?五年2018-2022高考數(shù)學(xué)真題按知識點(diǎn)分類匯編19-平面解析幾何（直線與方程）（含解析）

一、單選題
1．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）橢圓的左頂點(diǎn)為A，點(diǎn)P，Q均在C上，且關(guān)于y軸對稱．若直線的斜率之積為，則C的離心率為（????）
A． B． C． D．
2．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）圖1是中國古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu)，是桁，相鄰桁的水平距離稱為步，垂直距離稱為舉，圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖．其中是舉，是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為．已知成公差為0.1的等差數(shù)列，且直線的斜率為0.725，則（????）

A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9
3．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）拋物線的焦點(diǎn)到直線的距離為，則（????）
A．1 B．2 C． D．4
4．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）點(diǎn)(0，﹣1)到直線距離的最大值為（????）
A．1 B． C． D．2
5．（2020·浙江·統(tǒng)考高考真題）已知點(diǎn)O（0，0），A（–2，0），B（2，0）．設(shè)點(diǎn)P滿足|PA|–|PB|=2，且P為函數(shù)y=圖像上的點(diǎn)，則|OP|=（????）
A． B． C． D．
6．（2020·山東·統(tǒng)考高考真題）直線關(guān)于點(diǎn)對稱的直線方程是（????）
A． B．
C． D．
7．（2020·山東·統(tǒng)考高考真題）已知直線的圖像如圖所示，則角是（????）

A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
8．（2018·全國·高考真題）已知雙曲線的離心率為，則點(diǎn)到的漸近線的距離為
A． B． C． D．
9．（2018·北京·高考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，記為點(diǎn)到直線的距離，當(dāng)、變化時，的最大值為
A． B．
C． D．
10．（2019·北京·高考真題）已知直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），則點(diǎn)（1,0）到直線l的距離是
A． B． C． D．

二、多選題
11．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過拋物線焦點(diǎn)F的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，其中A在第一象限，點(diǎn)，若，則（????）
A．直線的斜率為 B．
C． D．

三、填空題
12．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)點(diǎn)，若直線關(guān)于對稱的直線與圓有公共點(diǎn)，則a的取值范圍是________．
13．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)點(diǎn)M在直線上，點(diǎn)和均在上，則的方程為______________．
14．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）雙曲線的右焦點(diǎn)到直線的距離為________．
15．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)，函數(shù)的圖象在點(diǎn)和點(diǎn)的兩條切線互相垂直，且分別交y軸于M，N兩點(diǎn)，則取值范圍是_______．
16．（2019·江蘇·高考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，P是曲線上的一個動點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線x+y=0的距離的最小值是_____.

四、解答題
17．（2018·全國·高考真題）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，過的直線與交于兩點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為.
（1）當(dāng)與軸垂直時，求直線的方程；
（2）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：.
18．（2018·全國·高考真題）設(shè)拋物線，點(diǎn)，，過點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)．
（1）當(dāng)與軸垂直時，求直線的方程；
（2）證明：．
19．（2019·江蘇·高考真題）如圖，一個湖的邊界是圓心為O的圓，湖的一側(cè)有一條直線型公路l，湖上有橋AB（AB是圓O的直徑）．規(guī)劃在公路l上選兩個點(diǎn)P、Q，并修建兩段直線型道路PB、QA．規(guī)劃要求:線段PB、QA上的所有點(diǎn)到點(diǎn)O的距離均不小于圓O的半徑．已知點(diǎn)A、B到直線l的距離分別為AC和BD（C、D為垂足），測得AB=10，AC=6，BD=12（單位:百米）．

（1）若道路PB與橋AB垂直，求道路PB的長；
（2）在規(guī)劃要求下，P和Q中能否有一個點(diǎn)選在D處？并說明理由；
（3）對規(guī)劃要求下，若道路PB和QA的長度均為d（單位：百米）.求當(dāng)d最小時，P、Q兩點(diǎn)間的距離．

五、雙空題
20．（2020·北京·統(tǒng)考高考真題）已知雙曲線，則C的右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為_________；C的焦點(diǎn)到其漸近線的距離是_________．

參考答案：
1．A
【分析】設(shè)，則，根據(jù)斜率公式結(jié)合題意可得，再根據(jù)，將用表示，整理，再結(jié)合離心率公式即可得解.
【詳解】[方法一]：設(shè)而不求
設(shè)，則
則由得：，
由，得，
所以，即，
所以橢圓的離心率，故選A.
[方法二]：第三定義
設(shè)右端點(diǎn)為B，連接PB，由橢圓的對稱性知：
故，
由橢圓第三定義得：，
故
所以橢圓的離心率，故選A.

