?第27講 存在性問題之等腰三角形
【例題講解】
例題1.如圖，直線l1、12相交于點A,點B是直線外一點,在直線l1、12上找一點C，使
△ABC為一個等腰三角形.滿足條件的點C有 個.

【提示】
①以B為圓心,線段BA長為半徑作圓,與l1、12交點即為滿足條件點C；
②以A為圓心,線段BA長為半徑作圓，與l1、12交點即為滿足條件點C；
③作線段AB的垂直平分線，與l1、12交點即為滿足條件點C.(此方法簡稱為“兩圓一線”)

【鞏固訓(xùn)練】
1、一次函數(shù)y=x+4分別交x軸、y軸于A、B兩點,在坐標(biāo)軸上取一點C,使△ABC為等腰三角形,則這樣的點C最多有 個。

2、已知△ABC的三條邊長分別為3,4,6,在△ABC所在平面內(nèi)畫一條直線,將△ABC分割成兩個三角形,使其中的一個是等腰三角形,則這樣的直線最多可畫( )
A.6條 B. 7條 C. 8條 D. 9條

例題2. 一次函數(shù)y=x+4分別交x軸、y軸于A、B兩點，在y軸上取一點C,使得AC=BC,求出C點坐標(biāo)？【代數(shù)法、幾何法均可解】
解：如圖所示,直線AB的解析式為y=x+4,
當(dāng)y=0時,x=－3,則A(－3.0);當(dāng)x=0時,y=4,則B(0,4)。
設(shè)C點坐標(biāo)為(x.0),在Rt△AOB中,由勾股定理得,
在Rt△BOC中,由勾股定理得BC=。
①當(dāng)以AB為底時,AC=BC,則3+x=,整理得6x=7,解得x=,則(,0);
②當(dāng)以BC為底時,可得AC=AB,則,解得x=2或－8,則C(2,0)或(－8,0);
③當(dāng)以AC為底時,可得AB=BC,即得=5,整理得x2=9,解得x=±3,
則C(3,0)或(－3,0)(舍去)。
綜上所述,滿足條件的點C的坐標(biāo)是(,0)或(2,0)或(3,0)或(－8,0)

例題3.如圖,直線x=－4與x軸交于點E,一開口向上的拋物線過原點交線段OE于點A,交直線x=－4于點B,過B且平行于x軸的直線與拋物線交于點C,直線OC交直線AB于D,且AD:BD=1：3.
(1)求點A的坐標(biāo)；
(2)若△OBC是等腰三角形,求此拋物線的函數(shù)關(guān)系式.

解:(1)如圖過點D作DF⊥x軸于點F.由題意可知OF=AF則2AF+AE=4①
∵DF∥BE,∴△ADF∽△ABE,∴,即AE=2AF②
①與②聯(lián)立解得AE=2,AF=1.∴點A的坐標(biāo)為(－2,0);
(2)∵拋物線過原點(0,0),∴可設(shè)此拋物線的解析式為y=ax2+bx
∵拋物線過原點(0,0)和A點(－2,0),∴對稱軸為直線x＝＝－1
∵B、C兩點關(guān)于直線x=－1對稱B點橫坐標(biāo)為－4,∴C點橫坐標(biāo)為2,∴BC＝2－(－2)＝6
∵拋物線開口向上,∴∠OAB>90°,OB>AB=OC.
∴當(dāng)△OBC是等腰三角形時分兩種情況討論:
①當(dāng)OB=BC時設(shè)B(－4,y1),
則16+y12=36解得y1=(負(fù)值舍去).
將A(－2,0),B(－4,)代入y=ax2+bx
得,解得
∴此拋物線的解析式為y=x2+x
②當(dāng)OC=BC時設(shè)C(2,y2),則4+y22=36解得y2=(負(fù)值舍去)
將A(－2,0),C(2,)代入y=ax2+bx,
得,解得
∴此拋物線的解析式為y=x2+x


例題4.如圖甲,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=4cm,BC=3cm.如果點P由點B出發(fā)沿BA方向向點A勻速運動,同時點Q由點A出發(fā)沿AC方向向點C勻速運動,它們的速度均為1cm/s.連接PQ,設(shè)運動時間為t(s)(0

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