第二章平面向量及其應用（A卷·知識通關練）-【單元測試】2022-2023學年高一數學分層訓練AB卷（北師大版2019必修第二冊）-試卷下載-教習網

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第二章平面向量及其應用（A卷·知識通關練）
核心知識1從位移、速度、力到向量
1．（2023·高一課時練習）給出下列命題：
①兩個具有公共終點的向量，一定是平行向量；
②兩個向量不能比較大小，但它們的模能比較大?。?br /> ③λa=0（λ為實數），則λ必為零；
④λ,μ為實數，若λa=μb，則a與b共線；
⑤向量的大小與方向有關．
其中正確的命題的個數為（????）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】根據向量、平行向量的定義、向量數乘運算依次判斷各個選項即可.
【解析】對于①，兩個向量具有公共終點，但兩向量的起點和終點可能不共線，則兩向量不是平行向量，①錯誤；
對于②，向量有大小和方向兩個維度，無法比較大??；但向量模長僅有大小一個維度，可以比較大小，②正確；
對于③，當a=0時，λ可以為任意實數，③錯誤；
對于④，當λ=μ=0時，λa=μb=0，此時a,b可以不共線，④錯誤；
對于⑤，向量的大小即向量的模長，與方向無關，⑤錯誤.
故選：A.
2．（2022春·山東聊城·高一山東聊城一中校考期中）下列命題中正確的個數是（????）
①起點相同的單位向量，終點必相同；
②已知向量AB∥CD，則A,B,C,D四點必在一直線上；
③若a∥b,b∥c，則a∥c；
④共線的向量，若起點不同，則終點一定不同.
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【分析】由平面向量的概念對選項逐一判斷，
【解析】對于A，單位向量的方向不確定，故起點相同的單位向量，終點不一定相同，故A錯誤，
對于B，向量AB∥CD，則A,B,C,D四點共線或AB//CD，故B錯誤，
對于C，若a∥b,b∥c，當b=0時，a,c不一定平行，故C錯誤，
對于D，若A,B,C三點共線，則AC//BC，此時起點不同，終點相同，故D錯誤，
故選：A
3．（2022秋·江蘇鹽城·高一濱海縣五汛中學?？茧A段練習）下列命題中正確的是（????）
A．單位向量都相等 B．相等向量一定是共線向量
C．若a//b,b//c，則a//c D．任意向量的模都是正數
【答案】B
【分析】根據單位向量，共線向量及向量的基本概念逐項分析即得.
【解析】對于A，單位向量的模長相等，方向不一定相同，故A錯誤；
對于B，相等向量一定是共線向量，故B正確；
對于C，若b=0，a//b,b//c，而a與c不一定平行，故C錯誤；
對于D，零向量的模長是0，故D錯誤．
故選：B.
4．（2022春·山東東營·高一統(tǒng)考期中）設點O是正三角形ABC的中心，則向量AO，BO，CO是（????）
A．相同的向量 B．模相等的向量 C．共起點的向量 D．共線向量
【答案】B
【分析】根據圖形及正三角形的集合性質可得.
【解析】如圖：

因為O是正△ABC的中心，所以|AO|=|BO|=|CO|=R(R為△ABC外接圓的半徑)，所以向量AO，BO，CO是模相等的向量，但方向不同.
故選：B.
5．（2022春·內蒙古呼倫貝爾·高一?？计谀┙o出下列命題：
①兩個具有共同終點的向量，一定是共線向量；
②若A，B，C，D是不共線的四點，則AB=DC是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件；
③若a與b同向，且a>b，則a>b；
④λ，μ為實數，若λa＝μb，則a與b共線．
其中假命題的個數為（　?。?br /> A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】C
【分析】根據向量共線定義判斷①；根據向量相等的定義和平行四邊形的定義判斷②；根據兩向量不能比較大小判斷③；舉反例否定④.
【解析】①不正確．當起點不在同一直線上時，雖然終點相同，但向量不共線；
②正確．∵AB＝DC，∴|AB|＝|DC|且AB// DC；
又∵A，B，C，D是不共線的四點，∴四邊形ABCD是平行四邊形．
反之，若四邊形ABCD是平行四邊形，
則AB∥CD且AB與DC方向相同，因此AB＝DC；
③不正確．兩向量不能比較大?。?br /> ④不正確．當λ＝μ＝0時，a與b可以為任意向量，
滿足λa＝μb，但a與b不一定共線．
故選：C.
6．[多選]（2022秋·湖北省直轄縣級單位·高三?？茧A段練習）下列說法中，正確的是（????）
A．若向量AB，CD滿足|AB|=|CD|，AB與CD同向，則AB>CD
B．若兩個非零向量AB，CD滿足AB+CD=0，則AB，CD是互為相反向量
C．AB=CD的充要條件是A與C重合，B與D重合
D．模為0是一個向量方向不確定的充要條件
【答案】BD
【分析】根據向量的基本性質，基本概念，以及向量平行和零向量的定義，對每個選項進行逐一分析，即可判斷和選擇.
【解析】對A：向量不可比較大小，故A錯誤；
對B：若兩個非零向量AB，CD滿足AB+CD=0，則AB=|CD|，且方向相反，故AB，CD互為相反向量，B正確；
對C：A與C重合，B與D重合，故AB=CD，充分性成立；但AB=CD，根據向量可平移性，不一定有A與C重合，B與D重合，必要性不滿足，C錯誤；
對D：模為0的向量是零向量，其方向不確定，故充分性成立；一個向量方向不確定，是零向量，其模為0，必要性成立，
即模為0是一個向量方向不確定的充要條件，D正確.
故選：BD.
7．[多選]（2022秋·海南?？凇じ叨？茧A段練習）給出下列命題，其中正確的命題是（　　?。?br /> A．若a=b ，則a=b 或a=-b
B．若向量a 是向量b 的相反向量，則a=b
C．在正方體ABCD-A1B1C1D1 中，AC=A1C1
D．若空間向量m ，n ，p 滿足m=n ，n=p ，則m=p
【答案】BCD
【分析】根據向量模長，相等向量，相反向量概念逐項判斷真假.
【解析】對于選項A：若a=b，即向量a與b的模相等，但方向不確定，故A錯誤；
對于選項B：相反向量是指大小相等方向相反的兩個向量，故B正確；
對于選項C：在正方體ABCD-A1B1C1D1中，AC與A1C1大小相等，方向相同，故AC=A1C1，所以C正確；
對于選項D：若m=n ，n=p，則m，p方向相同大小相等，故m=p，若m，n,p中有零向量結論也正確，所以D正確.
故選：BCD.
8．（2023·高一課時練習）四邊形ABCD，CEFG，CGHD都是全等的菱形，HE與CG相交于點M，則下列關系中正確的序號是________．
①AB=EF；②AB//FH；③BD//EH；④DC//EC．