2．D
【分析】設(shè)，則可得關(guān)于的方程，求出其解后可得正確的選項.
【詳解】設(shè)，則，
依題意，有，且，
所以，故，
故選：D

3．B
【分析】首先確定拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，然后結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式可得的值.
【詳解】拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，
其到直線的距離：，
解得：(舍去).
故選：B.
4．B
【分析】首先根據(jù)直線方程判斷出直線過定點(diǎn)，設(shè)，當(dāng)直線與垂直時，點(diǎn)到直線距離最大，即可求得結(jié)果.
【詳解】由可知直線過定點(diǎn)，設(shè)，
當(dāng)直線與垂直時，點(diǎn)到直線距離最大，
即為.
故選：B.
【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)解析幾何初步的問題，涉及到的知識點(diǎn)有直線過定點(diǎn)問題，利用幾何性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.
5．D
【分析】根據(jù)題意可知，點(diǎn)既在雙曲線的一支上，又在函數(shù)的圖象上，即可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，得到的值．
【詳解】因為，所以點(diǎn)在以為焦點(diǎn)，實軸長為，焦距為的雙曲線的右支上，由可得，，即雙曲線的右支方程為，而點(diǎn)還在函數(shù)的圖象上，所以，
由，解得，即．
故選：D.
【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的定義的應(yīng)用，以及二次曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
6．D
【分析】設(shè)對稱的直線方程上的一點(diǎn)的坐標(biāo)為,則其關(guān)于點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，代入已知直線即可求得結(jié)果.
【詳解】設(shè)對稱的直線方程上的一點(diǎn)的坐標(biāo)為，
則其關(guān)于點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，
因為點(diǎn)在直線上，
所以即.
故選：D.
7．D
【分析】本題可根據(jù)直線的斜率和截距得出、，即可得出結(jié)果.
【詳解】結(jié)合圖像易知，，，
則角是第四象限角，
故選：D.
8．D
【詳解】分析：由離心率計算出，得到漸近線方程，再由點(diǎn)到直線距離公式計算即可．
詳解：

所以雙曲線的漸近線方程為
所以點(diǎn)（4，0）到漸近線的距離
故選D
點(diǎn)睛：本題考查雙曲線的離心率，漸近線和點(diǎn)到直線距離公式，屬于中檔題．
9．C
【分析】為單位圓上一點(diǎn)，而直線過點(diǎn)，則根據(jù)幾何意義得的最大值為.
【詳解】為單位圓上一點(diǎn)，而直線過點(diǎn)，
所以的最大值為，選C.
【點(diǎn)睛】與圓有關(guān)的最值問題主要表現(xiàn)在求幾何圖形的長度、面積的最值，求點(diǎn)到直線的距離的最值，求相關(guān)參數(shù)的最值等方面．解決此類問題的主要思路是利用圓的幾何性質(zhì)將問題轉(zhuǎn)化．
10．D
【分析】首先將參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程，然后利用點(diǎn)到直線距離公式求解距離即可.
【詳解】直線的普通方程為,即,點(diǎn)到直線的距離,故選D.
【點(diǎn)睛】本題考查直線參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化,點(diǎn)到直線的距離,屬于容易題,注重基礎(chǔ)知識?基本運(yùn)算能力的考查.
11．ACD
【分析】由及拋物線方程求得，再由斜率公式即可判斷A選項；表示出直線的方程，聯(lián)立拋物線求得，即可求出判斷B選項；由拋物線的定義求出即可判斷C選項；由，求得，為鈍角即可判斷D選項.
【詳解】對于A，易得，由可得點(diǎn)在的垂直平分線上，則點(diǎn)橫坐標(biāo)為，
代入拋物線可得，則，則直線的斜率為，A正確；
對于B，由斜率為可得直線的方程為，聯(lián)立拋物線方程得，
設(shè)，則，則，代入拋物線得，解得，則，
則，B錯誤；
對于C，由拋物線定義知：，C正確；
對于D，，則為鈍角，
又，則為鈍角，
又，則，D正確.
故選：ACD.


