?五年2018-2022高考數(shù)學(xué)真題按知識(shí)點(diǎn)分類匯編18-空間向量與立體幾何（含解析）

一、單選題
1．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）在正方體中，E，F(xiàn)分別為的中點(diǎn)，則（????）
A．平面平面 B．平面平面
C．平面平面 D．平面平面
2．（2018·全國(guó)·高考真題）在長(zhǎng)方體中，，，則異面直線與所成角的余弦值為
A． B． C． D．

二、多選題
3．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）在正三棱柱中，，點(diǎn)滿足，其中，，則（????）
A．當(dāng)時(shí)，的周長(zhǎng)為定值
B．當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為定值
C．當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得
D．當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得平面

三、解答題
4．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）如圖，直三棱柱的體積為4，的面積為．

(1)求A到平面的距離；
(2)設(shè)D為的中點(diǎn)，，平面平面，求二面角的正弦值．
5．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）如圖，四面體中，，E為的中點(diǎn)．

(1)證明：平面平面；
(2)設(shè)，點(diǎn)F在上，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求與平面所成的角的正弦值．
6．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）在四棱錐中，底面．

(1)證明：；
(2)求PD與平面所成的角的正弦值．
7．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）如圖，是三棱錐的高，，，E是的中點(diǎn)．

(1)證明：平面；
(2)若，，，求二面角的正弦值．
8．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）如圖，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角為．設(shè)M，N分別為的中點(diǎn)．

(1)證明：；
(2)求直線與平面所成角的正弦值．
9．（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）如圖，在三棱柱中，側(cè)面為正方形，平面平面，，M，N分別為，AC的中點(diǎn)．

(1)求證：平面；
(2)再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求直線AB與平面BMN所成角的正弦值．
條件①：；
條件②：．
注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
10．（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）直三棱柱中，，D為的中點(diǎn)，E為的中點(diǎn)，F(xiàn)為的中點(diǎn)．

(1)求證：平面；
(2)求直線與平面所成角的正弦值；
(3)求平面與平面所成二面角的余弦值．
11．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，E，F(xiàn)分別為和的中點(diǎn)，D為棱上的點(diǎn)．

（1）證明：；
（2）當(dāng)為何值時(shí)，面與面所成的二面角的正弦值最小?
12．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，，為的中點(diǎn)，且．

（1）求；
（2）求二面角的正弦值．
13．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）在四棱錐中，底面是正方形，若．

（1）證明：平面平面；
（2）求二面角的平面角的余弦值．
14．（2021·浙江·統(tǒng)考高考真題）如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，，M，N分別為的中點(diǎn)，.

（1）證明：；
（2）求直線與平面所成角的正弦值.
15．（2021·北京·統(tǒng)考高考真題）如圖：在正方體中，為中點(diǎn)，與平面交于點(diǎn)．

（1）求證：為的中點(diǎn)；
（2）點(diǎn)是棱上一點(diǎn)，且二面角的余弦值為，求的值．
16．（2021·天津·統(tǒng)考高考真題）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，E為棱BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為棱CD的中點(diǎn)．

（I）求證：平面；
（II）求直線與平面所成角的正弦值．
（III）求二面角的正弦值．
17．（2020·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）如圖，為圓錐的頂點(diǎn)，是圓錐底面的圓心，為底面直徑，．是底面的內(nèi)接正三角形，為上一點(diǎn)，．

（1）證明：平面；
（2）求二面角的余弦值．
18．（2020·海南·統(tǒng)考高考真題）如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，PD⊥底面ABCD．設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為l．

（1）證明：l⊥平面PDC；
（2）已知PD=AD=1，Q為l上的點(diǎn)，求PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值．
19．（2020·天津·統(tǒng)考高考真題）如圖，在三棱柱中，平面 ，，點(diǎn)分別在棱和棱 上，且為棱的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）求二面角的正弦值；
（Ⅲ）求直線與平面所成角的正弦值．
20．（2020·北京·統(tǒng)考高考真題）如圖，在正方體中， E為的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．
21．（2020·海南·高考真題）如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，PD底面ABCD．設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為．

（1）證明：平面PDC；
（2）已知PD=AD=1，Q為上的點(diǎn)，QB=，求PB與平面QCD所成角的正弦值．
22．（2020·江蘇·統(tǒng)考高考真題）在三棱錐A—BCD中，已知CB=CD=,BD=2，O為BD的中點(diǎn)，AO⊥平面BCD，AO=2，E為AC的中點(diǎn)．

（1）求直線AB與DE所成角的余弦值；
（2）若點(diǎn)F在BC上，滿足BF=BC，設(shè)二面角F—DE—C的大小為θ，求sinθ的值．
23．（2019·全國(guó)·高考真題）如圖，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點(diǎn)．

（1）證明：MN∥平面C1DE；
（2）求二面角A-MA1-N的正弦值．
24．（2018·全國(guó)·高考真題）如圖，在三棱錐中，，，為的中點(diǎn)．

（1）證明：平面；
（2）若點(diǎn)在棱上，且二面角為，求與平面所成角的正弦值．
25．（2018·全國(guó)·高考真題）如圖，四邊形為正方形，分別為的中點(diǎn)，以為折痕把折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，且.
（1）證明：平面平面；
（2）求與平面所成角的正弦值.

26．（2019·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）圖1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC組成的一個(gè)平面圖形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，將其沿AB，BC折起使得BE與BF重合，連結(jié)DG，如圖2.
（1）證明：圖2中的A，C，G，D四點(diǎn)共面，且平面ABC⊥平面BCGE；
（2）求圖2中的二面角B?CG?A的大小.


27．（2019·浙江·高考真題）如圖，已知三棱柱，平面平面,，分別是的中點(diǎn).

（1）證明：；
（2）求直線與平面所成角的余弦值.
28．（2018·全國(guó)·高考真題）如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形所在的平面與半圓弧所在平面垂直，是上異于，的點(diǎn)．
（1）證明：平面平面；
（2）當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，求面與面所成二面角的正弦值．

29．（2019·北京·高考真題）如圖，在四棱錐P–ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=3．E為PD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在PC上，且．
（Ⅰ）求證：CD⊥平面PAD；
（Ⅱ）求二面角F–AE–P的余弦值；
（Ⅲ）設(shè)點(diǎn)G在PB上，且．判斷直線AG是否在平面AEF內(nèi)，說(shuō)明理由．

30．（2019·天津·高考真題）如圖，平面，，.

（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）若二面角的余弦值為，求線段的長(zhǎng).
31．（2018·浙江·高考真題）如圖，已知多面體均垂直于平面．

（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．

32．（2018·北京·高考真題）如圖，在三棱柱ABC?中，平面ABC，D，E，F(xiàn)，G分別為，AC，，的中點(diǎn)，AB=BC=，AC==2．

（1）求證：AC⊥平面BEF；
（2）求二面角B?CD?C1的余弦值；
（3）證明：直線FG與平面BCD相交．
33．（2018·江蘇·高考真題）如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2，點(diǎn)P，Q分別為A1B1，BC的中點(diǎn)．

（1）求異面直線BP與AC1所成角的余弦值；
（2）求直線CC1與平面AQC1所成角的正弦值．
34．（2018·天津·高考真題）如圖，且AD=2BC，,且EG=AD，且CD=2FG，，DA=DC=DG=2.
（I）若M為CF的中點(diǎn)，N為EG的中點(diǎn)，求證：平面；
（II）求二面角的正弦值；
（III）若點(diǎn)P在線段DG上，且直線BP與平面ADGE所成的角為60°，求線段DP的長(zhǎng).


參考答案：
1．A
【分析】證明平面，即可判斷A；如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，分別求出平面，，的法向量，根據(jù)法向量的位置關(guān)系，即可判斷BCD.
【詳解】解：在正方體中，
且平面，
又平面，所以，
因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，
所以，所以，
又，
所以平面，
又平面，
所以平面平面，故A正確；
選項(xiàng)BCD解法一：
如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，
則，
，
則，，

設(shè)平面的法向量為，
則有，可取，
同理可得平面的法向量為，
平面的法向量為，
平面的法向量為，
則，
所以平面與平面不垂直，故B錯(cuò)誤；
因?yàn)榕c不平行，
所以平面與平面不平行，故C錯(cuò)誤；
因?yàn)榕c不平行，
所以平面與平面不平行，故D錯(cuò)誤，
故選：A.