【答案】①②④
【分析】根據模長相等的向量、平行向量的定義依次判斷各個選項即可.
【解析】對于①，∵四邊形ABCD，CEFG，CGHD都是全等的菱形，∴AB=EF，即AB=EF，①正確；
對于②，∵AB//CD//HG，∴AB//FH，則AB與FH反向，∴AB//FH，②正確；
對于③，若BD//EH，則BD//EH，∴∠BDC=∠DEH，
若四邊形ABCD，CEFG，CGHD都是全等的正方形，如下圖所示，

此時tan∠BDC=1，tan∠DEH=12，即∠BDC≠∠DEH，③錯誤；
對于④，∵D,C,E三點共線，DC,EC方向相反，∴DC//EC，④正確.
故答案為：①②④.
9．（2023·高一課時練習）已知平行四邊形的三個頂點的坐標分別為-2,1，-1,3，3,4，求第四個頂點的坐標．
【答案】2,2或4,6或-6,0
【分析】根據平行四邊形的特征，對邊平行且相等，即對邊的向量相等，分類討論求得第四個定點的坐標即可.
【解析】設A-2,1，B-1,3，C3,4，第四個頂點Dx,y，
由題意，該平行四邊形的四個頂點順序不確定，討論如下：
①若平行四邊形為ABCD，則AB=DC，
因為AB=1,2，DC=3-x,4-y，所以1=3-x2=4-y，解得D2,2；
②若平行四邊形為ABDC，則AB=CD，
因為AB=1,2，CD=x-3,y-4，所以1=x-32=y-4，解得D4,6；
③若平行四邊形為ACBD，則AC=DB，
因為AC=5,3，DB=-1-x,3-y，所以5=-1-x3=3-y，解得D-6,0；
綜上第四個頂點的坐標為2,2或4,6或-6,0.
10．（2023·高一課時練習）如圖，多邊形ABCDEF為正六邊形，在以此六邊形各頂點和中心為起點、終點的向量中：

(1)寫出與AB相等的向量；
(2)寫出AB的負向量；
(3)寫出與AB平行的向量；
(4)寫出與AD長度相等的向量．
【答案】(1)FO，OC，ED
(2)BA，OF，CO，DE
(3)FO，OC，ED，BA，OF，CO，DE，FC，CF
(4)BE，CF，DA，EB，FC
【分析】（1）（2）（3）（4）由相等向量，負向量，平行向量，長度相等向量定義可得答案.
【解析】（1）兩向量相等是指兩向量方向相同，長度相等，由圖可得與AB相等的向量為：FO，OC，ED；
（2）AB向量的負向量是指與AB方向相反，長度相等的向量，由圖可得AB的負向量為：BA，OF，CO，DE；
（3）兩向量平行，是指兩向量方向相同或相反，由圖可得AB平行的向量為：
FO，OC，ED，BA，OF，CO，DE，FC，CF.
（4）由圖，因圖形為正六邊形，則AD=BE=FC，故與AD長度相等的向量為：BE，CF，DA，EB，FC.

核心考點2 從位移的合成到向量的加減法
1．（2021秋·青?！じ叨y(tǒng)考學業(yè)考試）化簡AB+BD-CD=（????）
A．0 B．AC C．BC D．DA
【答案】B
【分析】利用向量的加法即可求得結果.
【解析】AB+BD-CD=AD+DC=AC
故選：B
2．（2022春·遼寧·高二統(tǒng)考學業(yè)考試）如圖所示，在△ABC中，AD為BC邊上的中線，若AB=a，AC=b，則AD=（????）．