12．
【分析】首先求出點(diǎn)關(guān)于對稱點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得到直線的方程，根據(jù)圓心到直線的距離小于等于半徑得到不等式，解得即可；
【詳解】解：關(guān)于對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，在直線上，
所以所在直線即為直線，所以直線為，即；
圓，圓心，半徑，
依題意圓心到直線的距離，
即，解得，即；
故答案為：

13．
【分析】設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，利用和均在上，求得圓心及半徑，即可得圓的方程.
【詳解】[方法一]：三點(diǎn)共圓
∵點(diǎn)M在直線上，
∴設(shè)點(diǎn)M為，又因為點(diǎn)和均在上，
∴點(diǎn)M到兩點(diǎn)的距離相等且為半徑R，
∴，
，解得，
∴，，
的方程為.
故答案為：
[方法二]：圓的幾何性質(zhì)
由題可知，M是以（3，0）和（0，1）為端點(diǎn)的線段垂直平分線 y=3x-4與直線的交點(diǎn)(1,-1)., 的方程為.
故答案為：

14．
【分析】先求出右焦點(diǎn)坐標(biāo)，再利用點(diǎn)到直線的距離公式求解.
【詳解】由已知，，所以雙曲線的右焦點(diǎn)為，
所以右焦點(diǎn)到直線的距離為.
故答案為：
15．
【分析】結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，結(jié)合直線方程及兩點(diǎn)間距離公式可得，，化簡即可得解.
【詳解】由題意，，則，
所以點(diǎn)和點(diǎn)，,
所以，
所以，
所以，
同理,
所以.
故答案為：
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：
解決本題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義轉(zhuǎn)化條件，消去一個變量后，運(yùn)算即可得解.
16．4.
【分析】將原問題轉(zhuǎn)化為切點(diǎn)與直線之間的距離，然后利用導(dǎo)函數(shù)確定切點(diǎn)坐標(biāo)可得最小距離
【詳解】當(dāng)直線平移到與曲線相切位置時，切點(diǎn)Q即為點(diǎn)P到直線的距離最小.
由，得，，
即切點(diǎn)，
則切點(diǎn)Q到直線的距離為，
故答案為．
【點(diǎn)睛】本題考查曲線上任意一點(diǎn)到已知直線的最小距離，滲透了直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).采取導(dǎo)數(shù)法和公式法，利用數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化與化歸思想解題.
17．（1）的方程為或；（2）證明見解析.
【分析】（1）根據(jù)與軸垂直，且過點(diǎn)，求得直線的方程為，代入橢圓方程求得點(diǎn)的坐標(biāo)為或，利用兩點(diǎn)式求得直線的方程；
（2）方法一：分直線與軸重合、與軸垂直、與軸不重合也不垂直三種情況證明，特殊情況比較簡單，也比較直觀，對于一般情況將角相等通過直線的斜率的關(guān)系來體現(xiàn)，從而證得結(jié)果.
【詳解】（1）由已知得，的方程為.
由已知可得，點(diǎn)的坐標(biāo)為或.
所以的方程為或.
（2）［方法一］：【通性通法】分類＋常規(guī)聯(lián)立
當(dāng)與軸重合時，.
當(dāng)與軸垂直時，為的垂直平分線，所以.
當(dāng)與軸不重合也不垂直時，設(shè)的方程為，，
則，直線、的斜率之和為.
由得.
將代入得.
所以，.
則.
從而，故、的傾斜角互補(bǔ)，所以.
綜上，.
［方法二］：角平分線定義的應(yīng)用
當(dāng)直線l與x軸重合或垂直時，顯然有．當(dāng)直線l與x軸不垂直也不重合時，設(shè)直線l的方程為，交橢圓于，．
由得．
由韋達(dá)定理得．
點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)，則直線的方程為．
令，，則直線過點(diǎn)M，．
［方法三］：直線參數(shù)方程的應(yīng)用
設(shè)直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）．（*）
將（*）式代入橢圓方程中，整理得．
則，．
又，則

