北師大版高中數(shù)學必修第二冊第二章平面向量及其應用檢測試題含答案-試卷下載-教習網(wǎng)

第二章　檢測試題一、單項選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)1.化簡+++的結(jié)果等于(　B　)(A) (B) (C) (D)解析:+++=(+)+(+)=+0=.故選B.2.已知向量a=(1,m),b=(3,-1),且a∥b,則m等于(　B　)(A)-3 (B)- (C) (D)3解析:因為a∥b,所以-1-3m=0,得m=-.故選B.3.在平行四邊形ABCD中,A(0,0),B(5,0),D(2,4),對角線AC,BD交于點M,則的坐標是(　A　)(A)(,-2) (B)(,2)(C)(-,-2) (D)(-,2)解析:在平行四邊形ABCD中,對角線AC,BD交于點M,則M為DB的中點,由已知條件可得=-=(5,0)-(2,4)=(3,-4),因此,==(,-2).故選A.4.已知向量a,b,且=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,則一定共線的三點是(　A　)(A)A,B,D (B)A,B,C(C)B,C,D (D)A,C,D解析:因為=-5a+6b,=7a-2b,所以=+=2a+4b,又=a+2b,所以=2,即∥,而,有公共點B,所以A,B,D三點共線,A選項正確.=-4a+8b,顯然,,兩兩不共線,選項B,C,D都不正確.故選A.5.在△ABC中,BC邊上的中線為AD,點O滿足=-2,則等于(　A　)(A)-+ (B)-(C)- (D)-+解析:因為在△ABC中,BC邊上的中線為AD,所以=(+).因為=-2.所以=2,所以==×(+)=(+),所以=-=--=-+.故選A.6.已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(m,1).若c⊥(2a+b),則m等于(　D　)(A)2 (B)-2 (C) (D)-解析:2a+b=(4,2),因為c⊥(2a+b),所以c·(2a+b)=0.所以4m+2=0,解得m=-.故選D.7.已知非零向量a,b滿足|a|=4|b|,且(a-2b)⊥b,則a與b的夾角θ為(　B　)(A) (B) (C) (D)解析:由(a-2b)⊥b,可得(a-2b)·b=0,即a·b-2|b|2=0.可得cos θ==,θ∈[0,π],故θ=.故選B.8.已知船在靜水中的速度大小為5 m/s,且知船在靜水中的速度大小大于水流的速度大小,河寬為20 m,船垂直到達對岸用的時間為5 s,則水流的速度大小為(　A　)(A)3 m/s (B)4 m/s (C)5 m/s (D)6 m/s解析:設船在靜水中的速度為v1,水流速度為v2,船的實際速度為v3,建立如圖所示的平面直角坐標系.|v1|=5 m/s,|v3|==4(m/s),則v3=(0,4),v1=(-3,4),v2=v3-v1=(0,4)-(-3,4)=(3,0).所以|v2|=3 m/s,即水流的速度大小為3 m/s.故選A.二、多項選擇題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得5分,有選錯的得0分,部分選對的得2分)9.在△ABC中,下列判斷正確的是(　BCD　)(A)若sin 2A=sin 2B,則△ABC為等腰三角形(B)若A>B,則sin A>sin B(C)若△ABC為銳角三角形,則sin A>cos B(D)若sin A>sin B,則A>B解析:在△ABC中,若sin 2A=sin 2B,則2A=2B或2A+2B=π,所以A=B或A+B=,所以△ABC為等腰三角形或直角三角形,故A不正確;在△ABC中,若A>B,則a>b,由正弦定理可得2Rsin A>2Rsin B(R為△ABC外接圓半徑),即sin A>sin B,故B正確;若△ABC為銳角三角形,則A+B>,所以>A>-B>0,所以sin A>sin(-B)=cos B,故C正確;在△ABC中,若sin A>sin B,由正弦定理可得>(R為△ABC外接圓半徑),即a>b,所以A>B,故D正確.