選項(xiàng)BCD解法二：
解：對(duì)于選項(xiàng)B，如圖所示，設(shè)，，則為平面與平面的交線，
在內(nèi)，作于點(diǎn)，在內(nèi)，作，交于點(diǎn)，連結(jié)，
則或其補(bǔ)角為平面與平面所成二面角的平面角，

由勾股定理可知：，，
底面正方形中，為中點(diǎn)，則，
由勾股定理可得，
從而有：，
據(jù)此可得，即，
據(jù)此可得平面平面不成立，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)C，取的中點(diǎn)，則，
由于與平面相交，故平面平面不成立，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)D，取的中點(diǎn)，很明顯四邊形為平行四邊形，則，
由于與平面相交，故平面平面不成立，選項(xiàng)D錯(cuò)誤；

故選：A.

2．C
【詳解】分析：先建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積求向量夾角，再根據(jù)向量夾角與線線角相等或互補(bǔ)關(guān)系求結(jié)果.
詳解：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,DD1為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則,所以,
因?yàn)?，所以異面直線與所成角的余弦值為，選C.
點(diǎn)睛：利用法向量求解空間線面角的關(guān)鍵在于“四破”：第一，破“建系關(guān)”，構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；第二，破“求坐標(biāo)關(guān)”，準(zhǔn)確求解相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；第三，破“求法向量關(guān)”，求出平面的法向量；第四，破“應(yīng)用公式關(guān)”.
3．BD
【分析】對(duì)于A，由于等價(jià)向量關(guān)系，聯(lián)系到一個(gè)三角形內(nèi)，進(jìn)而確定點(diǎn)的坐標(biāo)；
對(duì)于B，將點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡考慮到一個(gè)三角形內(nèi)，確定路線，進(jìn)而考慮體積是否為定值；
對(duì)于C，考慮借助向量的平移將點(diǎn)軌跡確定，進(jìn)而考慮建立合適的直角坐標(biāo)系來(lái)求解點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
對(duì)于D，考慮借助向量的平移將點(diǎn)軌跡確定，進(jìn)而考慮建立合適的直角坐標(biāo)系來(lái)求解點(diǎn)的個(gè)數(shù)．
【詳解】
易知，點(diǎn)在矩形內(nèi)部（含邊界）．
對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，即此時(shí)線段，周長(zhǎng)不是定值，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，故此時(shí)點(diǎn)軌跡為線段，而，平面，則有到平面的距離為定值，所以其體積為定值，故B正確．
對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，取，中點(diǎn)分別為，，則，所以點(diǎn)軌跡為線段，不妨建系解決，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，，，，則，，，所以或．故均滿足，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，取，中點(diǎn)為．，所以點(diǎn)軌跡為線段．設(shè)，因?yàn)椋?，，所以，此時(shí)與重合，故D正確．
故選：BD．
【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的等價(jià)替換，關(guān)鍵之處在于所求點(diǎn)的坐標(biāo)放在三角形內(nèi)．



4．(1)
(2)

【分析】（1）由等體積法運(yùn)算即可得解；
（2）由面面垂直的性質(zhì)及判定可得平面，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法即可得解.
【詳解】（1）在直三棱柱中，設(shè)點(diǎn)A到平面的距離為h，
則，
解得，
所以點(diǎn)A到平面的距離為；
（2）取的中點(diǎn)E,連接AE,如圖，因?yàn)?，所?
又平面平面，平面平面，
且平面，所以平面，
在直三棱柱中，平面，
由平面，平面可得，，
又平面且相交，所以平面，
所以兩兩垂直，以B為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

由（1）得，所以，，所以，
則,所以的中點(diǎn)，
則，,
設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，
可取，
設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，
可取，
則，
所以二面角的正弦值為.

5．(1)證明過(guò)程見(jiàn)解析
(2)與平面所成的角的正弦值為

【分析】（1）根據(jù)已知關(guān)系證明，得到，結(jié)合等腰三角形三線合一得到垂直關(guān)系，結(jié)合面面垂直的判定定理即可證明；
（2）根據(jù)勾股定理逆用得到，從而建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合線面角的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可.
（1）
因?yàn)?，E為的中點(diǎn)，所以；
在和中，因?yàn)椋?br /> 所以，所以，又因?yàn)镋為的中點(diǎn)，所以；
又因?yàn)槠矫?，，所以平面?br /> 因?yàn)槠矫?，所以平面平?
（2）
連接，由（1）知，平面，因?yàn)槠矫妫?br /> 所以，所以，
當(dāng)時(shí)，最小，即的面積最小.
因?yàn)?，所以?br /> 又因?yàn)?，所以是等邊三角形?br /> 因?yàn)镋為的中點(diǎn)，所以，，
因?yàn)?，所?
在中，，所以.
以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，所以，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，取，則，
又因?yàn)?，所以?br /> 所以，
設(shè)與平面所成的角的正弦值為，
所以，
所以與平面所成的角的正弦值為.


6．(1)證明見(jiàn)解析；
(2).

【分析】（1）作于，于，利用勾股定理證明，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得，從而可得平面，再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)即可得證；
（2）以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可得出答案.
（1）
證明：在四邊形中，作于，于，
因?yàn)椋?br /> 所以四邊形為等腰梯形，
所以，
故，，
所以，
所以，
因?yàn)槠矫?，平面?br /> 所以，
又，
所以平面，
又因?yàn)槠矫妫?br /> 所以；

（2）
解：如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，
，
則，
則，
設(shè)平面的法向量，
則有，可取，
則，
所以與平面所成角的正弦值為.


7．(1)證明見(jiàn)解析
(2)

【分析】（1）連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接、，根據(jù)三角形全等得到，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到，即可得到為的中點(diǎn)從而得到，即可得證；
（2）建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求出二面角的余弦的絕對(duì)值，再根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系計(jì)算可得.
【詳解】（1）證明：連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接、，
因?yàn)槭侨忮F的高，所以平面，平面，
所以、，
又，所以，即，所以，
又，即，所以，，
所以
所以，即，所以為的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，所以，
又平面，平面，
所以平面

（2）解：過(guò)點(diǎn)作，如圖建立平面直角坐標(biāo)系，
因?yàn)椋?，所以?br /> 又，所以，則，，
所以，所以，，，，
所以，
則，，，
設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，所以；
設(shè)平面的法向量為，則，
令，則，，所以；
所以.
設(shè)二面角的大小為，則，
所以，即二面角的正弦值為.


8．(1)證明見(jiàn)解析；
(2)．

【分析】（1）過(guò)點(diǎn)、分別做直線、的垂線、并分別交于點(diǎn)、，由平面知識(shí)易得，再根據(jù)二面角的定義可知，，由此可知，，，從而可證得平面，即得；
（2）由（1）可知平面，過(guò)點(diǎn)做平行線，所以可以以點(diǎn)為原點(diǎn)，，、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個(gè)法向量，以及，即可利用線面角的向量公式解出．
【詳解】（1）過(guò)點(diǎn)、分別做直線、的垂線、并分別交于點(diǎn)、．
∵四邊形和都是直角梯形，，，由平面幾何知識(shí)易知，，則四邊形和四邊形是矩形，∴在Rt和Rt，，
∵，且，
∴平面是二面角的平面角，則，
∴是正三角形，由平面，得平面平面，
∵是的中點(diǎn)，，又平面，平面，可得，而，∴平面，而平面．
（2）因?yàn)槠矫?，過(guò)點(diǎn)做平行線，所以以點(diǎn)為原點(diǎn)， ，、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)，則，

設(shè)平面的法向量為
由，得，取，
設(shè)直線與平面所成角為，
∴．


9．(1)見(jiàn)解析
(2)見(jiàn)解析

【分析】（1）取的中點(diǎn)為，連接，可證平面平面，從而可證平面.
（2）選①②均可證明平面，從而可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量可求線面角的正弦值.
【詳解】（1）取的中點(diǎn)為，連接，
由三棱柱可得四邊形為平行四邊形，
而，則，
而平面，平面，故平面，
而，則，同理可得平面，
而平面，
故平面平面，而平面，故平面，
（2）因?yàn)閭?cè)面為正方形，故，
而平面，平面平面，
平面平面，故平面，
因?yàn)?，故平面?br /> 因?yàn)槠矫?，故?br /> 若選①，則，而，，
故平面，而平面，故，
所以，而，，故平面，
故可建立如所示的空間直角坐標(biāo)系，則，
故，
設(shè)平面的法向量為，
則，從而，取，則，
設(shè)直線與平面所成的角為，則
.
若選②，因?yàn)?，故平面，而平面?br /> 故，而，故，
而，，故，
所以，故，
而，，故平面，
故可建立如所示的空間直角坐標(biāo)系，則，
故，
設(shè)平面的法向量為，
則，從而，取，則，
設(shè)直線與平面所成的角為，則
.


