第15章  軸對稱圖形與等腰三角形15.4　角的平分線第2課時　角平分線的判定與性質(zhì)教學(xué)目標(biāo)1.會證明角平分線的性質(zhì)定理及逆定理；2.會運(yùn)用角平分線的性質(zhì)定理及逆定理解決有關(guān)的數(shù)學(xué)問題. 教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)： 角平分線的性質(zhì)定理及其逆定理.難點(diǎn)：利用角平分線的性質(zhì)定理及其逆定理解決實(shí)際問題.教學(xué)過程知識回顧1.你能利用尺規(guī)作出角平分線嗎?2.你還記得角平分線上的點(diǎn)有什么性質(zhì)嗎? 怎么證明這一結(jié)論？探究新知探究1：角平分線的性質(zhì)【教師提問】請同學(xué)們拿出準(zhǔn)備好的折紙與剪刀，自己動手，剪一個角，把剪好的角對折，使角的兩邊疊合在一起，再把紙片展開，你看到了什么？把對折的紙片再任意折一次，然后把紙片展開，又看到了什么？【學(xué)生活動】先獨(dú)立思考，再與同伴交流第一次對折后的折痕是這個角的平分線；再折一次，又會出現(xiàn)兩條折痕，而且這兩條折痕是等長的.這種方法可以做無數(shù)次，所以這種等長的折痕可以折出無數(shù)對.【教師】折出如圖所示的折痕PD、PE.　　【教師提問】按照折紙的順序畫出一個角的三條折痕，并度量所畫PD、PE是否等長？【學(xué)生活動】先獨(dú)立思考，再與同伴交流.PD＝PE【教師】我們猜想角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.【教師提問】你能證明這一性質(zhì)嗎？【學(xué)生活動】先獨(dú)立思考，再與同伴交流.已知：如圖,OP是∠AOB的平分線,P是OP上任意一點(diǎn),PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分別是C,D.求證：PC＝PD.分析：要證明PC＝PD,只要證明它們所在的△OPC≌△OPD，如何證明兩三角形全等呢？證明：∵ OP平分∠AOB,（已知） ∴ ∠1＝∠2.（角平分線的定義） 又∵ PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分別是C,D(已知)∴ ∠PCO＝∠PDO＝90°.（垂直的定義） 在△PCO和△PDO中， ∵ ∴  △PCO≌△PDO.(AAS) ∴  PC＝PD.于是我們得角的平分線的性質(zhì)：在角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.注意：這個結(jié)論是經(jīng)常用來證明兩條線段相等的根據(jù)之一.【教師提問】能否用符號語言來翻譯“角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等”這句話.【互動總結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評)幾何語言∵ OP是∠AOB的平分線,P是OP上任意一點(diǎn),PD⊥OB,PC⊥OA,垂足分別是D,C(已知)∴ PD＝PC(角平分線上的點(diǎn)到這個角的兩邊距離相等).典型例題例1  已知：如圖,在△ABC 中,AD是它的角平分線,且BD＝CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分別是E,F.求證：EB＝FC. 【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DE＝DF，再根據(jù)HL證△BED≌△CFD,從而得到EB＝FC.證明：∵ AD是∠BAC的平分線， DE⊥AB, DF⊥AC，∴  DE＝DF , ∠DEB＝∠DFC＝90 °.在Rt△BDE 和 Rt△CDF中，  ∴  Rt△BDE ≌ Rt△CDF(HL).∴  EB＝FC.【互動總結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評)本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.探究2：角平分線的判定你能寫出定理 ：“角平分線上的點(diǎn)到這個角的兩邊距離相等”的逆命題嗎?逆命題：在一個角的內(nèi)部,且到角的兩邊距離相等的點(diǎn),在這個角的平分線上.它是真命題嗎?如果是，請你證明它.已知：如圖所示,PD＝PC, PD⊥OB,PC⊥OA, 垂足分別是D,C.求證：點(diǎn)P在∠AOB的平分線上.證明：∵ PD⊥OB,PC⊥OA,∴ △POD和△POC都是直角三角形.∵ PD＝PC,OP＝OP,∴ Rt△POD≌Rt△POC(HL),∴ ∠POD＝∠POC ,∴ OP是∠AOB的平分線，即點(diǎn)P在∠AOB的平分線上.定理   角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.老師提示：這個結(jié)論又經(jīng)常用來證明點(diǎn)在直線上(或直線經(jīng)過某一點(diǎn)).典型例題例2　如圖，在△ABC中，∠BAC＝60°，點(diǎn)D在BC上，AD＝10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F，且DE＝DF，求DE的長.解：∵  DE＝DF， DE⊥AB，DF⊥AC，∴ AD平分∠BAC.∵  ∠BAC＝60°， ∴ ∠BAD＝∠CAD＝30°.在Rt△ADE中， ∠EAD＝30°,AD＝10, ∴ DE＝ AD＝5. 例3　如圖，在Rt △ABC中，AC＝BC,∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC于點(diǎn)P，若PC＝4，AB＝14.（1）求△APB的面積；（2）求△PDB的周長. 解：（1）如圖，過點(diǎn)P 作PD ⊥AB, 由角平分線的性質(zhì)，可知，PD＝PC＝4，·AB·PD＝28.（2）在Rt△APC和Rt△APD中，     PC＝PD，AP＝AP，∴ Rt△ APC ≌Rt△ APD(HL)，∴ AC＝ AD ＝ BC.＝PD+PB+DB＝PC+PB+DB＝AD+DB＝AB＝14.課堂練習(xí)1.角平分線上的點(diǎn)到______________距離相等；到一個角的兩邊距離相等的點(diǎn)都在_____________.2.如圖，∠AOB＝60°，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，且PD＝PE，則∠1＝_________.3.如圖,求作一點(diǎn)P,使PC＝PD,并且點(diǎn)P到∠AOB的兩邊的距離相等. 4.如圖，已知AD∥BC，P是∠BAD與 ∠ABC的平分線的交點(diǎn)，PE⊥AB于E，且PE＝3，求AD與BC之間的距離.參考答案1. 這個角的兩邊   這個角的平分線上 2. 30°3.解：如圖所示：4.解：過點(diǎn)P作MN⊥AD于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N.∵  AD∥BC，∴  MN⊥BC，MN的長即為AD與BC之間的距離.∵  AP平分∠BAD, PM⊥AD , PE⊥AB，∴  PM＝ PE.同理，PN＝ PE.∴  PM＝ PN＝ PE＝3.∴  MN＝6.即AD與BC之間的距離為6.課堂小結(jié)1.角平分線的性質(zhì)定理 2.符號表示∵ OC是∠AOB的平分線,P是OC上任意一點(diǎn),PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分別是D,E，∴ PD＝PE.3.角平分線的判定定理4.符號表示∵ PD＝PE,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分別是D,E(已知),∴ 點(diǎn)P在∠AOB的平分線上.布置作業(yè)教材習(xí)題15.4（2）第1,2題板書設(shè)計第2課時角平分線的判定與性質(zhì)1.角平分線的性質(zhì)定理2.角平分線的判定定理 教學(xué)反思                                      教學(xué)反思                                                 教學(xué)反思                                               教學(xué)反思                                                   教學(xué)反思                       

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15.4 角的平分線

版本： 滬科版

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