A．a+b B．a-b
C．12a+12b D．12a-12b
【答案】C
【分析】直接根據向量加法與減法運算求解即可.
【解析】因為在△ABC中，AD為BC邊上的中線，
所以AD=AB+12BC=AB+12AC-AB=12AB+12AC=12a+12b
故選：C
3．（2022秋·江蘇鎮(zhèn)江·高三統(tǒng)考期中）△ABC中，M，N分別為AC，BC的中點，AN與BM交于點O，下列表達正確的是（????）
A．CO=12NO+12MO B．CO=NO+MO
C．CO=32NO+32MO D．CO=2NO+2MO
【答案】D
【分析】取AB中點E，連CE,根據三角形重心定理，結合向量的線性運算，即可得到結果.
【解析】
取AB中點E，連CE,則點O為△ABC的重心，∴OE+OM+ON=0,-12OC+OM+ON=0∴OC=2OM+2ON，即CO=2MO+2NO，故選：D.
4．（2022秋·新疆·高三兵團第三師第一中學校考階段練習）如圖，等腰梯形ABCD中，AB=BC=CD=3AD，點E為線段CD中點，點F為線段BC的中點，則FE=（????）

A．23AB+16AC B．-23AB+16AC
C．16AB+23AC D．-16AB+23AC
【答案】B
【分析】根據向量的加減法以及三角形中位線BD=2FE即可得到答案.
【解析】連接BD，∵AB=BC=CD=3AD，點E為線段CD中點，

點F為線段BC的中點，
BD=BA+AD=BA+13BC=BA+13BA+AC=43BA+13AC=-43AB+13AC,
又∵BD=2FE，
∴FE=-23AB+16AC.
故選：B.
5．（2023·高一課時練習）在△ABC中，D為AB的中點，E為CD的中點，設AB=a，AC=b，用a、b的線性組合表示AE為（????）
A．12a+b B．14a+12b C．a+12b D．12a+14b
【答案】B
【分析】由向量加法的幾何意義即可求
【解析】由已知得，AE=12AD+AC=1212AB+AC=14AB+12AC=14a+12b.
故選：B

6．（2023·全國·模擬預測）在正方形ABCD中，M是BC的中點．若AC=m，AM=n，則BD=（????）
A．4m-3n B．4m+3n
C．3m-4n D．3m+4n
【答案】C
【分析】作圖，根據圖像和向量的關系，得到BC=2(AC-AM)=2m-2n和AB=AC-BC =m-2m+2n=2n-m，進而利用BD=BC+CD=BC-AB，可得答案.
【解析】
如圖，AC=m，AM=n，且在正方形ABCD中，AB=DC
∵ AC-AM=MC=12BC，∴BC=2(AC-AM)=2m-2n，
∵ AC=AB+BC，∴AB=AC-BC =m-2m+2n=2n-m，
∴ BD=BC+CD=BC-AB= 2m-2n-2n+m=3m-4n
故選：C
7．（2022·高一課時練習）已知△ABC是正三角形，則下列等式中不成立的是（????）
A．AB+BC=BC+CA B．AC+CB=BA+BC
C．AB+AC=CA+CB D．AB+BC+AC=CB+BA+CA
【答案】B
【分析】根據向量加法的三角形法則及△ABC是正三角形，逐一判斷即可.
【解析】對于A，因為AB+BC=AC，BC+CA=|BA|=|AC|,
所以AB+BC=BC+CA，故正確；
對于B，因為AC+CB=AB,BA+BC=2|BD|=3|AB|(D為AC中點)，故錯誤；
對于C，因為AB+AC=2AE=3|AB|(E為BC中點),
CA+CB=2|CF|=3|AB|(F為AB中點),
所以AB+AC=CA+CB，故正確；
對于D，因為AB+BC+AC=|0|=0，CB+BA+CA=|0|=0，
所以AB+BC+AC=CB+BA+CA，故正確.

故選：B.
8．（2022秋·新疆·高三新疆兵團第二師華山中學?？茧A段練習）如圖所示，△ABC中，點D是線段BC的中點，E是線段AD的靠近A的四等分點，則BE=（????）

A．34BA+14BC B．54BA+14BC C．54BA+18BC D．34BA+18BC
【答案】D
【分析】根據向量加減法的三角形法則計算即可.
【解析】由題意可得：BE=BA+AE，AE=14AD，AD=AB+BD，BD=12BC．
∴BE=34BA+18BC，
故選：D.
9．（2022春·河南安陽·高一統(tǒng)考期末）在△ABC中，點M是線段BC上靠近B的三等分點，N是線段AM的中點，則BN=（????）
A．-23AB-16AC B．-23AB+16AC
C．23AB+16AC D．23AB-16AC
【答案】B
【分析】根據平面向量的線性運算求解即可.
【解析】如圖所示：