10．(1)證明見(jiàn)解析
(2)
(3)

【分析】（1）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可證得結(jié)論成立；
（2）利用空間向量法可求得直線與平面夾角的正弦值；
（3）利用空間向量法可求得平面與平面夾角的余弦值.
【詳解】（1）證明：在直三棱柱中，平面，且，則
以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則、、、、、、、、，則，
易知平面的一個(gè)法向量為，則，故，
平面，故平面.
（2）解：，，，
設(shè)平面的法向量為，則，
取，可得，.
因此，直線與平面夾角的正弦值為.
（3）解：，，
設(shè)平面的法向量為，則，
取，可得，則，
因此，平面與平面夾角的余弦值為.
11．（1）證明見(jiàn)解析；（2）
【分析】（1）方法二：通過(guò)已知條件，確定三條互相垂直的直線，建立合適的空間直角坐標(biāo)系，借助空間向量證明線線垂直；
（2）方法一：建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求出二面角的平面角的余弦值最大，進(jìn)而可以確定出答案；
【詳解】（1）[方法一]：幾何法
因?yàn)?，所以?br /> 又因?yàn)?，，所以平面．又因?yàn)?，?gòu)造正方體，如圖所示，

過(guò)E作的平行線分別與交于其中點(diǎn)，連接，
因?yàn)镋，F(xiàn)分別為和的中點(diǎn)，所以是BC的中點(diǎn)，
易證，則．
又因?yàn)?，所以?br /> 又因?yàn)?，所以平面?br /> 又因?yàn)槠矫?，所以?br /> [方法二] 【最優(yōu)解】：向量法
因?yàn)槿庵侵比庵?，底面?br /> ，，，又，平面．所以兩兩垂直．
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖．

，．
由題設(shè)（）．
因?yàn)椋?br /> 所以，所以．
[方法三]：因?yàn)?，，所以，故，，所以，所以?br /> （2）[方法一]【最優(yōu)解】：向量法
設(shè)平面的法向量為，
因?yàn)椋?br /> 所以，即．
令，則
因?yàn)槠矫娴姆ㄏ蛄繛椋?br /> 設(shè)平面與平面的二面角的平面角為，
則．
當(dāng)時(shí)，取最小值為，
此時(shí)取最大值為．
所以，此時(shí)．
[方法二] ：幾何法
如圖所示，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)S，聯(lián)結(jié)交于點(diǎn)T，則平面平面．

作，垂足為H，因?yàn)槠矫?，?lián)結(jié)，則為平面與平面所成二面角的平面角．
設(shè)，過(guò)作交于點(diǎn)G．
由得．
又，即，所以．
又，即，所以．
所以．
則，
所以，當(dāng)時(shí)，．
[方法三]：投影法
如圖，聯(lián)結(jié)，

在平面的投影為，記面與面所成的二面角的平面角為，則．
設(shè)，在中，．
在中，，過(guò)D作的平行線交于點(diǎn)Q．
在中，．
在中，由余弦定理得，，，
，，
當(dāng)，即，面與面所成的二面角的正弦值最小，最小值為．
【整體點(diǎn)評(píng)】第一問(wèn)，方法一為常規(guī)方法，不過(guò)這道題常規(guī)方法較為復(fù)雜，方法二建立合適的空間直角坐標(biāo)系，借助空間向量求解是最簡(jiǎn)單，也是最優(yōu)解；方法三利用空間向量加減法則及數(shù)量積的定義運(yùn)算進(jìn)行證明不常用，不過(guò)這道題用這種方法過(guò)程也很簡(jiǎn)單，可以開拓學(xué)生的思維.
第二問(wèn)：方法一建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求出二面角的平面角是最常規(guī)的方法，也是最優(yōu)方法；方法二：利用空間線面關(guān)系找到，面與面所成的二面角，并求出其正弦值的最小值，不是很容易找到；方法三：利用面在面上的投影三角形的面積與面積之比即為面與面所成的二面角的余弦值，求出余弦值的最小值，進(jìn)而求出二面角的正弦值最小，非常好的方法，開闊學(xué)生的思維．
12．（1）；（2）
【分析】（1）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，由已知條件得出，求出的值，即可得出的長(zhǎng)；
（2）求出平面、的法向量，利用空間向量法結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求得結(jié)果.
【詳解】（1）[方法一]：空間坐標(biāo)系+空間向量法
平面，四邊形為矩形，不妨以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)，則、、、、，
則，，
，則，解得，故；
[方法二]【最優(yōu)解】：幾何法+相似三角形法
如圖，連結(jié)．因?yàn)榈酌?，且底面，所以?br /> 又因?yàn)?，，所以平面?br /> 又平面，所以．

從而．
因?yàn)?，所以?br /> 所以，于是．
所以．所以．
[方法三]：幾何法+三角形面積法
???如圖，聯(lián)結(jié)交于點(diǎn)N．

由[方法二]知．
在矩形中，有，所以，即．
令，因?yàn)镸為的中點(diǎn)，則，，．
由，得，解得，所以．
（2）[方法一]【最優(yōu)解】：空間坐標(biāo)系+空間向量法
設(shè)平面的法向量為，則，，
由，取，可得，
設(shè)平面的法向量為，，，
由，取，可得，
，
所以，，
因此，二面角的正弦值為.
[方法二]：構(gòu)造長(zhǎng)方體法+等體積法
??如圖，構(gòu)造長(zhǎng)方體，聯(lián)結(jié)，交點(diǎn)記為H，由于，，所以平面．過(guò)H作的垂線，垂足記為G．

聯(lián)結(jié)，由三垂線定理可知，
故為二面角的平面角．
易證四邊形是邊長(zhǎng)為的正方形，聯(lián)結(jié)，．
，
由等積法解得．
在中，，由勾股定理求得．
所以，，即二面角的正弦值為．
【整體點(diǎn)評(píng)】（1）方法一利用空坐標(biāo)系和空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解；方法二利用線面垂直的判定定理，結(jié)合三角形相似進(jìn)行計(jì)算求解，運(yùn)算簡(jiǎn)潔，為最優(yōu)解；方法三主要是在幾何證明的基礎(chǔ)上，利用三角形等面積方法求得.
（2）方法一，利用空間坐標(biāo)系和空間向量方法計(jì)算求解二面角問(wèn)題是常用的方法，思路清晰，運(yùn)算簡(jiǎn)潔，為最優(yōu)解；方法二采用構(gòu)造長(zhǎng)方體方法+等體積轉(zhuǎn)化法，技巧性較強(qiáng)，需注意進(jìn)行嚴(yán)格的論證.
13．（1）證明見(jiàn)解析；（2）.
【分析】（1）取的中點(diǎn)為，連接，可證平面，從而得到面面.
（2）在平面內(nèi)，過(guò)作，交于，則，建如圖所示的空間坐標(biāo)系，求出平面、平面的法向量后可求二面角的余弦值.
【詳解】
（1）取的中點(diǎn)為，連接.
因?yàn)?，，則，
而，故.
在正方形中，因?yàn)?，故，故?br /> 因?yàn)?，故，故為直角三角形且?br /> 因?yàn)?，故平面?br /> 因?yàn)槠矫?，故平面平?
（2）在平面內(nèi)，過(guò)作，交于，則，
結(jié)合（1）中的平面，故可建如圖所示的空間坐標(biāo)系.

則，故.
設(shè)平面的法向量，
則即，取，則，
故.
而平面的法向量為，故.
二面角的平面角為銳角，故其余弦值為.
14．（1）證明見(jiàn)解析；（2）．
【分析】（1）要證，可證，由題意可得，，易證，從而平面，即有，從而得證；
（2）取中點(diǎn)，根據(jù)題意可知，兩兩垂直，所以以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，再分別求出向量和平面的一個(gè)法向量，即可根據(jù)線面角的向量公式求出．
【詳解】（1）在中，，，，由余弦定理可得，
所以，．由題意且，平面，而平面，所以，又，所以．
（2）由，，而與相交，所以平面，因?yàn)椋?，取中點(diǎn)，連接，則兩兩垂直，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系,
則,
又為中點(diǎn)，所以.
由（1）得平面，所以平面的一個(gè)法向量
從而直線與平面所成角的正弦值為．

【點(diǎn)睛】本題第一問(wèn)主要考查線面垂直的相互轉(zhuǎn)化，要證明，可以考慮，
題中與有垂直關(guān)系的直線較多，易證平面，從而使問(wèn)題得以解決；第二問(wèn)思路直接，由第一問(wèn)的垂直關(guān)系可以建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)線面角的向量公式即可計(jì)算得出．
15．（1）證明見(jiàn)解析；（2）．
【分析】(1)首先將平面進(jìn)行擴(kuò)展，然后結(jié)合所得的平面與直線的交點(diǎn)即可證得題中的結(jié)論；
(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間直角坐標(biāo)系求得相應(yīng)平面的法向量，然后解方程即可求得實(shí)數(shù)的值.
【詳解】(1)如圖所示，取的中點(diǎn)，連結(jié)，
由于為正方體，為中點(diǎn)，故，
從而四點(diǎn)共面，即平面CDE即平面，
據(jù)此可得：直線交平面于點(diǎn)，
當(dāng)直線與平面相交時(shí)只有唯一的交點(diǎn)，故點(diǎn)與點(diǎn)重合，
即點(diǎn)為中點(diǎn).

