第15章  軸對稱圖形與等腰三角形15.3　等腰三角形第3課時　等腰三角形的判定教學(xué)目標(biāo)1.掌握等腰三角形的判定定理，運用定理進行論證和證明；2.掌握等邊三角形的判定定理；3.掌握含30°角的直角三角形的性質(zhì)并解決有關(guān)問題.教學(xué)重難點重點： 等邊三角形的判定.難點：含30°角的直角三角形的性質(zhì)的應(yīng)用.教學(xué)過程知識回顧1.等腰三角形有哪些性質(zhì)？2.等腰三角形的頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合.（ 簡寫成“三線合一” ）新課導(dǎo)入在△ABC中，AB＝AC，倘若不留神，它的一部分被墨水涂沒了，只留下一條底邊BC和一個底角∠C，請問，有沒有辦法把原來的等腰三角形畫出來？探究新知探究1：等腰三角形的判定如圖，在△ABC中，如果∠B＝∠C，那么AB與AC之間有什么關(guān)系嗎？【教師活動】指導(dǎo)先猜測，再通過測量驗證.【學(xué)生活動】學(xué)生先測量，再小組交流測量結(jié)果，總結(jié)結(jié)論.歸納總結(jié)等腰三角形的判定定理：定理：有兩個角相等的三角形是等 腰三角形.(等角對等邊) 【教師提問】那么滿足兩個底角相等的三角形是等腰三角形嗎？我們該如何證明？分析已知，求證，指導(dǎo)學(xué)生寫出證明過程.【學(xué)生活動】先獨立思考，再與同伴交流，寫出證明過程.已知：如圖，在△ABC中，∠B＝∠C.求證：AB＝AC. 證明：過點A作AD⊥BC,D為垂足， 則∠ADB＝∠ADC＝90°（垂直的定義）. 在△ADB和△ADC中， ∴  △ADB ≌ △ADC （SAS）. ∴  AB＝ AC (全等三角形的對應(yīng)邊相等).探究2：等邊三角形的判定【教師提問】一個三角形滿足什么條件就是等邊三角形?【學(xué)生活動】先獨立思考，再小組交流，用語言敘述等邊三角形的判定.總結(jié)：由等腰三角形的判定定理，可得等邊三角形的兩個判定定理：1.三個角都相等的三角形是等邊三角形；2.有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形.【教師活動】分析文字命題中的已知、求證，引導(dǎo)學(xué)生寫出證明過程.【學(xué)生活動】先自己寫出過程，再小組內(nèi)交流、糾正.推論1 三個角相等的三角形是等邊三角形已知：如圖，∠A＝ ∠ B＝∠C.求證： AB＝AC＝BC.證明：∵ ∠A＝ ∠B,∴ AC＝BC.∵ ∠B＝∠C,∴ AB＝AC.∴ AB＝AC＝BC.推論2：有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形. 【教師活動】分析符合條件 的三角形分兩種情況：一種是頂角是60°；一種是底角是60°.【學(xué)生活動】根據(jù)不同的情況分別寫出已知、求證，小組研討證題思路，把證明過程寫出來，在小組內(nèi)交流.【驗證】第一種情況：頂角是60°.已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC  ,∠A＝ 60°.  求證：AB＝AC＝BC.證明：∵  AB＝AC  ,∠A＝ 60 °.∴  ∠B＝∠C＝ (180°－∠A)＝ 60°. ∴  ∠A＝ ∠B＝∠C.∴  AB＝AC＝BC.【驗證】第二種情況：有一個底角是60°. 已知：如圖,在△ABC中，AB＝AC,∠B＝60°.求證：△ABC是等邊三角形.證明：∵  AB＝AC,∠B＝60°(已知),∴  ∠C＝∠B＝60°(等邊對等角)，∴  ∠A＝60°(三角形內(nèi)角和定理).∴  ∠A＝∠B ＝∠C＝60°. ∴  △ABC是等邊三角形(三個角都相等的三角形是等邊三角形).【互動總結(jié)】探究3：含30°角的直角三角形的性質(zhì)已知：如圖，在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°. 求證：BC ＝ AB.證明：在△ABC 中，∵  ∠C ＝90°，∠A ＝30°, ∴  ∠B ＝60°.延長BC 到D，使CD ＝BC，連接AD，則△ACD≌ △ACB （SAS）. ∴  AD＝AB,∠BAC＝∠DAC＝30°,∠BAD＝60°. 則△ABD 是等邊三角形.∴ BD＝AB. 又∵  AC⊥BD,∴  BC ＝ BD.　∴  BC ＝ AB.　【教師活動】引導(dǎo)學(xué)生寫出已知、求證，巡視學(xué)生做題情況，對出現(xiàn)的問題及時糾正.【學(xué)生活動】書寫證明過程，總結(jié)含30°角的直角三角形的性質(zhì)，用文字語言表述，并在小組內(nèi)交流.定理：在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.【師生共同總結(jié)】用幾何語言描述定理內(nèi)容，并牢記定理內(nèi)容.∵  在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，　∴  BC ＝AB.　典型例題例1　已知：如圖，AB＝DC,BD＝CA,求證：△AED是等腰三角形. 證明：∵ AB＝DC,BD＝CA,AD＝DA,∴ △ABD≌△DCA(SSS)∴ ∠ADB＝∠DAC(全等三角形的對應(yīng)角相等）∴ AE＝DE(等角對等邊）∴  △AED是等腰三角形.【教師活動】分析思路，即證明△AED是等腰三角形，可證明∠ADB＝∠DAC，那么角相等該怎么證明，提出問題，讓學(xué)生思考.【學(xué)生活動】根據(jù)老師的分析，小組交流，得出證明∠ADB＝∠DAC可利用證△ABD≌△DCA，根據(jù)“SSS”定理可證明，寫出過程，小組交流.