BN=AN-AB=12AM-AB=12AB+13BC-AB
=16AC-AB-12AB=-23AB+16AC.
故選：B
10．[多選]（2022·高一課時練習）下列各式中能化簡為AD的有（????）
A．MB+AD-BM B．AD+MB+BC+CM
C．AB+CD+BC D．OC-OA+CD
【答案】BCD
【分析】由向量的加法與減法法則逐一驗證即可
【解析】對于A：MB+AD-BM=MB-BM+AD=MB+MB+AD=2MB+AD，故A 錯誤；
對于B：AD+MB+BC+CM= AD+BC+CM+MB=AD，故B正確；
對于C：AB+CD+BC=AB+BC+CD=AD，故C正確；
對于D：OC-OA+CD=AC+CD=AD，故D正確.
故選：BCD
11．[多選]（2022·湖南·校聯(lián)考模擬預測）給出下面四個結論，其中正確的結論是（????）
A．若線段AC=AB+BC，則向量AC=AB+BC
B．若向量AC=AB+BC，則線段AC=AB+BC
C．若向量AB與BC共線，則線段AC=AB+BC
D．若向量AB與BC反向共線，則|AB-BC|=AB+BC
【答案】AD
【分析】A選項，根據AC=AB+BC得到點B在線段AC上，進行判斷A正確；BC選項，可舉出反例；D選項，根據向量線性運算推導出答案.
【解析】選項A：由AC=AB+BC得點B在線段AC上，則AC=AB+BC，A正確：
選項B；三角形ABC，AC=AB+BC，但AC≠AB+BC，B錯誤；
對于C：AB，BC反向共線時，AC=AB+BC≠AB+BC，故AC≠AB+BC，C錯誤；
選項D：AB,BC反向共線時，AB-BC=AB+(-BC)=AB+BC，故D正確．
故選：AD．
12．[多選]（2022秋·山東聊城·高二聊城二中?？奸_學考試）下列說法中，正確的是（????）
A．模為0是一個向量方向不確定的充要條件
B．若向量AB，CD滿足|AB|=|CD|，AB與CD同向，則AB>CD
C．若兩個非零向量AB，CD滿足AB+CD=0，則AB，CD是互為相反向量
D．AB=CD的充要條件是A與C重合，B與D重合
【答案】AC
【分析】根據向量的定義及其有關概念，逐個判斷各個選項即可．
【解析】對于A，只有零向量的模長為0，且方向是任意的，
因為模長為0的向量方向是不確定的，所以充分性成立，
因為一個方向不確定的向量的模長為0，所以必要性成立，故A正確，
對于B，AB>CD表達錯誤，向量既有大小又有方向，它的模長可以比較大小，其本身不能比較大小，故B錯誤，
對于C，由AB+CD=0可得AB=-CD，即AB與CD模長相等，方向相反，所以AB，CD互為相反向量，故C正確，
對于D，由于向量可以平行移動，所以由AB=CD不一定能得到A與C重合，B與D重合，故D錯誤，
故選：AC．
13．（2022·全國·高三專題練習）已知O是面積為4的△ABC內部一點，且有OA+OB+2OC=0，則△AOC的面積為__________.
【答案】1
【分析】設AC中點為M，BC中點為N，由向量加法運算的幾何意義可得OM+ON=0，即有O為中位線MN的中點，即可利用幾何關系求△AOC的面積.
【解析】如圖，設AC中點為M，BC中點為N.

因為OA+OB+2OC=OA+OC+OB+OC=0，所以2OM+2ON=0，即OM+ON=0，所以O為中位線MN的中點，
所以S△AOC=12S△ANC=12×12S△ABC=12×12×4=1.
故答案為：1
14．（2022秋·浙江·高二浙江省衢州第一中學校聯(lián)考開學考試）已知非零向量a,b,c滿足a+b+c=0，|a-b|=|a-c|=2，則|a|+|b|?|c|的最大值為___________.
【答案】338
【分析】設OA=a,OB=b,OC=c，根據題意 O是三角形的重心，且可得AB=AC，推出OB,OC，設OD=x(00，故a+b與a的夾角不為鈍角，C錯誤；
對于D：a+b?c=-2,7?7,2=-14+14=0，則a+b⊥c，D正確；
故選：D.
3．（2023秋·山西太原·高三統(tǒng)考階段練習）在矩形ABCD中,AB=23,AD=2,點E滿足2DE=3DC,則AE?BD=（????）
A．-14 B．14 C．-16 D．-143
【答案】A
【分析】根據題意建立合適的平面直角坐標系,找到各個點的坐標,根據2DE=3DC,求出E點坐標,代入AE?BD中即可得出結果.
【解析】解:由題不妨以A為坐標原點,AB,AD方向分別為x,y軸建立如圖所示直角坐標系,

則A0,0,B23,0,C23,2,D0,2,
所以DC=23,0,BD=-23,2,
因為2DE=3DC,
設Ex,y,
所以2x,y-2=323,0,
解得E33,2,
所以AE=33,2,
所以AE?BD=33,2?-23,2=-14.
故選:A
4．（2023秋·山東煙臺·高三山東省煙臺第一中學校考期末）若平面向量a與b的夾角為60°，a=(2,0)，|b|=1，則|a+2b|等于（???）．
A．3 B．23 C．4 D．12
【答案】B
【分析】先求向量的數量積，然后利用向量的模的求解方法求解即可．
【解析】因為平面向量a與b的夾角為60°，a=(2,0)，|b|=1，
所以a=22+02=2，a?b=a?bcosθ=2×1×cos60°=1，
所以a+2b=a+2b2=a2+4a?b+4b2=4+4×1+4=23.
故選：B.
5．（2023·全國·高三專題練習）在平行四邊形ABCD中，∠A=π3，邊AB、AD的長分別為2、1，若M、N分別是邊BC、CD上的點，且滿足|BM||BC|=|CN||CD|，則AM?AN的最大值是（????）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】建立平面直角坐標系，設|BM||BC|=|CN||CD|=k，k∈[0,1]，利用已知條件求出AM,AN的坐標，然后通過數量積運算結合二次函數的性質求出最大值．
【解析】以A為原點，建立如圖所示的平面直角坐標系．