(2)以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，方向分別為軸，軸，軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，

不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，設(shè)，
則：，
從而：，
設(shè)平面的法向量為：，則：
，
令可得：，
設(shè)平面的法向量為：，則：
，
令可得：，
從而：，
則：，
整理可得：，故（舍去）.
【點(diǎn)睛】本題考查了立體幾何中的線面關(guān)系和二面角的求解問(wèn)題，意在考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力，對(duì)于立體幾何中角的計(jì)算問(wèn)題，往往可以利用空間向量法，通過(guò)求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解.



16．（I）證明見(jiàn)解析；（II）；（III）.
【分析】（I）建立空間直角坐標(biāo)系，求出及平面的一個(gè)法向量，證明，即可得證；
（II）求出，由運(yùn)算即可得解；
（III）求得平面的一個(gè)法向量，由結(jié)合同角三角函數(shù)的平方關(guān)系即可得解.
【詳解】（I）以為原點(diǎn)，分別為軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，
則,,,,,,，
因?yàn)镋為棱BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為棱CD的中點(diǎn)，所以，，
所以,,,
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，令，則，
因?yàn)?，所以?br /> 因?yàn)槠矫?，所以平面?br /> （II）由（1）得，，
設(shè)直線與平面所成角為，
則；
（III）由正方體的特征可得，平面的一個(gè)法向量為，
則，
所以二面角的正弦值為.

17．（1）證明見(jiàn)解析；（2）.
【分析】（1）要證明平面，只需證明，即可；
（2）方法一：過(guò)O作∥BC交AB于點(diǎn)N，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA為x軸，ON為y軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，分別算出平面的一個(gè)法向量，平面的一個(gè)法向量為，利用公式計(jì)算即可得到答案.
【詳解】（1）[方法一]：勾股運(yùn)算法證明
由題設(shè)，知為等邊三角形，設(shè)，
則，，所以，

又為等邊三角形，則，所以，
，則，所以，
同理，又，所以平面；
[方法二]：空間直角坐標(biāo)系法
不妨設(shè)，則，由圓錐性質(zhì)知平面，所以，所以．因?yàn)镺是的外心，因此．
在底面過(guò)作的平行線與的交點(diǎn)為W，以O(shè)為原點(diǎn)，方向?yàn)閤軸正方向，方向?yàn)閥軸正方向，方向?yàn)閦軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，．
所以，，．
故，．
所以，．
又，故平面．

[方法三]：
因?yàn)槭堑酌鎴AO的內(nèi)接正三角形，且為底面直徑，所以．
因?yàn)椋矗┐怪庇诘酌妫诘酌鎯?nèi)，所以．
又因?yàn)槠矫妫矫?，，所以平面?br /> 又因?yàn)槠矫?，所以?br /> 設(shè)，則F為的中點(diǎn)，連結(jié)．
設(shè)，且，
則，，．
因此，從而．
又因?yàn)椋云矫妫?br />
[方法四]：空間基底向量法
如圖所示，圓錐底面圓O半徑為R，連結(jié)，，易得，

因?yàn)?，所以?br /> 以為基底，平面，則，
，且，
所以．
故．所以，即．
同理．又，所以平面．
（2）[方法一]：空間直角坐標(biāo)系法
過(guò)O作∥BC交AB于點(diǎn)N，因?yàn)槠矫?，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA為x軸，ON為y軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，
，，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
由，得，令，得，
所以，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為
由，得，令，得，
所以
故，
設(shè)二面角的大小為，由圖可知二面角為銳二面角，所以.
[方法二]【最優(yōu)解】：幾何法
設(shè)，易知F是的中點(diǎn)，過(guò)F作交于G，取的中點(diǎn)H，
聯(lián)結(jié)，則．
由平面，得平面．
由（1）可得，，得．
所以，根據(jù)三垂線定理，得．
所以是二面角的平面角．
設(shè)圓O的半徑為r，則，，，，所以，，．
在中，，
．
所以二面角的余弦值為．

[方法三]：射影面積法
如圖所示，在上取點(diǎn)H，使，設(shè)，連結(jié)．
由（1）知，所以．故平面．
所以，點(diǎn)H在面上的射影為N．
故由射影面積法可知二面角的余弦值為．
在中，令，則，易知．所以．
又，故
所以二面角的余弦值為．

【整體點(diǎn)評(píng)】本題以圓錐為載體，隱含條件是圓錐的軸垂直于底面，（1）方法一：利用勾股數(shù)進(jìn)行運(yùn)算證明，是在給出數(shù)據(jù)去證明垂直時(shí)的常用方法；方法二：選擇建系利用空間向量法，給空間立體感較弱的學(xué)生提供了可行的途徑；方法三：利用線面垂直，結(jié)合勾股定理可證出；方法四：利用空間基底解決問(wèn)題，此解法在解答題中用的比較少；
（2）方法一：建系利用空間向量法求解二面角，屬于解答題中求角的常規(guī)方法；方法二：利用幾何法，通過(guò)三垂線法作出二面角，求解三角形進(jìn)行求解二面角，適合立體感強(qiáng)的學(xué)生；方法三：利用射影面積法求解二面角，提高解題速度.
18．（1）證明見(jiàn)解析；（2）.
【分析】（1）利用線面垂直的判定定理證得平面，利用線面平行的判定定理以及性質(zhì)定理，證得，從而得到平面；
（2）方法一：根據(jù)題意，建立相應(yīng)的空間直角坐標(biāo)系，得到相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出點(diǎn)，之后求得平面的法向量以及向量的坐標(biāo)，求得的最大值，即為直線與平面所成角的正弦值的最大值.
【詳解】（1）證明：
在正方形中，，因?yàn)槠矫?，平面?br /> 所以平面，又因?yàn)槠矫?，平面平面?br /> 所以，因?yàn)樵谒睦忮F中，底面是正方形，所以且平面，所以
因?yàn)?，所以平面?br /> （2）［方法一］【最優(yōu)解】：通性通法
因?yàn)閮蓛纱怪?，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：

因?yàn)?，設(shè)，
設(shè)，則有，
設(shè)平面的法向量為，
則，即，
令，則，所以平面的一個(gè)法向量為，則

根據(jù)直線的方向向量與平面法向量所成角的余弦值的絕對(duì)值即為直線與平面所成角的正弦值，所以直線PB與平面QCD所成角的正弦值等于，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以直線與平面所成角的正弦值的最大值為.
［方法二］：定義法
如圖2，因?yàn)槠矫?，，所以平面?br />
在平面中，設(shè)．
在平面中，過(guò)P點(diǎn)作，交于F，連接．
因?yàn)槠矫嫫矫妫裕?br /> 又由平面，平面，所以平面．又平面，所以．又由平面平面，所以平面，從而即為與平面所成角．
設(shè)，在中，易求．
由與相似，得，可得．
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．
［方法三］：等體積法
如圖3，延長(zhǎng)至G，使得，連接，，則，過(guò)G點(diǎn)作平面，交平面于M，連接，則即為所求．

設(shè)，在三棱錐中，．
在三棱錐中，．
由得，
解得，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．
在中，易求，所以直線PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值為．
【整體點(diǎn)評(píng)】（2）方法一：根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，直線PB與平面QCD所成角的正弦值即為平面的法向量與向量的夾角的余弦值的絕對(duì)值，即，再根據(jù)基本不等式即可求出，是本題的通性通法，也是最優(yōu)解；
方法二：利用直線與平面所成角的定義，作出直線PB與平面QCD所成角，再利用解三角形以及基本不等式即可求出；
方法三：巧妙利用，將線轉(zhuǎn)移，再利用等體積法求得點(diǎn)面距，利用直線PB與平面QCD所成角的正弦值即為點(diǎn)面距與線段長(zhǎng)度的比值的方法，即可求出．
19．（Ⅰ）證明見(jiàn)解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）.
【分析】以為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S，軸，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系.
（Ⅰ）計(jì)算出向量和的坐標(biāo)，得出，即可證明出；
（Ⅱ）可知平面的一個(gè)法向量為，計(jì)算出平面的一個(gè)法向量為，利用空間向量法計(jì)算出二面角的余弦值，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求解結(jié)果；
（Ⅲ）利用空間向量法可求得直線與平面所成角的正弦值.
【詳解】依題意，以為原點(diǎn)，分別以、、的方向?yàn)檩S、軸、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），

