中考培優(yōu)競(jìng)賽專題經(jīng)典講義第28講存在性問(wèn)題之平行四邊形-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

第28講存在性問(wèn)題之平行四邊形此類問(wèn)題一般從平行四邊形的性質(zhì)著手①對(duì)邊平行且相等構(gòu)造全等；②對(duì)角線互相平分利用中點(diǎn)公式. 【例題講解】例題1.如圖,一次函數(shù)y=x+2分別交y軸、x軸于A、B兩點(diǎn),拋物線y=－x2+bx+c過(guò)A、B兩地，(1)求這個(gè)拋物線的解析式；(2)作垂直x軸的直線x=t,在第一象限交直線AB于M，交這個(gè)拋物線于N，求當(dāng)t取何值時(shí)，MN有最大值？最大值是多少？(3)在(2)的情況下,以A、M、N、D為頂點(diǎn)作平行四邊形,求第四個(gè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo).解:(1)∵y=x+2分別交y軸、x軸于A、B兩點(diǎn),∴A、B點(diǎn)的坐標(biāo)為:A(0,2),B(4,0),將x=0,y=2代y=－x2+bx+c得c=2.將x=4,y=0代y=－x2+bx+c得0=－16+4b+2,解得b＝.∴拋物線解析式為:y=－x2+x+2;(2)如答圖1,設(shè)MN交x軸于點(diǎn)E,則E(t,0),BE=4－t,tan∠ABO=,ME=BE·tan∠ABO=(4－t)×==2－t又N點(diǎn)在拋物線上,且xN=t,yN=－t2+t+2MN=yN－ME=－t2+t+2－(2－t)=－t2+4t當(dāng)t=2時(shí),MN有最大值4.(3)由(2)可知,A(0,2),M(2,1),N(2,5)以A、M、N、D為頂點(diǎn)作平行四邊形,D點(diǎn)的可能位置有三種情形,如答圖2所示：(i)當(dāng)D在y軸上時(shí),設(shè)D的坐標(biāo)為(0,a)由AD=MN,得|a－1| =4,解得a1=6,a2=－2,從而D為(0,6)或D(0,－2),(i i)當(dāng)D不在y軸上時(shí),由圖可知D3為D1N與D2M的交點(diǎn),易得D1N的方程為y=x+6,D2M的方程為y=x－2由兩方程聯(lián)立解得D為(4,4)故所求的D點(diǎn)坐標(biāo)為(0,6),(0,－2)或(4,4). 【單動(dòng)點(diǎn)】例題2.在直角坐標(biāo)系中，已知A(－2,4),B(2,2),C(1,－1),當(dāng)A、B、C、D四點(diǎn)組成的四邊形為平行四邊形時(shí),求點(diǎn)D的坐標(biāo).【分析】我們知道,平行四邊形的對(duì)角線互相平分,所以我們可以利用這個(gè)性質(zhì)幾何中點(diǎn)公式來(lái)解決這類問(wèn)題.中點(diǎn)公式:若A(x1,y1),B(x2,y2),則AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(,).【解析】如下圖,當(dāng)BD與AC為對(duì)角線時(shí),BD與AC互相平分,所以AB的中點(diǎn)即為BD的中點(diǎn),根據(jù)A、C坐標(biāo)可計(jì)算出M點(diǎn)的坐標(biāo)為(,),再根據(jù)BD的中點(diǎn)也為M(,)，即可算出D1(－3,1)，同理可計(jì)算出D2(－1,7),D3(5,－3).【總結(jié)】我們可以把過(guò)程再簡(jiǎn)單化一點(diǎn),我們發(fā)現(xiàn),在算D1時(shí),利用中點(diǎn)公式均需要除2,所以為了方便快捷,直接省略這一步,所以就是A點(diǎn)、C點(diǎn)的橫坐標(biāo)相加=B點(diǎn)、D1點(diǎn)的橫坐標(biāo)相加(即xA+xC=xB+xD1),記住這個(gè)方法，連圖都不用畫了！【雙動(dòng)點(diǎn)】例題3.在直角坐標(biāo)系中,已知有一條直線y=x+3,A(0,1),B(1,0),在直線上y=x+3找一點(diǎn)C,x軸上有一點(diǎn)D,當(dāng)以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形時(shí),求點(diǎn)D的坐標(biāo).【分析】本題中有兩個(gè)不確定的點(diǎn),點(diǎn)C和點(diǎn)D,根據(jù)上一例題,我們只需將雙動(dòng)點(diǎn)轉(zhuǎn)化為單動(dòng)點(diǎn),這個(gè)問(wèn)題就可以解決了.【解析】設(shè)C(m,－m+3),根據(jù)上一例題講述的中點(diǎn)法,即可把三個(gè)點(diǎn)D都用m表示出來(lái),分別為D1(1－m,m－2），D2(m－1, m+4),D3(m+l,m+2),因?yàn)辄c(diǎn)D在x軸上，所以縱坐標(biāo)為0，即可算出m. 【鞏固訓(xùn)練】1.如圖,已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(－2,3)、B(－6,0)、C(－1,0).(1)將△ABC繞坐標(biāo)原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，直接寫出點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A'的坐標(biāo) ；(2)請(qǐng)直接寫出:以A、B、C為頂點(diǎn)的平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo) .2.如圖,已知拋物線y=x2－4x+3與x軸交于A、B,頂點(diǎn)為C.(1)對(duì)于任意實(shí)數(shù)m,點(diǎn)M(m,－2)是否在該拋物線上？請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)求證:△ABC是等腰直角三角形；(3)已知點(diǎn)D在x軸上,那么拋物線上是否存在點(diǎn)P,使得以B、C、D、P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由. 3.