，
即．所以．
［方法四］：【最優(yōu)解】橢圓第二定義的應(yīng)用
當(dāng)直線l與x軸重合時，．
當(dāng)直線l與x軸不重合時，如圖6，過點(diǎn)A，B分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為C，D，則有軸．

由橢圓的第二定義，有，，得，即．
由軸，有，即，于是，且．可得，即有．
［方法五］：角平分線定理逆定理＋極坐標(biāo)方程的應(yīng)用
橢圓以右焦點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正方向為極軸，得.
設(shè)．
．
所以，．
由角平分線定理的逆定理可知，命題得證．
［方法六］：角平分線定理的逆定理的應(yīng)用
設(shè)點(diǎn)O（也可選點(diǎn)F）到直線的距離分別為，根據(jù)角平分線定理的逆定理，要證，只需證．
當(dāng)直線l的斜率為0時，易得．
當(dāng)直線l的斜率不為0時，設(shè)直線l的方程為：．由方程組得恒成立，．．
直線的方程為：．
因為點(diǎn)A在直線l上，所以，故．
同理，．．
因為，所以，即．
綜上，．
［方法七］：【通性通法】分類＋常規(guī)聯(lián)立
當(dāng)直線l與x軸重合或垂直時，顯然有．
當(dāng)直線l與x軸不垂直也不重合時，設(shè)直線l的方程為，交橢圓于，．
由得．
由韋達(dá)定理得．
所以，
故、的傾斜角互補(bǔ)，所以.
［方法八］：定比點(diǎn)差法
設(shè)，，
所以，
由作差可得，，所以，
，又，所以，，
故，、的傾斜角互補(bǔ)，所以.
當(dāng)時，與軸垂直，為的垂直平分線，所以.
故．
【整體點(diǎn)評】（2）方法一：通過分類以及常規(guī)聯(lián)立，把角相等轉(zhuǎn)化為斜率和為零，再通過韋達(dá)定理即可實現(xiàn)，是解決該類問題的通性通法；
方法二：根據(jù)角平分線的定義可知，利用點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)在直線上，證直線過點(diǎn)即可；
方法三：利用直線的參數(shù)方程證明斜率互為相反數(shù)；
方法四：根據(jù)點(diǎn)M是橢圓的右準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，用橢圓的第二定義結(jié)合平面幾何知識證明，運(yùn)算量極小，是該題的最優(yōu)解；
方法五：利用橢圓的極坐標(biāo)方程以及角平分線定理的逆定理的應(yīng)用，也是不錯的方法選擇；
方法六：類比方法五，角平分線定理的逆定理的應(yīng)用；
方法七：常規(guī)聯(lián)立，同方法一，只是設(shè)直線的方程形式不一樣；
方法八：定比點(diǎn)差法的應(yīng)用．
18．（1）或；（2）證明見解析.
【分析】（1）根據(jù)題意可得直線的方程為，從而得出點(diǎn)的坐標(biāo)為或，利用兩點(diǎn)式求得直線的方程；
（2）方法一：設(shè)直線的方程為，點(diǎn)、，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，由斜率公式并結(jié)合韋達(dá)定理計算出直線、的斜率之和為零，從而得出所證結(jié)論成立.
【詳解】（1）當(dāng)與軸垂直時，的方程為，可得的坐標(biāo)為或．
所以直線的方程為或；
（2）［方法一］：【通性通法】韋達(dá)定理＋斜率公式
設(shè)的方程為，、，
由，得，可知，．
直線、的斜率之和為
，
所以，可知、的傾斜角互補(bǔ)，所以.
［方法2］：【最優(yōu)解】斜率公式＋三點(diǎn)共線的坐標(biāo)表示
因為M，N在拋物線上，可設(shè)，，故，．而A，M，N共線，故，即，化簡得．而M，N是不同的點(diǎn)，故，可得．這樣．故．
【整體點(diǎn)評】（2）方法一：通過聯(lián)立方程得出根與系數(shù)的關(guān)系，再直接使用斜率公式化簡即可證出，是此題問題的通性通法；
方法二：通過設(shè)點(diǎn)，根據(jù)三點(diǎn)共線的坐標(biāo)表示尋找關(guān)系，再利用斜率公式化簡證出，省略了聯(lián)立過程，適當(dāng)降低了運(yùn)算量，是此類問題的最優(yōu)解．
19．（1）15（百米）；
（2）見解析；
（3）17+（百米）.
【分析】解：解法一：
（1）過A作，垂足為E.利用幾何關(guān)系即可求得道路PB的長；
（2）分類討論P(yáng)和Q中能否有一個點(diǎn)選在D處即可.
（3）先討論點(diǎn)P的位置，然后再討論點(diǎn)Q的位置即可確定當(dāng)d最小時，P、Q兩點(diǎn)間的距離．
解法二：
（1）建立空間直角坐標(biāo)系，分別確定點(diǎn)P和點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后利用兩點(diǎn)之間距離公式可得道路PB的長；
（2）分類討論P(yáng)和Q中能否有一個點(diǎn)選在D處即可.
（3）先討論點(diǎn)P的位置，然后再討論點(diǎn)Q的位置即可確定當(dāng)d最小時，P、Q兩點(diǎn)間的距離．
【詳解】解法一：
（1）過A作，垂足為E.
由已知條件得，四邊形ACDE為矩形，.
因為PB⊥AB，
所以.
所以.
因此道路PB的長為15（百米）.