可得、、、、
、、、、.
（Ⅰ）依題意，，，
從而，所以；
（Ⅱ）依題意，是平面的一個(gè)法向量，
，．
設(shè)為平面的法向量，
則，即，
不妨設(shè)，可得．
，
．
所以，二面角的正弦值為；
（Ⅲ）依題意，．
由（Ⅱ）知為平面的一個(gè)法向量，于是．
所以，直線與平面所成角的正弦值為.
【點(diǎn)睛】本題考查利用空間向量法證明線線垂直，求二面角和線面角的正弦值，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.
20．（Ⅰ）證明見(jiàn)解析；（Ⅱ）.
【分析】（Ⅰ）證明出四邊形為平行四邊形，可得出，然后利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論；也可利用空間向量計(jì)算證明；
（Ⅱ）可以將平面擴(kuò)展，將線面角轉(zhuǎn)化，利用幾何方法作出線面角，然后計(jì)算；也可以建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量計(jì)算求解 .
【詳解】（Ⅰ）[方法一]：幾何法
如下圖所示：

在正方體中，且，且，
且，所以，四邊形為平行四邊形，則，
平面，平面，平面；
[方法二]:空間向量坐標(biāo)法
以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則、、、，，，
設(shè)平面的法向量為，由，得，
令，則，，則.
又∵向量,,
又平面，平面；
（Ⅱ）[方法一]：幾何法
延長(zhǎng)到，使得，連接，交于，
又∵，∴四邊形為平行四邊形，∴，
又∵,∴,所以平面即平面,
連接，作,垂足為,連接,
∵平面,平面,∴，
又∵,∴直線平面,
又∵直線平面,∴平面平面,
∴在平面中的射影在直線上,∴直線為直線在平面中的射影，∠為直線與平面所成的角，
根據(jù)直線直線，可知∠為直線與平面所成的角.
設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則,,∴,
∴,
∴,
即直線與平面所成角的正弦值為.

[方法二]：向量法
接續(xù)（I)的向量方法，求得平面平面的法向量，
又∵,∴，
∴直線與平面所成角的正弦值為.
[方法三]：幾何法+體積法
如圖，設(shè)的中點(diǎn)為F，延長(zhǎng)，易證三線交于一點(diǎn)P．
因?yàn)椋?br /> 所以直線與平面所成的角，即直線與平面所成的角．
設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，在中，易得，
可得．
由，得，
整理得．
所以．
所以直線與平面所成角的正弦值為．

[方法四]：純體積法
設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)到平面的距離為h，
在中，，
，
所以，易得．
由，得，解得，
設(shè)直線與平面所成的角為，所以．
【整體點(diǎn)評(píng)】（Ⅰ）的方法一使用線面平行的判定定理證明，方法二使用空間向量坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行證明；
（II）第一種方法中使用純幾何方法，適合于沒(méi)有學(xué)習(xí)空間向量之前的方法，有利用培養(yǎng)學(xué)生的集合論證和空間想象能力，第二種方法使用空間向量方法，兩小題前后連貫，利用計(jì)算論證和求解，定為最優(yōu)解法；方法三在幾何法的基礎(chǔ)上綜合使用體積方法，計(jì)算較為簡(jiǎn)潔；方法四不作任何輔助線，僅利用正余弦定理和體積公式進(jìn)行計(jì)算，省卻了輔助線和幾何的論證，不失為一種優(yōu)美的方法.
21．（1）證明見(jiàn)解析；（2）.
【分析】（1）利用線面平行的判定定理以及性質(zhì)定理，證得，利用線面垂直的判定定理證得平面，從而得到平面；
（2）根據(jù)題意，建立相應(yīng)的空間直角坐標(biāo)系，得到相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出點(diǎn)，之后求得平面的法向量以及向量的坐標(biāo)，求得，即可得到直線與平面所成角的正弦值.
【詳解】（1）證明：
在正方形中，，
因?yàn)槠矫?，平面?br /> 所以平面，
又因?yàn)槠矫?，平面平面?br /> 所以，
因?yàn)樵谒睦忮F中，底面是正方形，所以
且平面，所以
因?yàn)?br /> 所以平面；
（2）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)?，則有，
設(shè)，則有，
因?yàn)镼B=，所以有
設(shè)平面的法向量為，
則，即，
令，則，所以平面的一個(gè)法向量為，則

根據(jù)直線的方向向量與平面法向量所成角的余弦值的絕對(duì)值即為直線與平面所成角的正弦值，所以直線與平面所成角的正弦值等于
所以直線與平面所成角的正弦值為.
【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)立體幾何的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有線面平行的判定和性質(zhì)，線面垂直的判定和性質(zhì)，利用空間向量求線面角，利用基本不等式求最值，屬于中檔題目.
22．（1）（2）
【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量數(shù)量積求直線向量夾角，即得結(jié)果；
（2）先求兩個(gè)平面法向量，根據(jù)向量數(shù)量積求法向量夾角，最后根據(jù)二面角與向量夾角關(guān)系得結(jié)果.
【詳解】
（1）連
以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則

從而直線與所成角的余弦值為
（2）設(shè)平面一個(gè)法向量為

令
設(shè)平面一個(gè)法向量為
令

因此
【點(diǎn)睛】本題考查利用向量求線線角與二面角，考查基本分析求解能力，屬中檔題.
23．（1）見(jiàn)解析；（2）.
【分析】（1）利用三角形中位線和可證得，證得四邊形為平行四邊形，進(jìn)而證得，根據(jù)線面平行判定定理可證得結(jié)論；（2）以菱形對(duì)角線交點(diǎn)為原點(diǎn)可建立空間直角坐標(biāo)系，通過(guò)取中點(diǎn)，可證得平面，得到平面的法向量；再通過(guò)向量法求得平面的法向量，利用向量夾角公式求得兩個(gè)法向量夾角的余弦值，進(jìn)而可求得所求二面角的正弦值.
【詳解】（1）連接，

，分別為，中點(diǎn)????為的中位線
且
又為中點(diǎn)，且 且
四邊形為平行四邊形
，又平面，平面
平面
（2）設(shè)，
由直四棱柱性質(zhì)可知：平面
四邊形為菱形????
則以為原點(diǎn)，可建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系：

則：，，，D（0，-1,0）
取中點(diǎn)，連接，則
四邊形為菱形且????為等邊三角形
又平面，平面
平面，即平面
為平面的一個(gè)法向量，且
設(shè)平面的法向量，又，
，令，則，????

二面角的正弦值為：
【點(diǎn)睛】本題考查線面平行關(guān)系的證明、空間向量法求解二面角的問(wèn)題.求解二面角的關(guān)鍵是能夠利用垂直關(guān)系建立空間直角坐標(biāo)系，從而通過(guò)求解法向量夾角的余弦值來(lái)得到二面角的正弦值，屬于常規(guī)題型.
24．（1）證明見(jiàn)解析；（2）.
【分析】（1）根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得PO垂直AC，再通過(guò)計(jì)算，根據(jù)勾股定理得PO垂直O(jiān)B，最后根據(jù)線面垂直判定定理得結(jié)論；
（2）方法一：根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)各點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)方程組解出平面PAM一個(gè)法向量，利用向量數(shù)量積求出兩個(gè)法向量夾角，根據(jù)二面角與法向量夾角相等或互補(bǔ)關(guān)系列方程，解得M坐標(biāo)，再利用向量數(shù)量積求得向量PC與平面PAM法向量夾角，最后根據(jù)線面角與向量夾角互余得結(jié)果．
【詳解】（1）因?yàn)椋瑸榈闹悬c(diǎn)，所以，且．
連結(jié)．
因?yàn)椋詾榈妊苯侨切危?br /> 且 ，由知．
由知，平面．
（2）［方法一］：【通性通法】向量法
如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，建立空間直角坐標(biāo)系 ．

由已知得
取平面的法向量．
設(shè)，則．
設(shè)平面的法向量為．
由得 ，
可取
所以 ．由已知得 ．
所以 ．解得(舍去)， ．
所以 ．
又 ，所以 ．
所以與平面所成角的正弦值為．
［方法二］：三垂線＋等積法
由（1）知平面，可得平面平面．如圖5，在平面內(nèi)作，垂足為N，則平面．在平面內(nèi)作，垂足為F，聯(lián)結(jié)，則，故為二面角的平面角，即．

設(shè)，則，在中，．在中，由，得，則．設(shè)點(diǎn)C到平面的距離為h，由，得，解得，則與平面所成角的正弦值為．
［方法三］：三垂線＋線面角定義法
由（1）知平面，可得平面平面．如圖6，在平面內(nèi)作，垂足為N，則平面．在平面內(nèi)作，垂足為F，聯(lián)結(jié)，則，故為二面角的平面角，即．同解法1可得．

