第15章  軸對(duì)稱圖形與等腰三角形15.3　等腰三角形第1課時(shí)　等腰三角形的性質(zhì)教學(xué)目標(biāo)1.經(jīng)歷操作、思考、探究證明等腰三角形的有關(guān)定理的過程，進(jìn)一步掌握證明的基本步驟和書寫格式； 2.理解并掌握等腰三角形的性質(zhì)及其推論；3.能運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)及其推論解決基本的幾何問題.教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)： 等腰三角形的性質(zhì)定理及其證明.難點(diǎn)：用文字證明幾何命題及其輔助線的添加.教學(xué)過程知識(shí)回顧1.等腰三角形的定義：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.2.等腰三角形的相關(guān)概念等腰三角形中，相等的兩邊叫做腰，另一邊叫做底邊，兩腰的夾角叫做頂角，腰和底邊的夾角叫做底角. 【師生活動(dòng)】師生回顧等腰三角形的一些相關(guān)概念.新課導(dǎo)入【創(chuàng)設(shè)情境，課堂引入】操作：畫一個(gè)等腰三角形ABC，把邊AB疊合到邊AC上，這時(shí)點(diǎn)B與點(diǎn)C重合，得折痕AD，觀察圖形△ADB與△ADC有什么關(guān)系？圖中哪些線段和角相等？AD與BC垂直嗎？為什么？ 思考：（1）△ABC 是軸對(duì)稱圖形嗎？它的對(duì)稱軸是什么？（2）△ADB 與△ADC 有什么關(guān)系？圖中有哪些線段或角相等？AD與BC垂直嗎？為什么？  新課講解1.等腰三角形的性質(zhì)【學(xué)生活動(dòng)】根據(jù)折疊找出重合的線段，重合的角，填入表格.重合的線段重合的角AB與AC∠B與∠CBD與CD∠BAD與∠CADAD與AD∠ADB與∠ADC【教師】通過對(duì)折，我們發(fā)現(xiàn)了這些重合的量，那么通過這個(gè)對(duì)折，我們能不能發(fā)現(xiàn)等腰三角形的性質(zhì)呢？提出本節(jié)課要解決的問題.【教師提問】等腰三角形是軸對(duì)稱圖形嗎？找出對(duì)稱軸.【學(xué)生活動(dòng)】先獨(dú)立思考，再與同伴交流.等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，它的對(duì)稱軸就是剛剛對(duì)折的折痕.【教師】在對(duì)折中，我們發(fā)現(xiàn)，在等腰三角形中，兩個(gè)底角是相等的，即∠B ＝∠C.這就是等腰三角形的性質(zhì)之一：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)寫成“等邊對(duì)等角”）.【教師提問】頂角的平分線所在的直線是等腰三角形的對(duì)稱軸嗎？【教師】針對(duì)這個(gè)問題，同學(xué)們利用量角器，在紙板上畫出頂角的角平分線吧.之后，沿著所畫的角平分線對(duì)折紙板，你們發(fā)現(xiàn)了什么？【學(xué)生活動(dòng)】先動(dòng)手操作，獨(dú)立思考，再與同伴交流，發(fā)表自己的見解.【師生歸納】我們沿著角平分線對(duì)折，等腰三角形能夠完全重合，這說明，頂角平分線是等腰三角形的對(duì)稱軸.【教師提問】底邊上的中線所在的直線是等腰三角形的對(duì)稱軸嗎？底邊上的高所在直線呢？【學(xué)生活動(dòng)】先獨(dú)立思考，再與同伴交流底邊上的中線所在的直線是等腰三角形的對(duì)稱軸.底邊上的高所在的直線是等腰三角形的對(duì)稱軸.【教師】將問題結(jié)合，我們就得到了等腰三角形的第二個(gè)性質(zhì)：等腰三角形的頂角的平分線垂直平分底邊.(等腰三角形三線合一)【教師提問】怎樣證明這一條性質(zhì)？【教師活動(dòng)】利用等腰三角形的模型引導(dǎo)學(xué)生說出證明思路，即要想證明∠B＝∠C，只需要證明兩角所在的三角形全等，引導(dǎo)學(xué)生作輔助線.【學(xué)生活動(dòng)】先獨(dú)立思考，再與同伴交流，寫出證明過程.已知： 如圖，在△ABC 中，AB＝AC.求證：∠B＝ ∠C.方法一：作底邊上的中線證明：取BC的中點(diǎn)D，連接AD，則BD＝CD.在△BAD和△CAD中，∴  △BAD≌△CAD （SSS）.∴  ∠B＝∠C (全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等).方法二：作頂角的平分線證明：作頂角的平分線AD，則∠BAD＝∠CAD. 在△ABD和△ACD中,∴  △BAD≌△CAD （SSS）. ∴  ∠B＝∠C (全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等). 歸納定理1：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（等邊對(duì)等角）.【教師提問】等腰三角形的性質(zhì)有哪些？