（2）①若P在D處，由（1）可得E在圓上，則線段BE上的點(diǎn)（除B，E）到點(diǎn)O的距離均小于圓O的半徑，所以P選在D處不滿足規(guī)劃要求.
②若Q在D處，連結(jié)AD，由（1）知，
從而，所以∠BAD為銳角.
所以線段AD上存在點(diǎn)到點(diǎn)O的距離小于圓O的半徑.
因此，Q選在D處也不滿足規(guī)劃要求.
綜上，P和Q均不能選在D處.
（3）先討論點(diǎn)P的位置.
當(dāng)∠OBP90°時，在中，.
由上可知，d≥15.
再討論點(diǎn)Q的位置.
由（2）知，要使得QA≥15，點(diǎn)Q只有位于點(diǎn)C的右側(cè)，才能符合規(guī)劃要求.當(dāng)QA=15時，.此時，線段QA上所有點(diǎn)到點(diǎn)O的距離均不小于圓O的半徑.
綜上，當(dāng)PB⊥AB，點(diǎn)Q位于點(diǎn)C右側(cè)，且CQ=時，d最小，此時P，Q兩點(diǎn)間的距離PQ=PD+CD+CQ=17+.
因此，d最小時，P，Q兩點(diǎn)間的距離為17+（百米）.
解法二：
（1）如圖，過O作OH⊥l，垂足為H.
以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線OH為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系.

因為BD=12，AC=6，所以O(shè)H=9，直線l的方程為y=9，點(diǎn)A，B的縱坐標(biāo)分別為3，?3.
因為AB為圓O的直徑，AB=10，所以圓O的方程為x2+y2=25.
從而A（4，3），B（?4，?3），直線AB的斜率為.
因為PB⊥AB，所以直線PB的斜率為，
直線PB的方程為.
所以P（?13，9），.
因此道路PB的長為15（百米）.
（2）①若P在D處，取線段BD上一點(diǎn)E（?4，0），則EO=4

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23-平面解析幾何（圓錐曲線之拋物線）-五年（2018-2022）高考數(shù)學(xué)真題按知識點(diǎn)分類匯編：

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