在中，過(guò)N作，在中，過(guò)N作，垂足為G，聯(lián)結(jié)．在中，．因?yàn)?，所以?br /> 由平面，可得平面平面，交線為．在平面內(nèi)，由，可得平面，則為直線與平面所成的角．
設(shè)，則，又，所以直線與平面所成角的正弦值為．
［方法四］：【最優(yōu)解】定義法
如圖7，取的中點(diǎn)H，聯(lián)結(jié)，則．過(guò)C作平面的垂線，垂足記為T（垂足T在平面內(nèi)）．聯(lián)結(jié)，則即為二面角的平面角，即，得．

聯(lián)結(jié)，則為直線與平面所成的角．在中，，所以．
【整體點(diǎn)評(píng)】（2）方法一：根據(jù)題目條件建系，由二面角的向量公式以及線面角的向量公式硬算即可求出，是該類型題的通性通法；
方法二：根據(jù)三垂線法找到二面角的平面角，再根據(jù)等積法求出點(diǎn)到面的距離，由定義求出線面角，是幾何法解決空間角的基本手段；
方法三：根據(jù)三垂線法找到二面角的平面角，再利用線面角的等價(jià)轉(zhuǎn)化，然后利用定義法找到線面角解出，是幾何法解決線面角的基本思想，對(duì)于該題，略顯麻煩；
方法四：直接根據(jù)二面角的定義和線面角的定義解決，原理簡(jiǎn)單，計(jì)算簡(jiǎn)單，是該題的最優(yōu)解．
25．（1）證明見(jiàn)解析；（2）.
【分析】（1）依題可知，，利用線面垂直的判定定理可得平面，再利用面面垂直的判定定理即可證出平面平面；
（2）方法一：依題意建立相應(yīng)的空間直角坐標(biāo)系，求得平面的法向量，設(shè)與平面所成角為，利用線面角的向量公式即可求出．
【詳解】（1）由已知可得，，，又，所以平面.
又平面，所以平面平面；
（2）[方法一]：向量法
作，垂足為.由（1）得，平面.
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，設(shè)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

由（1）可得，.又，，所以.又，，故，可得.
則 為平面的法向量.
設(shè)與平面所成角為，則.
所以與平面所成角的正弦值為.
[方法2]：向量法
如圖3所示以E為原點(diǎn)建系．設(shè)正方形邊長(zhǎng)為2，由（1）知，平面，則平面，故．易求，則點(diǎn)P到直線的距離為，從而．

又，故，而平面的一個(gè)法向量，故與平面所成角的正弦值．
[方法3]：【最優(yōu)解】定義法
如圖4，作，垂足為H，聯(lián)結(jié)．

由（1）知，平面,因此為與平面所成的角．
設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2，則，在中，．
又因?yàn)?，由知，．又因?yàn)?，所以在中，?br /> 所以與平面所成角的正弦值為．
[方法4]：等積法
不妨設(shè)，則．，又，所以平面．設(shè)點(diǎn)P到平面的距離為d，根據(jù)，即，解得．于是與平面所成角的正弦值為．
【整體點(diǎn)評(píng)】（2）方法一：建立空間直角坐標(biāo)系利用線面角的向量公式求解，可算作通性通法；
方法二：同方法一，只是建系方式不一樣；
方法三：利用線面角的定義求解，計(jì)算量小，是該題的最優(yōu)解；
方法四：利用等積法求出點(diǎn)P到平面的距離，再根據(jù)線面角的正弦公式即可求出，是線面角的常見(jiàn)求法．
26．(1)見(jiàn)詳解；(2) .
【分析】(1)因?yàn)檎奂埡驼澈喜桓淖兙匦危土庑蝺?nèi)部的夾角，所以，依然成立，又因和粘在一起，所以得證.因?yàn)槭瞧矫娲咕€，所以易證.(2)在圖中找到對(duì)應(yīng)的平面角，再求此平面角即可.于是考慮關(guān)于的垂線，發(fā)現(xiàn)此垂足與的連線也垂直于.按照此思路即證.
【詳解】(1)證：，，又因?yàn)楹驼吃谝黄?
，A，C，G，D四點(diǎn)共面.
又.
平面BCGE，平面ABC，平面ABC平面BCGE，得證.
(2)過(guò)B作延長(zhǎng)線于H，連結(jié)AH，因?yàn)锳B平面BCGE，所以
而又，故平面，所以.又因?yàn)樗允嵌娼堑钠矫娼?，而在中，又因?yàn)楣?，所?
而在中,，即二面角的度數(shù)為.

【點(diǎn)睛】很新穎的立體幾何考題．首先是多面體粘合問(wèn)題，考查考生在粘合過(guò)程中哪些量是不變的．再者粘合后的多面體不是直棱柱，建系的向量解法在本題中略顯麻煩，突出考查幾何方法．最后將求二面角轉(zhuǎn)化為求二面角的平面角問(wèn)題考查考生的空間想象能力．
27．（1）證明見(jiàn)解析；（2）.
【分析】(1)由題意首先證得線面垂直，然后利用線面垂直的定義即可證得線線垂直；
(2)建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得直線的方向向量和平面的法向量，然后結(jié)合線面角的正弦值和同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得線面角的余弦值.
【詳解】(1)如圖所示，連結(jié)，

等邊中，，則，
平面ABC⊥平面，且平面ABC∩平面，
由面面垂直的性質(zhì)定理可得：平面，故，
由三棱柱的性質(zhì)可知，而，故，且，
由線面垂直的判定定理可得：平面，
結(jié)合?平面，故.
(2)在底面ABC內(nèi)作EH⊥AC，以點(diǎn)E為坐標(biāo)原點(diǎn)，EH,EC,方向分別為x,y,z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)，則，,，
據(jù)此可得：，
由可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，
利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得：，由于，
故直線EF的方向向量為：
設(shè)平面的法向量為，則：
，
據(jù)此可得平面的一個(gè)法向量為，
此時(shí)，
設(shè)直線EF與平面所成角為，則.
【點(diǎn)睛】本題考查了立體幾何中的線線垂直的判定和線面角的求解問(wèn)題，意在考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力；解答本題關(guān)鍵在于能利用直線與直線、直線與平面、平面與平面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，通過(guò)嚴(yán)密推理，同時(shí)對(duì)于立體幾何中角的計(jì)算問(wèn)題，往往可以利用空間向量法，通過(guò)求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解.
28．（1）證明見(jiàn)解析；（2）．
【分析】（1）方法一：先證平面CMD,得,再證，由線面垂直的判定定理可得DM⊥平面BMC，即可根據(jù)面面垂直的判定定理證出；
（2）方法一：先建立空間直角坐標(biāo)系，然后判斷出的位置，求出平面和平面的法向量，進(jìn)而求得平面與平面所成二面角的正弦值．
【詳解】（1）［方法一］：【最優(yōu)解】判定定理
由題設(shè)知,平面CMD⊥平面ABCD,交線為CD.因?yàn)锽C⊥CD,BC平面ABCD,所以BC⊥平面CMD,故BC⊥DM.因?yàn)镸為上異于C，D的點(diǎn),且DC為直徑，所以DM⊥CM.
又 BCCM=C,所以DM⊥平面BMC.而DM平面AMD,故平面AMD⊥平面BMC.
［方法二］：判定定理
由題設(shè)知,平面CMD⊥平面ABCD,交線為CD.因?yàn)?，平面ABCD,所以平面，而平面，所以，因?yàn)镸為上異于C，D的點(diǎn),且DC為直徑，所以DM⊥CM.又，所以，平面，而平面，所以平面平面．
［方法三］：向量法
建立直角坐標(biāo)系，如圖2，設(shè)，
所以，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，所以，即，
取平面的一個(gè)法向量，
同理可得，平面的一個(gè)法向量，因?yàn)辄c(diǎn)在以為圓心，半徑為的圓上，所以，，即，而，所以平面平面．

（2）［方法一］：【通性通法】向量法
以D為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向?yàn)閤軸正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D?xyz.