典型例題例2　 如圖,在等邊三角形ABC中，DE∥BC, 求證：△ADE是等邊三角形.證明：∵  △ABC是等邊三角形，∴  ∠A＝ ∠B＝ ∠C. ∵  DE//BC, ∴  ∠ADE＝ ∠B, ∠ AED＝ ∠C. ∴  ∠A＝ ∠ADE＝ ∠ AED. ∴  △ADE是等邊三角形.【教師活動】巡視學(xué)生做題，及時糾正答案.【學(xué)生活動】先自己獨立完成，再小組交流答案.典型例題例3　如圖，在△ABC中，已知AB＝AC＝2a,∠B＝∠ACB＝15°, CD是腰AB上的高，求CD的長.解：∵  ∠B＝∠ACB＝15°，(已知) ∴  ∠DAC＝∠B+∠ACB＝ 15°+15°＝30°，  ∵  ∠ADC＝90°，∴  CD＝ AC＝a.（在直角三角形中, 如果有一個銳角等于30°,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半）【教師活動】分析條件，根據(jù)三角形的外角可以得到直角三角形中有一個角是30°，提示特殊直角三角形的性質(zhì)應(yīng)用，巡視學(xué)生做題，及時糾正答案.【學(xué)生活動】先自己獨立完成，再小組交流答案.例4  如圖,上午10 時，一條船從A處出發(fā)以每小時10海里的速度向正北航行，從A處測得一礁石C在北偏西30°的方向上.如果這艘船上午8：00從A處出發(fā)，10：00到達B處，從B處測得礁石C在北偏西60°方向上.（1）畫出暗礁C的位置； （2）求從B處到暗礁C的距離.解 ：(1)以B為頂點,向北偏西60作角,這角一邊與AC交于點C,則點C為礁石所在地. (2)∵  ∠ACB＝60°-30°＝30°,(三角形的外角性質(zhì)) 又∵  ∠BAC＝30°, ∴  ∠BCA＝∠BAC，∴  BC＝BA. ∵  BA＝10×(10-8)＝20(mile), ∴   BC ＝20 (mile). 即從B處到礁石C的距離是20 mile. 【教師活動】在圖形中標(biāo)出方向角，分析出△ABC中的∠C的度數(shù)，根據(jù)等腰三角形的判定定理得BC＝AB，從而求出結(jié)論.【學(xué)生活動】根據(jù)思路寫出證明過程，小組交流.課堂練習(xí)1.已知△ABC中，∠A＝∠B＝60°，AB＝3 cm，則△ABC的周長為______cm.2.在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，AB＝3.則AC＝_____ .3.已知：如圖，AB＝BC ，∠CDE＝ 120°， DF∥BA，且DF平分∠CDE.求證：△ABC是等邊三角形.4.已知：如圖,在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB于D.求證：BD＝.5.已知：在Rt△ABC中，∠C＝90°, BC＝AB.求證：∠BAC＝30°.參考答案1. 9   2. 6 3.證明：∵  AB＝BC，∴  △ABC是等腰三角形，又∵ ∠CDE＝120°，DF平分∠CDE.∴  ∠EDF＝∠FDC＝60°，又∵  DF∥BA，∴  ∠FDC＝∠ABC＝60°，∴  △ABC是等邊三角形.4. 證明：∵ ∠A＝30°，CD⊥AB，∠ACB＝90°，∴  BC＝，∠B＝60°.∴  ∠BCD＝30°，∴  BD＝，∴  BD＝.5. 證明：延長BC至D，使CD＝BC，連接AD.∵  ∠ACB＝90°，∴  ∠ACD＝90°.又∵  AC＝AC.∴  △ACB≌△ACD(SAS).∴  AB＝AD.∵  CD＝BC，∴  BC＝BD.又∵ BC＝ AB，∴  AB＝BD.∴  AB＝AD＝BD，即△ABD是等邊三角形.∴  ∠B＝60°.在Rt△ABC中，∠BAC＝30°.課堂小結(jié)1.等腰三角形的判定： （1）有兩邊相等的三角形是等腰三角形（定義法）； （2）有兩個角相等的三角形是等腰三角形（判定定理）. 2.等邊三角形的判定：（1）有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形.（2）三個角都相等的三角形是等邊三角形.3.特殊的直角三角形的性質(zhì)：（1）在直角三角形中, 如果有一個銳角等于30°,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.（2）拓展：在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的銳角等于30°.4.數(shù)學(xué)方法：分類的思想.布置作業(yè)教材習(xí)題15.3（3）第1,2,3題板書設(shè)計第3課時等腰三角形的判定1.等腰三角形的判定2.等邊三角形的判定 3.特殊直角三角形的性質(zhì)4.數(shù)學(xué)思想 教學(xué)反思                                            教學(xué)反思                                                 教學(xué)反思                                                 教學(xué)反思                                                 教學(xué)反思                                                 教學(xué)反思            

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15.3 等腰三角形

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