?題型1　規(guī)律探索型問題

對(duì)于規(guī)律探索題型常常會(huì)有一定的通式或循環(huán)規(guī)律，解題時(shí)一般先列出前幾項(xiàng)，找出規(guī)律或通式求解.1.?？碱愋停孩贁?shù)字規(guī)律探索；②數(shù)式規(guī)律探索；③圖形規(guī)律探索；④坐標(biāo)系中圖形規(guī)律探索；⑤與函數(shù)圖象相關(guān)的規(guī)律探索.2.考查形式與題型：一般都是給出一列數(shù)字或者圖形，求其第n個(gè)數(shù)字、第n個(gè)式子或第n個(gè)圖形或求末位數(shù)值；題型為選擇、 填空.

類型一　數(shù)字規(guī)律探索
1.觀察下列等式：71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，76＝117649，…，那么：71＋72＋73＋…＋72016的末位數(shù)字是(　　)
A. 9　　　　　　B. 7　　　　　　C. 6　　　　　　D. 0
2.按一定規(guī)律排列的一列數(shù)：，1，1，，，，，…，請(qǐng)你仔細(xì)觀察，按照此規(guī)律方框內(nèi)的數(shù)字應(yīng)為________．
3.觀察下列等式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，….試猜想，32016的個(gè)位數(shù)字是________．
類型二　數(shù)式規(guī)律探索
4. “數(shù)學(xué)是將科學(xué)現(xiàn)象升華到科學(xué)本質(zhì)認(rèn)識(shí)的重要工具”．比如在化學(xué)中，甲烷的化學(xué)式是CH4，乙烷的化學(xué)式是C2H6，丙烷的化學(xué)式是C3H8，…，設(shè)碳原子的數(shù)目為n(n為正整數(shù))，則它們的化學(xué)式都可用下列哪個(gè)式子來(lái)表示(　　)
A. CnH2n＋2 B. CnH2n C. CnH2n－2 D. CnHn＋3
5.古希臘數(shù)學(xué)家把數(shù)1，3，6，10，15，21，……叫做三角形數(shù)，它有一定的規(guī)律性．若把第一個(gè)三角形數(shù)記為x1，第二個(gè)三角形數(shù)記為x2，…，第n個(gè)三角形數(shù)記為xn，則xn＋xn＋1＝________．
6.觀察下列等式：
1＋2＋3＋4＋…＋n＝n(n＋1)；
1＋3＋6＋10＋…＋n(n＋1)＝n(n＋1)(n＋2)
1＋4＋10＋20＋…＋n(n＋1)(n＋2)＝n(n＋1)(n＋2)(n＋3);
則有：1＋5＋15＋35＋…＋n(n＋1)(n＋2)(n＋3)＝________．
類型三　圖形規(guī)律探索
7.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，其面積標(biāo)記為S1，以CD為斜邊作等腰直角三角形，以該等腰直角三角形的一條直角邊為邊向外作正方形，其面積標(biāo)記為S2，…，按照此規(guī)律繼續(xù)下去，則S9的值為(　　)
A. ()6 B. ()7 C. ()6 D. ()7




第7題圖 第8題圖 第9題圖
8.如圖，在矩形ABCD中，已知AB＝4，BC＝3，矩形在直線l上繞其右下角的頂點(diǎn)B向右旋轉(zhuǎn)90°至圖①位置，再繞右下角的頂點(diǎn)繼續(xù)向右旋轉(zhuǎn)90°至圖②位置，…，依次類推，這樣連續(xù)旋轉(zhuǎn)2015次后，頂點(diǎn)A在整個(gè)旋轉(zhuǎn)過程中所經(jīng)過的路程之和是(　　)
A. 2015π B. 3019.5π C. 3018π D. 3024π
9.將一些相同的“○”按如圖所示的規(guī)律依次擺放，觀察每個(gè)“龜圖”中“○”的個(gè)數(shù)，若第n個(gè)“龜圖”中有245個(gè)“○”，則n＝________．
10.如圖，△ABC的面積為1，第一次操作：分別延長(zhǎng)AB，BC，CA至點(diǎn)A1，B1，C1，使A1B＝AB，B1C＝BC，C1A＝CA，順次連接A1，B1，C1，得到△A1B1C1，第二次操作，分別延長(zhǎng)A1B1，B1C1，C1A1至點(diǎn)A2，B2，C2，使A2B1＝A1B1，B2C1＝B1C1，C2A1＝C1A1，順次連接A2，B2，C2，得到△A2B2C2，…，按此規(guī)律，要使得到的三角形的面積超過2016，最少經(jīng)過________次操作．