想一想：由△BAD≌ △CAD，除了可以得到∠B＝ ∠C之外，你還可以得到哪些相等的線段和相等的角？和你的同伴交流一下，看看你有什么新的發(fā)現(xiàn)？                                                                                                                                       【學(xué)生活動(dòng)】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，得出相等的線段和相等的角，用數(shù)學(xué)語言表述所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，并進(jìn)行證明.解：∵ △BAD≌ △CAD，由全等三角形的性質(zhì)易得BD＝CD,∠ADB＝∠ADC，∠BAD＝∠CAD.又∵  ∠ADB+∠ADC＝180°， ∴  ∠ADB＝∠ADC＝  90° ，即AD是等腰△ABC底邊BC上的中線、頂角∠BAC的角平分線、底邊BC上的高線 .                                                                                                                           歸納：定理2：等腰三角形頂角的平分線垂直平分底邊.等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線和底邊上的高“三線合一”. 【學(xué)生總結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng))1.等腰三角形是軸對(duì)稱圖形. 2.等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高重合（也稱“三線合一”），它們所在的直線都是等腰三角形的對(duì)稱軸. 3.等腰三角形的兩個(gè)底角相等. 典型例題例1　已知：如圖,在△ABC中,AB＝AC,∠BAC＝120°,點(diǎn)D,E是底邊上兩點(diǎn),且BD＝AD,CE＝AE.求∠DAE的度數(shù). 解：∵ AB＝AC,(已知) ∴ ∠B＝∠C.(等邊對(duì)等角) ∴ ∠B＝∠C＝ ×(180°-120°)＝30°.又∵ BD＝AD,(已知) ∴ ∠BAD＝∠B＝30°.(等邊對(duì)等角) 同理,∠CAE＝∠C＝30°，∴ ∠DAE＝∠BAC-∠BAD-∠CAE＝120°-30°-30°＝60°.【教師活動(dòng)】分析例1，剖析推理方法及其依據(jù)，提出討論問題，引導(dǎo)學(xué)生思考，巡視學(xué)生做題情況，及時(shí)糾正.【學(xué)生活動(dòng)】參考老師的分析，嘗試解答，小組交流解題過程.2.等邊三角形的性質(zhì)【教師】在等腰三角形中，還有一類更特殊的三角形：等邊三角形.結(jié)合剛剛等腰三角形的性質(zhì)的分析，我們來看一下等邊三角形的性質(zhì).【教師提問1】 等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角之間有什么關(guān)系？結(jié)論：等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每一個(gè)角都等于60°.【學(xué)生活動(dòng)】先獨(dú)立思考，再與同伴交流，寫出證明過程已知：AB＝AC＝BC ，     求證：∠A＝∠B＝∠C＝ 60°.證明： ∵ AB＝AC.∴ ∠B＝∠C .(等邊對(duì)等角)同理 ∠A＝∠C .∴ ∠A＝∠B＝∠C.∵  ∠A+∠B+∠C＝180°,∴  ∠A＝ ∠B＝ ∠C＝60 °.【教師提問】由于等邊三角形是特殊的等腰三角形，那么等邊三角形肯定也是軸對(duì)稱圖形，那它的對(duì)稱軸有幾條呢？【學(xué)生活動(dòng)】先獨(dú)立思考，再與同伴交流.等邊三角形有三條對(duì)稱軸.【教師提問】根據(jù)等腰三角形所具有的三線合一的性質(zhì)，可以得到等邊三角形的什么性質(zhì)？【學(xué)生活動(dòng)】先獨(dú)立思考，再與同伴交流.同樣的，等腰三角形所具有的三線合一的性質(zhì)，等邊三角形也具有，并且對(duì)于三條邊來說，都具有這一性質(zhì).同時(shí)，它的三個(gè)角都是相等的，為60°.【教師活動(dòng)】我們將等邊三角形的性質(zhì)總結(jié)如下：等邊三角形是軸對(duì)稱圖形,等邊三角形共有三條對(duì)稱軸.等邊三角形每個(gè)角的平分線和這個(gè)角的對(duì)邊上的中線、高線重合（“三線合一”），它們所在的直線都是等邊三角形的對(duì)稱軸.等邊三角形的各角都相等，都等于60°.典型例題例2　如圖，△ABC是等邊三角形，E是AC上一點(diǎn)，D是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接BE，DE，若∠ABE＝40°，BE＝DE，求∠CED的度數(shù).