A(0,0)，B(2,0)，D(12,32)，C(52,32)，
AB=(2,0),BC=(12,32),AC=(52,32),CD=(-2,0)，
設|BM||BC|=|CN||CD|=k，k∈[0,1]，則BM=kBC，CN=kCD，
可得AM=AB+BM=AB+kBC=(2+12k,3k2)，AN=AC+CN=AC+kCD=(52-2k,32)，
∴AM?AN=(2+12k)(52-2k)+3k4=-k2-2k+5=-(k+1)2+6，
∵k∈[0,1]，∴當k=0時，AM?AN取得最大值5．
故選：D．
6．[多選]（2022秋·廣東揭陽·高三?？茧A段練習）已知平面向量a=1,0，b=1,23，則下列說法正確的是（????）
A．a+b=4 B．a+b?a=2
C．向量a+b與a的夾角為30° D．向量a+b在a上的投影向量為2a
【答案】ABD
【分析】根據向量加法的坐標運算，以及向量模的計算，可判斷A;根據數量積的坐標運算可判斷B;利用向量的夾角公式可判斷C;根據投影向量的概念，可求得向量a+b在a上的投影向量，判斷D.
【解析】由題意得a+b=1+1,0+23=2,23，所以a+b=22+232=4，故A正確；
a+b?a=2×1+23×0=2，故B正確；
cosa,a+b=a?a+baa+b=21×4=12，
∵0≤a,a+b≤π，∴a,a+b=π3，故C錯誤；
向量a+b在a上的投影向量為a?a+ba?aa=2a，故D正確，
故選：ABD.
7．（2023·高一課時練習）已知a=1,3，b=3,m．若b在a方向上的數量投影為3，則實數m=______．
【答案】3
【分析】由b在a方向上的投影為a?ba=3，代入計算即可得到答案．
【解析】由題意知，a?b=3+3m，a=1+3=2
因為b在a方向上的投影為a?ba，所以a?ba=3+3m2=3，解得m=3.
故答案為：3
8．（2022秋·北京·高二北京市第五中學校考期末）已知向量AB=1,2，AC=3,m，若AB⊥AC，則AB+13AC=___________.
【答案】52
【分析】利用平面向量垂直的坐標表示求得m，再利用平面向量線性運算和模的坐標表示求得結果.
【解析】向量AB=1,2，AC=3,m，若AB⊥AC，有1×3+2m=0，m=-32，AC=3,-32，
AB+13AC=1,2+133,-32=2,32，
AB+13AC=22+322=52.
故答案為：52
9．（2022秋·上海青浦·高二上海市青浦高級中學?？计谥校┊擮P=xe1+ye2時，??則稱有序實數對x,y為點P的廣義坐標，若點A、B的廣義坐標分別為x1,y1、x2,y2，對于下列命題：①線段AB的中點的廣義坐標為x1+x22,y1+y22；②向量OA平行于向量OB的充要條件為x1y2=x2y1；③向量OA垂直于向量OB的充要條件為x1x2+y1y2=0；其中真命題是___________．
【答案】①②
【分析】對于①：設M為AB中點，利用向量的中線公式直接求解；對于②：利用向量平行直接求解；對于③：利用向量垂直計算后判斷.
【解析】由題意：OA=x1e1+y1e2,OB=x2e1+y2e2.
對于①：設M為AB中點，所以OM=12OA+OB=12x1e1+y1e2+x2e1+y2e2=x1+x22e1+y1+y22e2.
所以線段AB的中點的廣義坐標為x1+x22,y1+y22.故①正確；
對于②：向量OA平行于向量OB ? OA=λOB? x1e1+y1e2=λx2e1+y2e2?x1y2=x2y1.
故②正確；
對于③：向量OA垂直于向量OB ? OA?OB=0? x1e1+y1e2?x2e1+y2e2=0.
而x1e1+y1e2?x2e1+y2e2=x1x2e12+x1y2+x2y1e1?e2+y1y2e22 =x1x2+y1y2+x1y2+x2y1e1?e2.
故③不一定成立.
故答案為：①②
10．（2023·全國·模擬預測）已知a，b，c是平面向量，滿足a-b=a+b，a=2b=2，c+a-b=5，則向量c在向量a上的投影的數量的最小值是______.
【答案】-2-5
【分析】由a-b=a+b，可得a?b=0，即a⊥b，再結合條件a=2，b=1，不妨設a=2,0，b=0,1，c=x,y，結合條件可得x+22+y-12=5，表示出向量c在向量a上的投影的數量，從而求得最小值.
【解析】由a-b=a+b，則a-b2=a+b2，
即a2-2a?b+b2=a2+2a?b+b2，即a?b=0，即a⊥b，
又由a=2b=2，所以a=2，b=1，
不妨設a=2,0，b=0,1，c=x,y，
則c+a-b=x+2,y-1，即c+a-b=x+22+y-12=5，
即x+22+y-12=5，則
故向量c在向量a上的投影的數量為c?cos?c,a?=c?aa=2x2=x，
又x+22≤5，所以-2-5≤x≤-2+5，
所以向量c在向量a上的投影的數量的最小值是-2-5.
故答案為：-2-5.