第10題圖 第11題圖 第12題圖
11.如圖，∠MON＝60°，作邊長(zhǎng)為1的正六邊形A1B1C1D1E1F1，邊A1B1、F1E1分別在射線OM、ON上，邊C1D1所在的直線分別交OM、ON于點(diǎn)A2、F2，以A2F2為邊作正六邊形A2B2C2D2E2F2，邊C2D2所在的直線分別交OM、ON于點(diǎn)A3、F3，再以A3F3為邊作正六邊形A3B3C3D3E3F3，…，依此規(guī)律，經(jīng)第n次作圖后，點(diǎn)Bn到ON的距離是________．
類型四　坐標(biāo)中的圖形規(guī)律探索
12.如圖，已知菱形OABC的頂點(diǎn)O(0，0)，B(2，2)，若菱形繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每秒旋轉(zhuǎn)45°，則第60秒時(shí)，菱形的對(duì)角線交點(diǎn)D的坐標(biāo)為(　　)
A. (1，－1) B. (－1，－1) C. (，0) D. (0，－)
13.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長(zhǎng)為1的正方形OA1B1C1的兩邊在坐標(biāo)軸上，以它的對(duì)角線OB1為邊作正方形OB1B2C2，再以正方形OB1B2C2的對(duì)角線OB2為邊作正方形OB2B3C3，依次類推…，則正方形OB2015B2016C2016的頂點(diǎn)B2016的坐標(biāo)是________．





第13題圖 第14題圖 第15題圖
14.如圖，點(diǎn)A1的坐標(biāo)為(1，0)，A2在y軸的正半軸上，且∠A1A2O＝30°，過點(diǎn)A2作A2A3⊥A1A2，垂足為A2，交x軸于點(diǎn)A3；過點(diǎn)A3作A3A4⊥A2A3，垂足為A3，交y軸于點(diǎn)A4；過點(diǎn)A4作A4A5⊥A3A4，垂足為A4，交x軸于點(diǎn)A5；過點(diǎn)A5作A5A6⊥A4A5，垂足為A5，交y軸于點(diǎn)A6，…，按此規(guī)律進(jìn)行下去，則點(diǎn)A2016的縱坐標(biāo)為____________．
15.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形AOCB的兩邊OA、OC分別在x軸和y軸上，且OA＝2，OC＝1.在第二象限內(nèi)，將矩形AOCB以原點(diǎn)O為位似中心放大為原來(lái)的倍，得到矩形A1OC1B1，再將矩形A1OC1B1以原點(diǎn)O為位似中心放大倍，得到矩形A2OC2B2…，依此規(guī)律，得到的矩形AnOCnBn的對(duì)角線交點(diǎn)的坐標(biāo)為________．
16.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，△A7A8A9，…，都是等邊三角形，且點(diǎn)A1，A3，A5，A7，A9的坐標(biāo)分別為A1(3，0)，A3(1，0)，A5(4，0)，A7(0，0)，A9(5，0)，依據(jù)圖形所反映的規(guī)律，則A100的坐標(biāo)為________．
類型五　與函數(shù)圖象相關(guān)的規(guī)律探索
17.如圖，在坐標(biāo)軸上取點(diǎn)A1(2，0)，作x軸的垂線與直線y＝2x交于點(diǎn)B1，作等腰直角三角形A1B1A2；又過點(diǎn)A2作x軸的垂線與直線y＝2x交于點(diǎn)B2，作等腰直角三角形A2B2A3；…，如此反復(fù)作等腰直角三角形，當(dāng)作到An(n為正整數(shù))點(diǎn)時(shí)，則An的坐標(biāo)是________．






第16題圖 第17題圖 第18題圖
18.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將△ABO繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△A1BO1的位置，使點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A1落在直線y＝x上，再將△A1BO1繞點(diǎn)A1順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△A1B1O2的位置，使點(diǎn)O1的對(duì)應(yīng)點(diǎn)O2落在直線y＝x上，依次進(jìn)行下去…. 若點(diǎn)A的坐標(biāo)是(0，1)，點(diǎn)B的坐標(biāo)是(，1)，則點(diǎn)A8的橫坐標(biāo)是________．



