最早的單孔敞肩石拱橋．你知道主橋拱的圓弧所在圓的半徑嗎？ 二、合作探究探究點(diǎn)一：垂徑定理【類(lèi)型一】垂徑定理的理解  如圖所示，⊙O的直徑AB垂直弦CD于點(diǎn)P，且P是半徑OB的中點(diǎn)，CD＝6cm，則直徑AB的長(zhǎng)是(　　)A．2cm  　　　　B．3cmC．4cm  　　　　D．4cm解析：∵直徑AB⊥DC，CD＝6，∴DP＝3.連接OD，∵P是OB的中點(diǎn)，設(shè)OP為x，則OD為2x，在Rt△DOP中，根據(jù)勾股定理列方程32＋x2＝(2x)2，解得x＝.∴OD＝2，∴AB＝4.故選D.方法總結(jié)：我們常常連接半徑，利用半徑、弦、垂直于弦的直徑造出直角三角形，然后應(yīng)用勾股定理解決問(wèn)題． 【類(lèi)型二】垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用  如圖，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弧(圖中的)，點(diǎn)O是這段弧的圓心，C是上一點(diǎn)，OC⊥AB，垂足為D，AB＝300m，CD＝50m，則這段彎路的半徑是________m.解析：本題考查垂徑定理，∵OC⊥AB，AB＝300m，∴AD＝150m.設(shè)半徑為R，根據(jù)勾股定理可列方程R2＝(R－50)2＋1502，解得R＝250.故答案為250.方法總結(jié)：將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，再利用我們學(xué)過(guò)的垂徑定理、勾股定理等知識(shí)進(jìn)行解答． 探究點(diǎn)二：垂徑定理的推論【類(lèi)型一】利用垂徑定理的推論求角  如圖所示，⊙O的弦AB、AC的夾角為50°，M、N分別是、的中點(diǎn)，則∠MON的度數(shù)是(　　)A．100°  B．110°C．120°  D．130°解析：已知M、N分別是、的中點(diǎn)，由“平分弧的直徑垂直平分弧所對(duì)的弦”得OM⊥AB、ON⊥AC，所以∠AEO＝∠AFO＝90°，而∠BAC＝50°，由四邊形內(nèi)角和定理得∠MON＝360°－∠AEO－∠AFO－∠BAC＝360°－90°－90°－50°＝130°.故選D. 【類(lèi)型二】利用垂徑定理的推論求邊  如圖，點(diǎn)A、B是⊙O上兩點(diǎn)，AB＝10cm，點(diǎn)P是⊙O上的動(dòng)點(diǎn)(與A、B不重合)，連接AP、BP，過(guò)點(diǎn)O分別作OE⊥AP于E，OF⊥PB于F，求EF的長(zhǎng)．解析：運(yùn)用垂徑定理先證出EF是△ABP的中位線，然后運(yùn)用三角形中位線性質(zhì)把要求的EF與AB建立關(guān)系，從而解決問(wèn)題．解：在⊙O中，∵OE⊥AP，OF⊥PB，∴AE＝PE，BF＝PF，∴EF是△ABP的中位線，∴EF＝AB＝×10＝5cm.方法總結(jié)：垂徑定理雖是圓的知識(shí)，但也不是孤立的，它常和三角形等知識(shí)綜合來(lái)解決問(wèn)題，我們一定要把知識(shí)融會(huì)貫通，在解決問(wèn)題時(shí)才能得心應(yīng)手． 【類(lèi)型三】動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題 如圖，⊙O的直徑為10cm，弦AB＝8cm，P是弦AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求OP的長(zhǎng)度范圍．解析：當(dāng)點(diǎn)P處于弦AB的端點(diǎn)時(shí)，OP最長(zhǎng)，此時(shí)OP為半徑的長(zhǎng)；當(dāng)OP⊥AB時(shí)，OP最短，利用垂徑定理及勾股定理可求得此時(shí)OP的長(zhǎng)．解：作直徑MN⊥弦AB，交AB于點(diǎn)D，由垂徑定理，得AD＝DB＝AB＝4cm.又∵⊙O的直徑為10cm，連接OA，∴OA＝5cm.在Rt△AOD中，由勾股定理，得OD＝＝3cm.∵垂線段最短，半徑最長(zhǎng)，∴OP的長(zhǎng)度范圍是3≤OP≤5(單位：cm)．方法總結(jié)：解題的關(guān)鍵是明確OP最長(zhǎng)、最短時(shí)的情況，靈活利用垂徑定理求解．容易出錯(cuò)的地方是不能確定最值時(shí)的情況． 三、板書(shū)設(shè)計(jì) 教學(xué)過(guò)程中，強(qiáng)調(diào)垂徑定理的得出跟圓的軸對(duì)稱(chēng)密切相關(guān)．在圓中求有關(guān)線段長(zhǎng)時(shí)，可考慮垂徑定理的應(yīng)用.

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24.1.2 垂直于弦的直徑

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