6.1　余弦定理與正弦定理第4課時　正弦定理、余弦定理在實(shí)際問題中的應(yīng)用自主預(yù)習(xí)·新知導(dǎo)學(xué)合作探究·釋疑解惑思 想 方 法 自主預(yù)習(xí)·新知導(dǎo)學(xué)正弦定理、余弦定理在實(shí)際問題中的應(yīng)用【問題思考】1.試畫出“北偏東60°”和“南偏西45°”的示意圖.提示:畫出示意圖如答圖2-6-3. 2.實(shí)際測量中的有關(guān)名稱、術(shù)語表2-6-3答案:D 合作探究·釋疑解惑探究一探究二探究三【例1】 如圖2-6-4,隔河看到兩個目標(biāo)A,B,但不能到達(dá),在岸邊選取相距 km的C,D兩點(diǎn),并測得∠ACB=75°, ∠BCD=45°,∠ADC=30°,∠ADB=45°(A,B,C,D在同一平面內(nèi)),求兩個目標(biāo)A,B之間的距離.分析:要求出A,B之間的距離,把AB放在△ABC(或△ADB)中,但不管在哪個三角形中,AC,BC(或AD,BD)這些量都是未知的.再把AC,BC(或AD,BD)放在△ACD和△BCD中求出它們的值.【例2】 如圖2-6-6,為測量山高M(jìn)N,選擇A和另一座山的山頂C為測量觀測點(diǎn).從點(diǎn)A測得點(diǎn)M的仰角∠MAN=60°,點(diǎn)C的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°;從點(diǎn)C測得∠MCA=60°.已知山高BC=500 m,則山高M(jìn)N=　　　　　 m.答案:750 反思感悟 測量高度問題的解題策略:(1)“空間”向“平面”的轉(zhuǎn)化:測量高度問題往往是空間中的問題,因此先要選好所求線段所在的平面,將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題.(2)“解直角三角形”與“解斜三角形”結(jié)合,全面分析所有三角形,仔細(xì)規(guī)劃解題思路.【例3】 如圖2-6-7,在海岸A處發(fā)現(xiàn)北偏東45°方向,距A處( -1)n mile的B處有一艘走私船.在A處北偏西75°方向,距A處2 n mile的C處的我方緝私船奉命以10 n mile/h的速度追截走私船,此時走私船正以10 n mile/h的速度,從B處向北偏東30°方向逃竄.問:緝私船應(yīng)沿什么方向行駛才能最快截獲走私船?并求出所需時間.∴緝私船應(yīng)沿北偏東60°的方向行駛才能最快截獲走私船,大約需要15分鐘.反思感悟 求解實(shí)際應(yīng)用中的角度問題時,一般把求角的問題轉(zhuǎn)化為解三角形的問題,基本方法是:(1)明確各個角的含義;(2)分析題意,分析已知與所求,畫出正確的示意圖;(3)將圖形中的已知量與未知量之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為三角形的邊與角的關(guān)系,運(yùn)用正弦定理、余弦定理求解.思 想 方 法圖2-6-8(1)求索道AB的長;(2)問:乙出發(fā)多少分鐘后,乙在纜車上與甲的距離最短?分析:(1)利用正弦定理求出AB的長;(2)先設(shè)再建立時間t與甲、乙間距離d的函數(shù)解析式,利用解析式求最值.方法點(diǎn)睛 1.與函數(shù)思想相聯(lián)系的就是方程思想.所謂方程思想,就是在解決問題時,用事先設(shè)定的未知數(shù)溝通問題所涉及的各量間的制約關(guān)系,列出方程(組),從而求出未知數(shù)及各量的值,使問題獲得解決,所設(shè)的未知數(shù)溝通了變量之間的聯(lián)系.方程可以看做未知量與已知量相互制約的條件,它架設(shè)了由已知探索未知的橋梁.2.函數(shù)與方程思想在數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用,本章在利用正弦定理、余弦定理求角或邊長時,往往滲透著函數(shù)與方程思想.

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