答案與解析：
類型一　數(shù)字規(guī)律探索
1. D　【解析】根據(jù)題意，7的冪次方最終結(jié)果的末位數(shù)字是7，9，3，1這樣的循環(huán)，其和的末位數(shù)字是0，因?yàn)?016＝504×4，所以71＋72＋73＋…＋72016的末位數(shù)字是0.
2. 1　【解析】將原來(lái)的一列數(shù)變形為，，，□，，，，…通過觀察可以得出分子依次為從小到大排列的連續(xù)奇數(shù)，分母是依次從小到大排列的質(zhì)數(shù)，故方框內(nèi)填，故答案為1.
3. 1　【解析】從前幾個(gè)3的冪次方結(jié)果來(lái)看，它的個(gè)位數(shù)字依次是3，9，7，1，第5個(gè)數(shù)跟第一個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)字相同，于是3的整數(shù)次冪是每四個(gè)數(shù)一個(gè)循環(huán)，2016÷4＝504，于是32016的個(gè)位數(shù)字與34的個(gè)位數(shù)字相同，即為1.
類型二　數(shù)式規(guī)律探索
4. A　【解析】由H的下標(biāo)可得第1個(gè)是4，第二個(gè)為6，第三個(gè)為8，所以第n個(gè)為2n＋2，由C的下標(biāo)可得第1個(gè)是1，第二個(gè)是2，…，所以碳原子的數(shù)目為n時(shí)，化學(xué)式為CnH2n＋2.
5. (n＋1)2或n2＋2n＋1　【解析】∵x1＋x2＝1＋3＝4＝22，x2＋x3＝3＋6＝9＝32，x3＋x4＝6＋10＝16＝42，x4＋x5＝10＋15＝25＝52，x5＋x6＝15＋21＝36＝62，∴xn＋xn＋1＝(n＋1)2＝n2＋2n＋1.
6. n(n＋1)(n＋2)(n＋3)(n＋4)　【解析】觀察所給等式可以發(fā)現(xiàn)，第一個(gè)等式的右邊系數(shù)為＝1×，因式為n(n＋1)；第二個(gè)等式的右邊系數(shù)為＝×，因式為n(n＋1)(n＋2)；第三個(gè)等式的右邊系數(shù)為＝×，因式為n(n＋1)(n＋2)(n＋3)，所以第四個(gè)等式的右邊系數(shù)為×＝，因式為n(n＋1)(n＋2)(n＋3)(n＋4)，結(jié)果為n(n＋1)(n＋2)(n＋3)(n＋4)．
類型三　圖形規(guī)律探索
7. A　【解析】由題意得：S1＝22＝()－2，S2＝()2＝()－1，S3＝(1)2＝()0，S4＝()2＝()1，…，S9＝()9－3＝()6.故選A.
8. D　【解析】本題考查旋轉(zhuǎn)規(guī)律探索和弧長(zhǎng)公式．在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，由勾股定理得：AC＝＝5，畫出經(jīng)過旋轉(zhuǎn)六次后點(diǎn)A經(jīng)過的路線，由題圖可知經(jīng)過第①次旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)過的路程是以B為圓心，AB長(zhǎng)為半徑，圓心角為90°的；經(jīng)過第②次旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)過的路程是以AC長(zhǎng)為半徑，圓心角為90°的；經(jīng)過第③次旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)過的路程是以AD長(zhǎng)為半徑，圓心角為90°的；第④次旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)A在直線上不變化；經(jīng)過第⑤次旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)過的路程與第①次旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)過的路程一致. 故點(diǎn)A每經(jīng)過四次旋轉(zhuǎn)后，重復(fù)前四次旋轉(zhuǎn)的路程．∵2015÷4＝503……3，∴點(diǎn)A經(jīng)過的路程正好是503個(gè)前四次運(yùn)動(dòng)的路程和再加上一個(gè)前三次運(yùn)動(dòng)的路程和，即一共是504個(gè)前三次運(yùn)動(dòng)的路程和．由弧長(zhǎng)公式得的長(zhǎng)為πAB＝2π，的長(zhǎng)為πAC＝π；的長(zhǎng)為πAD＝π，∴經(jīng)過2015次旋轉(zhuǎn)后，點(diǎn)A經(jīng)過的路程為504×(2π＋π＋π)＝3024π.
