第二章　平面向量及其應(yīng)用§1　從位移、速度、力到向量自主預(yù)習·新知導(dǎo)學合作探究·釋疑解惑易 錯 辨 析 自主預(yù)習·新知導(dǎo)學一、向量的概念與表示【問題思考】1.在日常生活中有很多量,如面積、質(zhì)量、速度、位移等,這些量有什么區(qū)別?提示:面積、質(zhì)量只有大小,沒有方向;而速度和位移既有大小又有方向.2.兩個數(shù)量可以比較大小,那么兩個向量能比較大小嗎?提示:數(shù)量之間可以比較大小,而兩個向量不能比較大小.3.向量既有大小又有方向,如何形象、直觀地表示出來?提示:可以用一條有向線段表示.4.(1)向量的定義既有大小又有方向的量統(tǒng)稱為向量.(2)向量的表示方法①有向線段:具有方向和長度的線段稱為有向線段.以A為起②向量可以用有向線段表示,其中有向線段的長度表示向量的大小,箭頭所指的方向表示向量的方向.③向量也可以用黑斜體小寫字母如a,b,c,…或用 ,…(書寫)來表示.向量a的大小,記作|a|,又稱作向量的模.5.想一想:有向線段是向量嗎?提示:不是,用有向線段來表示向量,顯示了圖形的直觀性,應(yīng)該注意的是有向線段是向量的表示,并不是說向量就是有向線段.向量是規(guī)定了大小和方向的量,有向線段是具有方向和長度的線段.二、零向量與單位向量【問題思考】1.0的模是多少?0有方向嗎?提示:0的模為0,方向任意.2.單位向量的模是多少?提示:單位向量的模為1個單位長度.3.(1)長度為0的向量稱為零向量,記作0或 ,任何方向都可以作為零向量的方向.(2)模等于1個單位長度的向量稱為單位向量.4.下列說法正確的是(　　).A.零向量沒有大小,沒有方向B.零向量是唯一沒有方向的向量C.零向量的長度為0D.任意兩個單位向量方向相同解析:零向量的長度為0,方向是任意的,故A,B錯誤,C正確.任意兩個單位向量的長度相等,但方向不一定相同,故D錯誤.答案:C三、相等向量、共線向量【問題思考】2.向量平行、共線與平面幾何中的直線、線段平行、共線相同嗎?提示:不相同,向量可以任意移動.因為任意一組平行向量都可以移動到同一直線上,所以平行向量也叫作共線向量.因此共線向量所在的直線可以平行,也可以重合.3.(1)相等向量是指它們的長度相等且方向相同.向量a與b相等,記作a=b.(2)共線向量:若兩個非零向量a,b的方向相同或相反,則稱這兩個向量為共線向量或平行向量,也稱這兩個向量共線或平行,記作a∥b.規(guī)定:零向量與任一向量共線.(3)若兩個向量的長度相等、方向相反,則稱它們互為相反向量.相反向量是共線向量,若其中一個向量為a,則它的相反向量記作 -a .4.想一想:若a∥b,b∥c,則一定有a∥c嗎?提示:不一定.因為當b=0時,a,c可以是任意向量.四、向量的夾角【問題思考】1.平面中的任意兩個向量都可以平移至同一起點,它們存在夾角嗎?若存在,向量的夾角與直線的夾角一樣嗎?提示:存在夾角,不一樣.當θ=0°時,a與b同向;當θ=180°時,a與b反向;當θ=90°時,a與b垂直,記作a⊥b.規(guī)定:零向量可與任一向量垂直,即對于任意向量a,都有0⊥a. 合作探究·釋疑解惑探究一探究二解析:若兩個向量起點相同,終點相同,則這兩個向量相等,但兩個向量相等,不一定有相同的起點和終點,故①不正確; |a|=|b|,因為a與b方向不確定,所以a,b不一定相等,故②不正確;在?ABCD中,有 ,故③不正確;向量無法比較大小,故④不正確.所以不正確的是①②③④.答案:①②③④反思感悟 理解向量的相關(guān)概念應(yīng)注意以下幾點:(1)區(qū)分向量與數(shù)量.向量既強調(diào)大小,又強調(diào)方向,而數(shù)量只與大小有關(guān)；(2)明確向量與有向線段的區(qū)別；(3)零向量和單位向量都是通過模的大小來規(guī)定的.零向量的方向是任意的；(4)共線向量與相等向量的區(qū)別.【例2】 如圖2-1-1,四邊形ABCD與四邊形ABDE是平行四邊形.反思感悟 找共線向量或相等向量的方法:(1)尋找共線向量,先找與表示已知向量的有向線段平行或共線的線段,再構(gòu)造同向與反向的向量,注意不要漏掉以表示已知向量的有向線段的終點為起點、起點為終點的向量.(2)尋找相等向量,先找與表示已知向量的有向線段長度相等的向量,再確定哪些是同向共線.易 錯 辨 析以上解答過程中都有哪些錯誤?出錯的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:首先要明確兩條直線平行指同一平面內(nèi)的兩條直線沒有公共點,而當兩條直線重合時,不能稱之為平行.向量共線時,表示向量的有向線段不一定共線.答案:C防范措施 兩條直線平行時,直線上用有向線段表示的向量平行,兩向量平行時,表示向量的有向線段所在直線不一定平行,也可能重合.求向量夾角要注意共始點,找準方向,避免錯解.

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