故選BCD.10.已知向量a=(2,1),b=(-3,1),則下列說法正確的有(　BCD　)(A)(a+b)∥a(B)向量a在向量b方向上的投影向量為-b(C)a與a-b的夾角余弦值為(D)若c=(,-),則a⊥c解析:a+b=(-1,2).因為=-1×1≠2×2,所以a+b與a不共線,A選項錯誤;設向量a在向量b方向上的投影向量為λb,則a·b=λb2,即2×(-3)+12=10λ,解得λ=-,故向量a在向量b方向上的投影向量為-b,B選項正確;a-b=(5,0),cos <a,a-b>===,C選項正確;若c=(,-).則a·c=2×+1×(-)=0,所以a⊥c,D選項正確.故選BCD.11.下列說法正確的是(　AD　)(A)若點G是△ABC的重心,則=+(B)已知a=(-1,2),b=(x,x-1),若(b-2a)∥a,則x=-1(C)已知A,B,C三點不共線,B,C,M三點共線,若=x+(2x-1),則x=(D)已知正方形ABCD的邊長為1,點M滿足=,則·=解析:對于A,由題意=(+)=+,故A正確;對于B,因為b-2a=(x+2,x-5),(b-2a)∥a,所以-(x-5)=2(x+2),解得x=,故B錯誤;對于C,B,C,M三點共線,則存在實數(shù)λ,使得=λ,所以-=λ(-)即=λ+(1-λ).又=x+(2x-1),所以解得x=,故C錯誤;對于D,在正方形中·=0,由=,可得=,所以·=(+)·(+)=(+)·(+)=+·+=,故D正確.故選AD.12.如圖所示,設Ox,Oy是平面內(nèi)相交成θ(θ≠)角的兩條數(shù)軸,e1,e2分別是與x軸,y軸正方向同向的單位向量,則稱平面坐標系xOy為θ反射坐標系,若=xe1+y e2,則把有序數(shù)對(x,y)叫作向量的反射坐標,記為=(x,y).在θ=的反射坐標系中,a=(1,2),b=(2,-1).則下列結(jié)論正確的是(　ABD　)(A)a-b=(-1,3)(B)|a|=(C)a⊥b(D)向量a在向量b方向上的投影數(shù)量為-解析:對于A,a-b=(e1+2e2)-(2e1-e2)=-e1+3e2,則a-b=(-1,3),故A正確;對于B,|a|====,故B正確;對于C,a·b=(e1+2e2)·(2e1-e2)=2+3e1·e2-2=-,故C錯誤;對于D,由于|b|===,故向量a在向量b方向上的投影數(shù)量為==-,故D正確.故選ABD.三、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分)13.與向量a=(12,5)反向的單位向量是　　　　. 解析:a=(12,5)的反向的單位向量是-=-=(-,-).答案:(-,-)14.已知e1,e2為平面內(nèi)兩個不共線向量,=2e1+4e2,=e1+λe2,若M,N,P三點共線,則 λ=　　　　. 解析:因為M,N,P三點共線,所以存在實數(shù)k使得=k,所以2e1+4e2=k(e1+λe2),即解得答案:215.已知向量a,b的夾角為60°,|a|=2,|a-b|=,則|b|=　　　　.解析:由題意,向量a,b的夾角為60°,|a|=2,|a-b|=,可得a2+b2-2a·b=4+|b|2-2×2·|b|cos 60°=3,即|b|2-2·|b|+1=0,解得|b|=1.答案:116.托勒密是古希臘天文學家、地理學家、數(shù)學家,托勒密定理就是由其名字命名,該定理指出:圓的內(nèi)接凸四邊形兩對對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積.已知凸四邊形ABCD的四個頂點在同一個圓的圓周上,AC,BD是其兩條對角線,AB=AD,∠BAD=120°,AC=6,則四邊形ABCD的面積為　　　　. 