題型三、利用數量積計算長度與角度
1．（2022秋·福建廈門·高三校聯(lián)考階段練習）已知單位向量a,b滿足(a+b)⊥(a-b),|a+b|=3，則向量a,b的夾角是（????）
A．π6 B．π3 C．π2 D．2π3
【答案】B
【分析】設單位向量a,b的夾角為θ，利用|a+b|=3平方，結合向量數量積公式化簡出含有向量夾角的等式解之即可.
【解析】設單位向量a,b的夾角為θ，
由|a+b|=3，則a+b2=3，
即a2+2a?b+b2=3?1+2a?b+1=3?a?b=12，
所以a?b=a?bcosθ=12?cosθ=12，
又θ∈0,π，所以θ∈π3.
故選：B.
2．（2022·全國·高三專題練習）已知單位向量a,b的夾角為θ，且tanθ=12，若向量m=5a-3b ，則|m|= （????）
A．2 B．3 C．26 D．2或26
【答案】A
【分析】由題意求出向量a,b的夾角的余弦值，即可求出a,b的數量積，根據向量的模的計算，可求得答案.
【解析】依題意|a|=|b|=1，又θ為a,b的夾角，且tanθ=12，
∴θ為銳角，且cos θ=2sin θ，
又sin2θ+cos2θ=1 ，從而cosθ=255，
故a?b=255，
由m=5a-3b，
∴m2=(5a-3b)2=(5a)2-65a?b+9b2=5-12+9=2 ，
因此 |m|=2，
故選：A
3．（2022春·浙江杭州·高二統(tǒng)考期末）平面向量a，b滿足a=1，b-32a=1，記a,b=θ，則sinθ的最大值為（????）
A．23 B．53 C．12 D．32
【答案】A
【分析】利用向量的模與向量數量積運算法則，先求出cosθ的范圍，進而求得sinθ的最大值.
【解析】因為a=1，b-32a=1，所以b-32a2=b2-3a?b+94a2=1，
b2-3a?bcosθ+94-1=0，即b2-3bcosθ+54=0，
所以cosθ=b2+543b=b3+512b≥2536=59，
當且僅當b=52等號成立，因為a,b=θ,θ∈0,π
所以sinθ=1-cos2θ=1-59≤23
sinθ的最大值為23，
故選：A.
4．（2023·全國·高三專題練習）已知H為△ABC的垂心，若AH=13AB+25AC，則sin∠BAC=（????）
A．155 B．105
C．63 D．33
【答案】C
【分析】BH=-23AB+25AC，CH=13AB-35AC，利用BH?AC=0、CH?AB=0得cos∠BAC=3AC→5AB→，cos∠BAC=5AB9AC，解得cos2∠BAC=13，再利用平方共線可得答案.
【解析】依題意，BH=BA+AH=-23AB+25AC，同理CH=CA+AH=13AB-35AC．
由H為△ABC的垂心，得BH?AC=0，即-23AB→+25AC→?AC→=0，
可知25AC2=23ACABcos∠BAC，即cos∠BAC=3AC5AB．同理有CH?AB=0，
即13AB→-35AC→?AB→=0，可知13AB2=35ACABcos∠BAC，
即cos∠BAC=5AB9AC，解得cos2∠BAC=13，
sin2∠BAC=1-cos2∠BAC=1-13=23，又∠BAC∈0,π，
所以sin∠BAC=63．
故選：C．

5．（2022·高二課時練習）△ABC中，∠A=60°，∠A的平分線AD交邊BC于D，已知AB=3，且AD=13AC+23AB，則AD的長為（????）
A．3 B．3 C．23 D．33
【答案】C
【分析】過D作DE//AC交AB于E，作DF//AB交AC于F，由向量加法的平行四邊形法則和向量的基本定理得AE=23AB，AF=13AC，從而得BDDC，即可求得AC，最后把AD=13AC+23AB平方可求得AD．
【解析】如圖，過D作DE//AC交AB于E，作DF//AB交AC于F，
則AD=AE+AF，又AD=13AC+23AB，
所以AE=23AB，AF=13AC，
所以BDBC=AFAC=13，即BDDC=12，
又AD是∠BAC的平分線，所以ABAC=BDCD=12，而AB=3，所以AC=6，
AB?AC=ABACcos∠BAC=3×6×cos60°=9，
AD2=(13AC+23AB)2=19AC2+49AC?AB+49AB2 =19×62+49×9+49×32=12，
所以AD=23，
故選：C．