如圖,二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖像與x軸交于A、B兩點(diǎn),且A點(diǎn)坐標(biāo)為(－3,0),經(jīng)過(guò)B點(diǎn)的直線交拋物線于點(diǎn)D(－2,－3).(1)求拋物線的函數(shù)關(guān)系式和直線BD的函數(shù)關(guān)系式；(2) 過(guò)x軸上的點(diǎn)E(a,0)(E點(diǎn)在B點(diǎn)的右側(cè))作直線EF∥BD,交拋物線于點(diǎn)F,是否存在實(shí)數(shù)a使四邊形BDEF是平行四邊形？如果存在,求出滿足條件的a;如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由。 4.如圖,拋物線y=－x2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn),且B點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,0),經(jīng)過(guò)A點(diǎn)的直線交拋物線于點(diǎn)D(2,3).(1)求拋物線的解析式和直線AD的解析式；(2)過(guò)x軸上的點(diǎn)E(a,0)作直線EF∥AD,交拋物線于點(diǎn)F,是否存在實(shí)數(shù)a,使得以A、D、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？如果存在,求出滿足條件的a;如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
參考答案1.解:D(－5,－3)或(－7,3)或(3,3). 2.解: (1)假設(shè)存在,則將M點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線得:－2=m2－4m+3,化簡(jiǎn)得方程:m2－4m+5=0,因?yàn)椤?/span>=(－4)2－4×5=－4<0,所以該方程無(wú)解,故對(duì)于任意實(shí)數(shù)m,點(diǎn)M(m,－2)不在拋物線上.(2)如圖所示,過(guò)點(diǎn)C作CH⊥x軸,交x軸與點(diǎn)H,連接CA、CB.拋物線的表達(dá)式為y=(x－2)2－1,所以拋物線與x軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)為A(1,0)和B(3,0),拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為C(2,－1),以H點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,0).因?yàn)?/span>tan∠HAC==1,tan∠HBC==1,所以∠BAC=∠ABC=45°,AC=BC,那么∠ACB=180°－∠CAB－∠CBA=90°,故△ACB為等腰直角三角形.(3)存在.若BD為平行四邊形的邊,則BD∥CP,因?yàn)?/span>C為拋物線上的頂點(diǎn),所以拋物線上不存在點(diǎn)P使得CP∥x軸,即BD不能作為該平行四邊形的邊。若BD為平行四邊形的對(duì)角線,因?yàn)槠叫兴倪呅螌?duì)角線互相平分,所以CP被x軸平分,因?yàn)?/span>C(2,－1),所以P的縱坐標(biāo)為1,代入拋物線解析式得:1=x2－4x+3,解得:x1=2+或x2=2－.故P點(diǎn)的坐標(biāo)為:(2+,1)或(2－,1) 3.解:(1)將點(diǎn)A和點(diǎn)O的坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式得: ,②－①得:b=2,將b=2代入①得:c=3,故拋物線解析式為y=x2+2x－3,故當(dāng)y=0時(shí),即(x+3)(x－1)=0,根據(jù)題意知,xB=1,即點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,0).設(shè)直線BD的解析式為y=kx+m,將點(diǎn)B和點(diǎn)D的坐標(biāo)代入得: ①－②得:3k=3,解得:k=1,將k=1代入①得:m=－1,故直線BD的解析式為y=x－1.(2)因?yàn)?/span>EF∥BD,所以直線EF的解析式為y=x－a,因?yàn)樗倪呅?/span>BDFE為平行四邊形,所以DF∥x,故點(diǎn)F的縱坐標(biāo)為－3。當(dāng)y=－3時(shí),x=a－3,故點(diǎn)F的坐標(biāo)為(a－3,－3)。因?yàn)辄c(diǎn)F在拋物線上,所以(a－3)2+2(a－3)－3=－3,整理得:a2－4a+3=0,即(a－1)(a－3)=0,解得:a1=1。此時(shí)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合,舍去;a2=3,此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(3.0),符合題意,故存在a=3使四邊形BDFE為平行四邊形. 4.解:(1)把點(diǎn)B和D的坐標(biāo)代入y=－x2+bx+c,得解得b=2,c=3.∴拋物線的解析式為y=－x2+2x+3,當(dāng)y=0時(shí)－x2+2x+3=0.解得x=3或x=－1.∵B(3,0),∴A(－1,0).設(shè)直線AD的解析式為y=kx+m(k≠0).把A和D的坐標(biāo)代入得解得k=1,m=1.∴直線AD的解析式為y=x+1.(2)分兩種情況①當(dāng)a<－1時(shí)，∵DF∥AE且DF=AE，∴F(0,3)∵AE=－1－a=2,∴a=－3. ②當(dāng)a>－1時(shí),顯然F應(yīng)在x軸下方,EF∥AD且EF=AD.設(shè)F(a－3,－3),－(a－3)2+2(a－3)+3=－3,解得a=4±綜上所述滿足條件的a的值為－3或4±.

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