當(dāng)三棱錐M?ABC體積最大時(shí)，M為的中點(diǎn).
由題設(shè)得，

設(shè)是平面MAB的法向量,則
即，可取.
是平面MCD的一個(gè)法向量,因此，，
所以面MAB與面MCD所成二面角的正弦值是.
［方法二］：幾何法（作平行線找公共棱）
如圖3，當(dāng)點(diǎn)M與圓心O連線時(shí)，三棱錐體積最大．過(guò)點(diǎn)M作，易證為所求二面角的平面角．在中，，即面MAB與面MCD所成二面角的正弦值是．

［方法三］：【最優(yōu)解】面積射影法
設(shè)平面與平面所成二面角的平面角為．
由題可得在平面上的射影圖形正好是．
取和的中點(diǎn)分別為N和O，則可得，，所以由射影面積公式有，所以，即面MAB與面MCD所成二面角的正弦值是．
［方法四］：定義法
如圖4，可知平面與平面的交線l過(guò)點(diǎn)M，可以證明．分別取的中點(diǎn)O，E，聯(lián)結(jié)，可證得直線平面，于是平面，所以，故是面與面所成二面角的平面角．

在中，，則，所以，即面與面所成二面角的正弦值為．
【整體點(diǎn)評(píng)】（1）方法一：利用面面垂直的判定定理尋找合適的線面垂直即可證出，是本題的最優(yōu)解；
方法二：同方法一，只不過(guò)找的線面垂直不一樣；
方法三：利用向量法，計(jì)算兩個(gè)平面的法向量垂直即可，思路簡(jiǎn)單，運(yùn)算較繁．
（2）方法一：直接利用向量法解決無(wú)棱二面角問(wèn)題，是該類型題的通性通法；
方法二：作平行線找公共棱，從而利用二面角定義找到二面角的平面角，是傳統(tǒng)解決無(wú)棱二面角問(wèn)題的方式；
方法三：面積射影法也是傳統(tǒng)解決無(wú)棱二面角問(wèn)題的方式，是本題的最優(yōu)解；
方法四：同方法二，通過(guò)找到二面角的公共棱，再利用定義找到平面角，即可解出．
29．(Ⅰ)見(jiàn)解析；
(Ⅱ) ；
(Ⅲ)見(jiàn)解析.
【分析】(Ⅰ)由題意利用線面垂直的判定定理即可證得題中的結(jié)論；
(Ⅱ)建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合兩個(gè)半平面的法向量即可求得二面角F-AE-P的余弦值；
(Ⅲ)首先求得點(diǎn)G的坐標(biāo)，然后結(jié)合平面的法向量和直線AG的方向向量可判斷直線是否在平面內(nèi).
【詳解】(Ⅰ)由于PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，則PA⊥CD，
由題意可知AD⊥CD，且PA∩AD=A，
由線面垂直的判定定理可得CD⊥平面PAD.
(Ⅱ)以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，平面ABCD內(nèi)與AD垂直的直線為x軸，AD,AP方向?yàn)閥軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

易知：，
由可得點(diǎn)F的坐標(biāo)為，
由可得，
設(shè)平面AEF的法向量為：，則
，
據(jù)此可得平面AEF的一個(gè)法向量為：，
很明顯平面AEP的一個(gè)法向量為，
，
二面角F-AE-P的平面角為銳角，故二面角F-AE-P的余弦值為.
(Ⅲ)易知，由可得，
則，
注意到平面AEF的一個(gè)法向量為：，
其且點(diǎn)A在平面AEF內(nèi)，故直線AG在平面AEF內(nèi).
30．（Ⅰ）見(jiàn)證明；（Ⅱ）（Ⅲ）
【分析】首先利用幾何體的特征建立空間直角坐標(biāo)系
(Ⅰ)利用直線BF的方向向量和平面ADE的法向量的關(guān)系即可證明線面平行；
(Ⅱ)分別求得直線CE的方向向量和平面BDE的法向量，然后求解線面角的正弦值即可；
(Ⅲ)首先確定兩個(gè)半平面的法向量，然后利用二面角的余弦值計(jì)算公式得到關(guān)于CF長(zhǎng)度的方程，解方程可得CF的長(zhǎng)度.
【詳解】依題意，可以建立以A為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸正方向的空間直角坐標(biāo)系(如圖)，

可得.
設(shè)，則.
(Ⅰ)依題意，是平面ADE的法向量，
又，可得，
又因?yàn)橹本€平面，所以平面.
(Ⅱ)依題意，，
設(shè)為平面BDE的法向量，
則，即，
不妨令z=1，可得，
因此有.
所以，直線與平面所成角的正弦值為.
(Ⅲ)設(shè)為平面BDF的法向量，則，即.
不妨令y=1，可得.
由題意，有，解得.
經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意?
所以，線段的長(zhǎng)為.
【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與平面平行、二面角、直線與平面所成的角等基礎(chǔ)知識(shí).考查用空間向量解決立體幾何問(wèn)題的方法.考查空間想象能力、運(yùn)算求解能力和推理論證能力.
31．（Ⅰ）證明見(jiàn)解析；（Ⅱ）.
【分析】（Ⅰ）方法一：通過(guò)計(jì)算，根據(jù)勾股定理得,再根據(jù)線面垂直的判定定理得結(jié)論；
（Ⅱ）方法一：找出直線AC1與平面ABB1所成的角，再在直角三角形中求解即可.
【詳解】（Ⅰ）［方法一］：幾何法
由得，
所以，即有.
由，得，
由得，
由，得，所以，即有，又，因此平面.
［方法二］：向量法
如圖，以AC的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，分別以射線OB，OC為x，y軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz.

由題意知各點(diǎn)坐標(biāo)如下：

因此,
由得；由得，
所以平面.
（Ⅱ）［方法一］：定義法
如圖，過(guò)點(diǎn)作，交直線于點(diǎn)，連結(jié).

由平面得平面平面，
由得平面，
所以是與平面所成的角.
由得，
所以，故.
因此，直線與平面所成的角的正弦值是.
［方法二］：向量法
設(shè)直線與平面所成的角為.
由(I)可知,
設(shè)平面的法向量.
由即，可取，
所以.
因此，直線與平面所成的角的正弦值是.
［方法三］：【最優(yōu)解】定義法+等積法
設(shè)直線與平面所成角為，點(diǎn)到平面距離為d（下同）．因?yàn)槠矫?，所以點(diǎn)C到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離．由條件易得，點(diǎn)C到平面的距離等于點(diǎn)C到直線的距離，而點(diǎn)C到直線的距離為，所以．故．
［方法四］：定義法+等積法
設(shè)直線與平面所成的角為，由條件易得，所以，因此．
于是得，易得．
由得，解得．
故．
［方法五］：三正弦定理的應(yīng)用
設(shè)直線與平面所成的角為，易知二面角的平面角為，易得，
所以由三正弦定理得．
［方法六］：三余弦定理的應(yīng)用
設(shè)直線與平面所成的角為，如圖2，過(guò)點(diǎn)C作，垂足為G，易得平面，所以可看作平面的一個(gè)法向量．

結(jié)合三余弦定理得．
［方法七］：轉(zhuǎn)化法＋定義法
如圖3，延長(zhǎng)線段至E，使得．

聯(lián)結(jié)，易得，所以與平面所成角等于直線與平面所成角．過(guò)點(diǎn)C作，垂足為G，聯(lián)結(jié)，易得平面，因此為在平面上的射影，所以為直線與平面所成的角．易得，，因此．
［方法八］：定義法＋等積法
如圖4，延長(zhǎng)交于點(diǎn)E，易知，又，所以，故面．設(shè)點(diǎn)到平面的距離為h，由得，解得．

又，設(shè)直線與平面所成角為，所以．
【整體點(diǎn)評(píng)】（Ⅰ）方法一：通過(guò)線面垂直的判定定理證出，是該題的通性通法；
方法二： 通過(guò)建系，根據(jù)數(shù)量積為零，證出；
（Ⅱ）方法一：根據(jù)線面角的定義以及幾何法求線面角的步驟，“一作二證三計(jì)算”解出；
方法二：根據(jù)線面角的向量公式求出；
方法三：根據(jù)線面角的定義以及計(jì)算公式，由等積法求出點(diǎn)面距，即可求出，該法是本題的最優(yōu)解；
方法四：基本解題思想同方法三，只是求點(diǎn)面距的方式不同；
方法五：直接利用三正弦定理求出；
方法六：直接利用三余弦定理求出；
方法七：通過(guò)直線平移，利用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想和線面角的定義解出；
方法八：通過(guò)等價(jià)轉(zhuǎn)化以及線面角的定義，計(jì)算公式，由等積法求出點(diǎn)面距，即求出．
32．（1）證明見(jiàn)解析；（2）；（3）證明見(jiàn)解析．
【分析】（1）由等腰三角形性質(zhì)得，由線面垂直性質(zhì)得,由三棱柱性質(zhì)可得，因此，最后根據(jù)線面垂直判定定理得結(jié)論；
（2）根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)各點(diǎn)坐標(biāo)，利用方程組解得平面BCD一個(gè)法向量，根據(jù)向量數(shù)量積求得兩法向量夾角，再根據(jù)二面角與法向量夾角相等或互補(bǔ)關(guān)系求結(jié)果；
（3）根據(jù)平面BCD一個(gè)法向量與直線FG方向向量數(shù)量積不為零，可得結(jié)論.
【詳解】（1）在三棱柱ABC-A1B1C1中，
∵CC1⊥平面ABC，∴四邊形A1ACC1為矩形．
又E，F(xiàn)分別為AC，A1C1的中點(diǎn)，∴AC⊥EF．
∵AB=BC，E為AC的中點(diǎn)，．∴AC⊥BE，而，
∴AC⊥平面BEF．
（2）［方法一］：【通性通法】向量法
由（1）知AC⊥EF，AC⊥BE，EF∥CC1．又CC1⊥平面ABC，∴EF⊥平面ABC．
∵BE平面ABC，∴EF⊥BE．
如圖建立空間直角坐稱系E-xyz．