6．[多選]（2021春·河北邯鄲·高一?？计谥校┮阎蛄縜=1,3，b=2,-4則下列結論正確的是（????）
A．a+b⊥a B．2a+b=10
C．向量a，b的夾角為3π4 D．b在a方向上的投影是10
【答案】AC
【分析】根據坐標運算法則，依次求解各個選項，即可得到結果.
【解析】A.∵a+b?a=3,-1?1,3=0??∴a+b⊥a，A正確；
B.2a+b=2×1,3+2,-4=4,2，2a+b=25，錯誤；
C. cosa,b=a?ba?b=1×2-3×410?20=-22，所以夾角為3π4；
D. b在a方向上的投影為a?ba=1×2-3×410=-10.
故選：AC.
7．[多選]（2022秋·江蘇揚州·高三統(tǒng)考階段練習）已知向量a=1,1,b=cosθ,sinθ(0≤θ≤π)．則下列命題正確的是（????）
A．若b=22,22，則θ=π4 B．存在θ，使得a+b=a-b
C．與a共線的單位向量為22,22 D．向量a與b夾角的余弦值范圍是-22,1
【答案】ABD
【分析】對于A，由特殊角的三角函數值與θ的取值范圍可得到θ=π4，故A正確；
對于B，利用向量的數量積運算由a+b=a-b易得a?b=0，從而得到tanθ=-1，故θ=3π4，即說法成立，故B正確；
對于C，利用±aa易求得與a共線的單位向量有兩個，故C錯誤；
對于D，利用向量數量積運算求得a,b夾角的余弦值的表達式，結合三角函數的圖像即可得到其取值范圍是-22,1，故D正確.
【解析】對于A，由題意得cosθ=22，又0≤θ≤π，故θ=π4，故A正確；
對于B，因為a+b=a-b，即a+b2=a-b2，即a+b2=a-b2，
整理得a2+2a?b+b2=a2-2a?b+b2，即a?b=0，
故1×cosθ+1×sinθ=0，即sinθ=-cosθ，得tanθ=sinθcosθ=-1，
又0≤θ≤π，所以θ=3π4，即存在θ，使得a+b=a-b，故B正確；
對于C，因為a=1,1，所以a=12+12=2，故與a共線的單位向量為±aa=±12,12=±12,±12，故C錯誤；
對于D，cosa,b=a?bab=cosθ+sinθ2?cos2θ+sin2θ=22cosθ+22sinθ=sinθ+π4，
又0≤θ≤π，所以π4≤θ+π4≤5π4，所以-22≤sinθ+π4≤1，即向量a與b夾角的余弦值范圍是-22,1，故D正確.
故選：ABD.
8．[多選]（2022春·浙江嘉興·高一?？茧A段練習）已知向量a=2,1，b=1,-1，c=m-2,-n，e向量是與b方向相同的單位向量，其中m，n均為正數，且a-b//c，下列說法正確的是（???????）
A．a與b的夾角為鈍角 B．向量a在b方向上的投影向量為55 e
C．2m+n=4 D．mn的最大值為2
【答案】CD
【分析】由數量積的符號可判斷A；根據投影定義直接計算可判斷B；根據向量平行的坐標表示可判斷C；由基本不等式結合a-b//c可判斷D.
【解析】對于A，向量a=(2，1)，b=(1，﹣1)，則a?b=2-1=1>0，則a,b的夾角為銳角，錯誤；
對于B，向量a=(2，1)，b=(1，﹣1)，則向量a在b方向上的投影為a?bb=22，錯誤；
對于C，向量a=(2，1)，b=(1，﹣1)，則a-b= (1，2)，若(a-b)∥c，則(﹣n)=2(m﹣2)，變形可得2m+n=4，正確；
對于D，由C的結論，2m+n=4，而m，n均為正數，則有mn=m(4-2m)=-2[(m-1)2-1]，當m=1，n=2時，mn有最大值2，正確；
故選：CD.
9．（2022秋·貴州畢節(jié)·高三校聯(lián)考階段練習）已知向量a=2,-3，b=4,m，若a+2b=a-2b，則m=________．
【答案】83
【分析】根據向量模的展開計算，得出a?b=0，從而進一步利用向量的線性計算求解.
【解析】因為a+2b=a-2b，
所以a+2b2=a-2b2，
所以a+2b2=a-2b2，
所以a2+4a?b+4b2=a2-4a?b+4b2，
所以a?b=0，
所以2,-3?4,m=8-3m=0，
解得m=83，
故答案為：83.
10．（2022秋·浙江杭州·高二?？计谥校┮阎獆a|=2|b|=|a-b|，作OA=a,OB=a+b，則cos∠AOB=____________．
【答案】368
【分析】先求出OA,OB的數量積和模長,再由向量夾角余弦公式計算可得.
【解析】設|a|=2|b|=|a-b|=2t
因為|a-b|=2t=a2-2a?b+b2=4t2-2a?b+t2,可得2a?b=t2
所以|a+b|=a2+2a?b+b2=4t2+2a?b+t2=6t
由OA?OB=a?a+b=a2+a?b=4t2+12t2=92t2
OA=a=2t,OB=a+b=6t
可得cos∠AOB=OA?OBOAOB=92t22t×6t=946=368.
故答案為： 368.
11．（2022秋·上海楊浦·高二復旦附中校考階段練習）已知在平面直角坐標系中的非零向量a、b，若向量a、b的線性組合a+3b與7a-5b相互垂直，a-4b與7a-2b相互垂直，則a,b=______.
【答案】π3
【分析】由a+3b與7a-5b相互垂直，a-4b與7a-2b相互垂直，得向量數量積為零，得a?b與a2，b2的關系，計算cosa,b即可得到a,b.
【解析】由a+3b與7a-5b相互垂直，a-4b與7a-2b相互垂直，
則a+3b?7a-5b=7a2+16a?b-15b2=0，
a-4b?7a-2b=7a2-30a?b+8b2=0，
結合兩式可得：a?b=12b2，a2=b2，