解析:在△ABD中,設AB=a,由余弦定理得BD2=AB2+AD2-2AB·AD·cos∠BAD=3a2,所以BD=a,由托勒密定理可得a(BC+CD)=AC·a,即BC+CD=AC,又∠ACB=∠ACD=30°,所以四邊形ABCD的面積S=BC·ACsin 30°+CD·AC·sin 30°=(BC+CD)·AC=·AC2=9.答案:9四、解答題(本大題共6小題,共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17.(本小題滿分10分)已知a=(1,0),b=(2,1).(1)當k為何值時,ka+b與a+2b共線?(2)當k為何值時,ka+b與a+2b垂直?(3)當k為何值時,ka+b與a+2b的夾角為銳角?解:(1)ka+b=(k+2,1),a+2b=(5,2).因為ka+b與a+2b平行,所以(k+2)×2-1×5=0,解得k=.(2)因為ka+b與a+2b垂直,所以(ka+b)·(a+2b)=0,即5×(k+2)+2×1=0,解得k=-.(3)由題意可得5×(k+2)+2×1>0,且ka+b與a+2b不共線,解得k>-且k≠.18.(本小題滿分12分)已知a,b,c分別為△ABC內(nèi)角A,B,C的對邊,且=.(1)求B的值;(2)若b=2,求△ABC的面積的最大值.解:(1)由=,得a2+c2-b2=-ac,所以cos B==-,又B∈(0,π),則B=.(2)因為b2=a2+c2-2accos B,所以8=a2+c2+2ac×≥2ac+2ac×,即ac≤4(2-),當且僅當a=c時等號成立.所以△ABC的面積S=acsin B≤×4×(2-)×=2-2.故△ABC的面積的最大值為2-2.19.(本小題滿分12分)如圖所示,在矩形ABCD中,BC=3AB=6,E為AB的中點,F是BC邊上靠近點B的三等分點,AF與DE交于點G.設=a,=b.(1)求∠EGF的余弦值.(2)用a和b表示.解:(1)如圖,以A為坐標原點,AB所在直線為x軸,AD所在直線為y軸建立平面直角坐標系,依題意知,A(0,0),B(2,0),C(2,6),D(0,6),E(1,0),F(2,2),所以=(2,2),=(1,-6),所以·=2×1-2×6=-10,||==2,||==,所以cos <,>===-.由圖可知∠EGF即為與所成的角,所以cos ∠EGF=-.(2)依題意設=λ,所以=λ(+)=λ(+)=λ+λ.因為D,G,E三點共線,所以=x+(1-x)·=x+(1-x).所以解得所以=+.又=a,=b,所以=a+b.20.(本小題滿分12分)某輪船以v km/h的速度航行,在A點測得海面上油井P在南偏東60°.輪船從A處向北航行30 min后到達B處,測得油井P在南偏東15°,且BP=10 km.輪船以相同的速度改為向東北方向再航行60 min 后到達C點.(1)求輪船的速度v;(2)求P,C兩點間的距離(精確到1 km).解:(1)在△ABP中,由正弦定理得,=,即=,解得v==40(km/h).所以v=40 km/h.(2)在△CBP中,由余弦定理得PC2=PB2+BC2-2PB·BC·cos∠PBC=(10)2+(40)2-2×10×40·cos(180°-15°-45°)=2 200+400,所以PC≈56 km.21.(本小題滿分12分)如圖所示,以△ABC兩邊AB,AC為邊向外作正方形ABGF和ACDE,M為BC的中點.用向量方法證明:AM⊥EF.證明:因為M是BC的中點,所以=(+).又因為=-,所以·=(+)·(-)=(·+·-·-·)=(0+·-·-0)=(·-·)=[||·||cos(+∠BAC)-||·||·cos(+∠BAC)]=0,所以⊥,即AM⊥EF.22.(本小題滿分12分)在△ABC中,AB=3,AC=6,∠BAC=,D為邊BC的中點,M為中線AD的中點.(1)求中線AD的長;(2)求與的夾角θ的余弦值.解:(1)由已知,·=3×6cos =-9,又=(+),所以||2=(||2+2·+||2)=×(9-18+36)=,所以AD=.(2)由(1)知,=-=(+)-=-+,所以||2=×9-×(-9)+×36=,從而||=.·=(-+)·(+)=-×9-×(-9)+×36=,所以cos θ==××=.