解：∵ △ABC是等邊三角形，∴ ∠ABC＝∠ACB＝60°.∵ ∠ABE＝40°，∴ ∠EBC＝∠ABC－∠ABE  ＝60°－40°＝20°.∵ BE＝DE，∴ ∠D＝∠EBC＝20°，∴ ∠CED＝∠ACB－∠D＝40°.【教師活動(dòng)】分析例2，剖析推理方法及其依據(jù)，提出討論問題，引導(dǎo)學(xué)生思考，巡視學(xué)生做題情況，及時(shí)糾正.【學(xué)生活動(dòng)】參考老師的分析，嘗試解答，小組交流解題過程.典型例題例3  已知點(diǎn)D、E在△ABC的邊BC上，AB＝AC.(1)如圖①，若AD＝AE，求證：BD＝CE；(2)如圖②，若BD＝CE，F為DE的中點(diǎn)，求證：AF⊥BC. 證明：（1）如圖①，過A作AG⊥BC于G. ∵ AB＝AC，AD＝AE， ∴ BG＝CG，DG＝EG， ∴ BG－DG＝CG－EG，∴ BD＝CE.（2）∵ BD＝CE，F為DE的中點(diǎn)，∴ BD＋DF＝CE＋EF，∴ BF＝CF.∵ AB＝AC，∴ AF⊥BC.【互動(dòng)總結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng)) 在等腰三角形有關(guān)計(jì)算或證明中，有時(shí)需要添加輔助線，其頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線是常見的輔助線.課堂練習(xí)1.等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角是50°，則這個(gè)三角形的底角的大小是(　 )A.65°或50°B.80°或40°  C.65°或80°  D.50°或80°2.如圖，在△ABC中，AB＝AC，過點(diǎn)A作AD∥BC，若∠1＝70°，則∠BAC的大小為（   ）A.40°      B.30°      C.70°    D.50° 3.（1）等腰三角形一個(gè)底角為75°,它的另外兩個(gè)角為        ； （2）等腰三角形一個(gè)角為36°,它的另外兩個(gè)角為        ； （3）等腰三角形一個(gè)角為120°,它的另外兩個(gè)角為         . 4.在△ABC中， AB＝AC，AB的垂直平分線與AC所在的直線相交得的銳角為50°，則底角的大小為_________.5.如圖，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝26°，求∠B和∠C的度數(shù).6.如圖，已知△ABC為等腰三角形，BD、CE為底角的平分線，且∠DBC＝∠F，求證：EC∥DF. 參考答案1.A  2.A  3.(1) 75°, 30°；(2) 72°,72°或36°,108°；(3) 30°，30°4.70°或20°5. 解： ∵ AB＝AD＝DC，∴  ∠B＝ ∠ADB，∠C＝ ∠DAC.設(shè) ∠C＝x，則 ∠DAC＝x,∠B＝ ∠ADB＝ ∠C+ ∠DAC＝2x，在△ABC中， 根據(jù)三角形內(nèi)角和定理， 得2x+x+26°+ x＝180°， 解得x＝38.5°. ∴  ∠C＝ x＝38.5°， ∠B＝2x＝77°.6. 證明：∵ △ABC為等腰三角形，AB＝AC，∴ ∠ABC＝∠ACB.又∵ BD、CE為底角的平分線，∴ ∠DBC＝∠ABC，∠ECB＝∠ACB，∴ ∠DBC＝∠ECB.∵ ∠DBC＝∠F，∴ ∠ECB＝∠F，∴ EC∥DF.課堂小結(jié)布置作業(yè)教材習(xí)題15.3第1,2,3題.板書設(shè)計(jì)第1課時(shí)　等腰三角形的性質(zhì)1.等腰三角形的性質(zhì)（1）等腰三角形是軸對(duì)稱圖形. （2）等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高重合（也稱“三線合一”），它們所在的直線都是等腰三角形的對(duì)稱軸. （3）等腰三角形的兩個(gè)底角相等. 2.等邊三角形的性質(zhì)(1)等邊三角形是軸對(duì)稱圖形,等邊三角形共有三條對(duì)稱軸.(2)等邊三角形每個(gè)角的平分線和這個(gè)角的對(duì)邊上的中線、高線重合（“三線合一”），它們所在的直線都是等邊三角形的對(duì)稱軸.(3)等邊三角形的各角都相等，都等于60°.教學(xué)反思                     教學(xué)反思                                教學(xué)反思                                教學(xué)反思                                  教學(xué)反思                                          教學(xué)反思                                    

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