由題意得B（0，2，0），C（-1，0，0），D（1，0，1），F(xiàn)（0，0，2），G（0，2，1）．
∴，
設(shè)平面BCD的法向量為，
∴，∴，
令a=2，則b=-1，c=-4，
∴平面BCD的一個(gè)法向量，
又∵平面CDC1的一個(gè)法向量為，∴．
由圖可得二面角B-CD-C1為鈍角，所以二面角B-CD-C1的余弦值為．
［方法二］： 【最優(yōu)解】轉(zhuǎn)化＋面積射影法
考慮到二面角與二面角互補(bǔ)，設(shè)二面角為，易知，，所以．
故．
［方法三］：轉(zhuǎn)化＋三垂線法
二面角與二面角互補(bǔ)，并設(shè)二面角為，易知平面．
如圖3，作，垂足為H，聯(lián)結(jié)．則是二面角的平面角，所以，不難求出，所以二面角的余弦值為．

（3）［方法一］：【最優(yōu)解】【通性通法】向量法
平面BCD的一個(gè)法向量為，∵G（0，2，1），F(xiàn)（0，0，2），
∴，∴，∴與不垂直，
∴GF與平面BCD不平行且不在平面BCD內(nèi)，∴GF與平面BCD相交．
［方法二］：幾何轉(zhuǎn)化
如圖4，取的中點(diǎn)，分別在取點(diǎn)N，M，使．聯(lián)結(jié)．則平面平面，又平面，平面，故直線與平面相交．

［方法三］：根據(jù)相交的平面定義
如圖5，設(shè)與交于P，聯(lián)結(jié)．

因?yàn)椋?，所以四點(diǎn)共面．
因?yàn)椋裕?br /> 又，所以四邊形是梯形，即直線與直線一定相交．
因?yàn)槠矫?，所以直線與平面相交．
【整體點(diǎn)評(píng)】（2）方法一：直接利用向量法求出，屬于通性通法；
方法二：根據(jù)二面角與二面角互補(bǔ)，通過(guò)轉(zhuǎn)化求二面角，利用面積射影法求出，是該問(wèn)的最優(yōu)解；
方法三：根據(jù)二面角與二面角互補(bǔ)，通過(guò)轉(zhuǎn)化求二面角，利用三垂線法求出；
（3）方法一：利用向量證明平面的法向量與直線的方向向量不垂直即可，既是該問(wèn)的通性通法，也是最優(yōu)解；
方法二：通過(guò)證明與平面平行的平面與直線相交證出；
方法三：構(gòu)建過(guò)直線且與平面相交的平面，通過(guò)證明直線與交線相交證出．
33．（1）
（2）
【詳解】分析：（1）先建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)向量數(shù)量積求得向量的夾角，再根據(jù)向量夾角與異面直線所成角的關(guān)系得結(jié)果；（2）利用平面的方向量的求法列方程組解得平面的一個(gè)法向量，再根據(jù)向量數(shù)量積得向量夾角，最后根據(jù)線面角與所求向量夾角之間的關(guān)系得結(jié)果.
詳解：如圖，在正三棱柱ABC?A1B1C1中，設(shè)AC，A1C1的中點(diǎn)分別為O，O1，則OB⊥OC，OO1⊥OC，OO1⊥OB，以為基底，建立空間直角坐標(biāo)系O?xyz．
因?yàn)锳B=AA1=2，
所以．

（1）因?yàn)镻為A1B1的中點(diǎn)，所以，
從而，
故．
因此，異面直線BP與AC1所成角的余弦值為．
（2）因?yàn)镼為BC的中點(diǎn)，所以，
因此，．
設(shè)n=（x，y，z）為平面AQC1的一個(gè)法向量，
則即
不妨取，
設(shè)直線CC1與平面AQC1所成角為，
則，
所以直線CC1與平面AQC1所成角的正弦值為．
點(diǎn)睛：本題考查空間向量、異面直線所成角和線面角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)用空間向量解決問(wèn)題的能力.利用法向量求解空間線面角的關(guān)鍵在于“四破”：第一，破“建系關(guān)”，構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；第二，破“求坐標(biāo)關(guān)”，準(zhǔn)確求解相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；第三，破“求法向量關(guān)”，求出平面的法向量；第四，破“應(yīng)用公式關(guān)”.
34．（I）證明見(jiàn)解析；（II）；（III）.
【分析】方法一：依題意，建立以D為原點(diǎn)，分別以，，為x軸，y軸，z軸的正方向的空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)直線的方向向量與平面的法向量垂直可證出（I）；根據(jù)二面角的向量法可求出二面角的正弦值；根據(jù)線面角的向量公式可求出線段DP的長(zhǎng).
【詳解】依題可知，以D為原點(diǎn)，分別以，，為x軸，y軸，z軸的正方向的空間直角坐標(biāo)系（如圖所示），可得D（0，0，0），A（2，0，0），B（1，2，0），C（0，2，0），
E（2，0，2），F(xiàn)（0，1，2），G（0，0，2），M（0，，1），N（1，0，2）．

（Ⅰ）［方法一］：向量法
依題意得=（0，2，0），=（2，0，2）．
設(shè)=(x，y，z)為平面CDE的法向量，
則 即 ，不妨令z=–1，可得=（1，0，–1）．
又=（1，，1），可得，
又因?yàn)橹本€MN平面CDE，所以MN∥平面CDE．
［方法二］：幾何法
如圖2，取的中點(diǎn)K，聯(lián)結(jié)，根據(jù)題意，得．

所以平面，平面．
而平面平面，所以平面平面．
而平面，所以平面．
（Ⅱ）［方法一］：【通性通法】向量法
依題意，可得=（–1，0，0），，=（0，–1，2）．
設(shè)=（x，y，z）為平面BCE的法向量，
則 即 ，不妨令z=1，可得=（0，1，1）．
設(shè) =（x，y，z）為平面BCF的法向量，
則 即 ，不妨令z=1，可得=（0，2，1）．
因此有，于是．
所以，二面角E–BC–F的正弦值為．
［方法二］： 等積法＋二面角的定義
如圖2，聯(lián)結(jié)，因?yàn)?，所以E，B，C，G四點(diǎn)共面，下面求點(diǎn)F到平面的距離h．
在三棱錐中，利用等積法，不難求得．
而平面，所以．又，所以．
所以點(diǎn)F到的距離的值在直角梯形中求得．
設(shè)二面角的平面角為，則．
［方法三］： 【最優(yōu)解】補(bǔ)形＋定義法
如圖3，將幾何體補(bǔ)成正方體，S是棱中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，所求二面角為，因?yàn)?，則為二面角的平面角．，求得．

（Ⅲ）［方法一］：【通性通法】向量法
設(shè)線段DP的長(zhǎng)為h（h∈［0，2］），則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，0，h），
可得．
易知，=（0，2，0）為平面ADGE的一個(gè)法向量，
故，由題意，可得=sin60°=，解得h=∈［0，2］．所以線段的長(zhǎng)為.
［方法二］：【最優(yōu)解】定義法
如圖3，過(guò)點(diǎn)B作，垂足為K，聯(lián)結(jié)，則平面．
［方法三］：定義法
如圖4，取的中點(diǎn)Q，聯(lián)結(jié)，則，平面，所以．
設(shè)，則，而，所以．

解之得，即線段的長(zhǎng)為．
【整體點(diǎn)評(píng)】（I）方法一：建立空間直角坐標(biāo)系，利用直線的方向向量與平面的法向量垂直證出，是該題的通性通法；
方法二：利用面面平行證出，也是該題的通性通法；
（II）方法一：通過(guò)二面角的向量公式求出，是該題的通性通法；
方法二：利用二面角的定義，由等積法求出點(diǎn)到平面的距離以及根據(jù)平面知識(shí)求出點(diǎn)到的距離即可解出；
方法三：通過(guò)補(bǔ)形找出二面角的平面角，解三角形求出，是該問(wèn)的最優(yōu)解；
（III）方法一：通過(guò)線面角的向量公式求出，是該題的通性通法；
方法二：利用定義找出線面角，解三角形求出，是該題的最優(yōu)解；
方法三：解題原理同方法二，采用方程思想解出．

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