則cosa,b=a?bab=12b2b2=12，又因為a,b∈0,π，
所以a,b=π3，
故答案為：π3.
12．（2022春·福建莆田·高一統(tǒng)考期末）定義：a，b兩個向量的叉乘a×b的模為a×b=a?b?sina,b，a,b表示向量a與b的夾角．若點A1,0，B1,-3，O為坐標原點，則OA×OB=___．
【答案】3
【分析】首先利用向量的坐標表示求出向量OA,OB，然后利用向量的夾角公式求出向量OA與向量OB的夾角，進而根據叉乘a×b的模為a×b=a?b?sina,b，代入求出叉乘的模即可.
【解析】∵ A1,0，B1,-3，∴OA=1,0，OB=1,-3，
∴OA=12+02=1，OB=12+-32=2，
∴cosOA,OB=OA?OBOAOB=1×1+0×-31×2=12，
∵OA,OB∈0,π，∴OA,OB=π3，
∴OA×OB=OA?OB?sinOA,OB=1×2×sinπ3=3.
故答案為：3.
13．（2022·全國·高三專題練習）已知平面內兩單位向量e1,e2,?e1,e2?=π3，若c滿足c?e1-c?e2=c2,c?e1+c?e2≥12，則c2的最小值是___________.
【答案】12-66
【分析】設出e1=12,32,e2=-12,32,c=(x,y)得到x=x2+y2，由不得關系得到c?e1+e2max≥12?y2≥112，從而得到最小值.
【解析】由題意,可以設e1=12,32,e2=-12,32,c=(x,y)，
則由c?e1-c?e2=c2得x=x2+y2，
由c?e1+c?e2≥12?c?e1+e2max≥12?y2≥112，
所以x=x2+y2≥x2+112，解得：12-66≤x≤12+66
即c2的最小值是12-66.
14．（2023·高一課時練習）已知向量a=1,1，b=2,m，m∈R．
(1)若a//b，求m的值；
(2)若a⊥b，求m的值；
(3)若a與b夾角為銳角，求m的取值范圍．
【答案】(1)m=2
(2)m=-2
(3)-2,2∪2,+∞
【分析】（1）由向量平行坐標表示即可；
（2）由向量垂直坐標表示即可；
（3）由向量夾角為銳角可知a?b>0且a,b不同向，由此可構造不等式組求得m的范圍
【解析】（1）因為向量a=1,1，b=2,m，a//b，
所以1×m=2×1，解得m=2；
（2）因為向量a=1,1，b=2,m，a⊥b，
所以1×2+1×m=0，解得m=-2；
（3）∵a,b夾角為銳角，∴a?b>0且a,b不同向，∴1×2+1×m>0m≠2，
解得：m>-2且m≠2，∴m的取值范圍為-2,2∪2,+∞.
15．（2022春·北京海淀·高一北京交通大學附屬中學?？茧A段練習）在平面直角坐標系xOy中，已知點A3,3，B5,1，P2,1，點M是直線OP上的一個動點.
(1)求PB-PA的值；
(2)若四邊形APBM是平行四邊形，求點M的坐標；
(3)求MA?MB的最小值.
【答案】(1)22
(2)M6,3
(3)-2
【分析】（1）先計算出PB-PA=2,-2，然后用模的坐標公式即可求解；
（2）由點M是直線OP上的一個動點可得到M2λ,λ，接著利用AP=MB即可求解；
（3）利用數量積的坐標公式和二次函數的性質即可求解
【解析】（1）因為A3,3，B5,1，P2,1，所以PB=3,0,PA=1,2，
所以PB-PA=2,-2
所以PB-PA=4+4=22
（2）由題意可得OP=2,1，
因為點M是直線OP上的一個動點，所以OM=λOP,λ∈R，
所以M2λ,λ，
因為四邊形APBM是平行四邊形，所以AP=MB即-1,-2=5-2λ,1-λ，
即-1=5-2λ-2=1-λ，解得λ=3，所以M6,3
（3）由題意得MA?MB=3-2λ,3-λ?5-2λ,1-λ =3-2λ?5-2λ+3-λ?1-λ =5λ2-20λ+18=5λ-22-2，
所以當λ=2時，MA?MB取得最小值-2
16．（2023秋·廣西欽州·高三?？茧A段練習）已知向量a=1,2，b=-3,4.
(1)求a+b與a-b的夾角：
(2)若c滿足c⊥a+b，c+a//b，求c的坐標.
【答案】(1)3π4；
(2)c=-2,-23.
【分析】（1）根據向量的坐標運算得出a+b、a-b，進而得到它們的模，根據數量積運算公式即可得出夾角的余弦值；
（2）設c=x,y，表示出a+c=x+1,y+2.根據向量垂直以及平行的坐標表示可得出-2x+6y=04x+3y+10=0，解方程組即可得出結果.
【解析】（1）解：設a+b與a-b的夾角為θ.
由已知可得a+b=-2,6，a-b=4,-2，
則a+b=-22+62=210，a-b=42+-22=25，a+b?a-b=-2×4+6×-2=-20，
所以cosθ=a+b?a-ba+ba-b =-20210×25=-22，
又θ∈0,π，所以θ=3π4，
所以a+b與a-b的夾角為3π4.
（2）解：設c=x,y，則a+c=x+1,y+2.
由（1）知a+b=-2，6，又c⊥a+b，
所以c?a+b=-2x+6y=0.
又c+a//b，所以4x+1--3y+2=4x+3y+10=0.
聯(lián)立-2x+6y=04x+3y+10=0可得，x=-2y=-23，
所以c=-2,-23.
17．（2022春·上海寶山·高一上海交大附中?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，AC=2，AB=4．點D在邊BC上，且CD=tCB．

(1)t=12，A=2π3，求AD；
(2)t=15，AD恰為BC邊上的高，求角A；
(3)AD=3，求t的取值范圍．
【答案】(1)3；(2)π2；(3)12