9. 16　【解析】根據(jù)題意得：第1個(gè)圖形中小圓的個(gè)數(shù)為5，第2個(gè)圖形中小圓的個(gè)數(shù)為7，第3個(gè)圖形中小圓的個(gè)數(shù)為11，得出第n個(gè)圖形中小圓的個(gè)數(shù)為n(n－1)＋5.據(jù)此可以求出“龜圖”中有245個(gè)“○”時(shí)n的值．方法①：第1個(gè)圖形有：5個(gè)○，第2個(gè)圖形有：2×(2－1)＋5＝7個(gè)○，第3個(gè)圖形有：3×(3－1)＋5＝11個(gè)○，第4個(gè)圖形有：4×(4－1)＋5＝17個(gè)○，…，據(jù)此得出：第n個(gè)圖形有：n(n－1)＋5個(gè)○，則可得方程n(n－1)＋5＝245，解得n1＝16，n2＝－15(不合題意，舍去)．故答案為：16.方法②：設(shè)y＝an2＋bn＋c，根據(jù)題意得，解得，∴y＝n2－n＋5.當(dāng)y＝245時(shí)，可得：n2－n＋5＝245.
10. 四　【解析】△ABC與△A1BB1的底相等(AB＝A1B)，高為1∶2(BB1＝2BC)，故面積比為1∶2，∵S△ABC＝1，∴S△A1BB1＝2.同理可得，S△C1B1C＝2，S△AA1C1＝2，∴S△A1B1C1＝S△C1B1C＋S△AA1C1＋S△A1B1B＋S△ABC＝2＋2＋2＋1＝7，同理可證：S△A2B2C2＝7S△A1B1C1＝49，第三次操作后的面積為7×49＝343，第四次操作后的面積為7×343＝2401.故按此規(guī)律，要使得到的三角形的面積超過2016，最少經(jīng)過四次操作．
11. 3n－1　【解析】由題可知，∠MON＝60°，不妨設(shè)Bn到ON的距離為hn，∵正六邊形A1B1C1D1E1F1的邊長(zhǎng)為1，則A1B1＝1，易知△A1OF1為等邊三角形，∴A1B1＝OA1＝1，∴OB1＝2，則h1＝2×＝，又OA2＝A2F2＝A2B2＝3，∴OB2＝6，則h2＝6×＝3，同理可求：OB3＝18，則h3＝18×＝9，…，依此可求：OBn＝2×3n－1，則hn＝2×3n－1×＝3n－1，∴Bn到ON的距離hn＝3n－1.
類型四　坐標(biāo)中的圖形規(guī)律探索
12. B　【解析】∵菱形OABC的頂點(diǎn)O(0，0)，點(diǎn)B的坐標(biāo)是(2，2)，∴BO與x軸的夾角為45°，∵菱形的對(duì)角線互相垂直平分，∴點(diǎn)D 是線段OB的中點(diǎn)，∴點(diǎn)D 的坐標(biāo)是(1，1)，∵菱形繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每秒旋轉(zhuǎn)45°，360°÷45°＝8，∴每旋轉(zhuǎn)8秒，菱形的對(duì)角線交點(diǎn)就回到原來(lái)的位置(1，1)，∵60÷8＝7……4，∴第60秒時(shí)菱形繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)了7周回到原來(lái)位置后，又旋轉(zhuǎn)了4秒，即又旋轉(zhuǎn)了4×45°＝180°，∴點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在第三象限，且對(duì)應(yīng)點(diǎn)與點(diǎn)D關(guān)于原點(diǎn)O成中心對(duì)稱，∴第60秒時(shí)，菱形的對(duì)角線交點(diǎn)D的坐標(biāo)為(－1，－1)．
13. (21008，0)　【解析】點(diǎn)B的位置依次落在第一象限、y軸正半軸、第二象限、x軸負(fù)半軸、第三象限、y軸負(fù)半軸、第四象限、x軸正半軸，…，每8次一循環(huán).2016÷8＝252，所以點(diǎn)B2016落在x軸正半軸，故B2016的縱坐標(biāo)是0；OBn是正方形的對(duì)角線，OB1＝，OB2＝2＝()2，OB3＝2＝()3，…，所以O(shè)B2016＝()2016＝21008，所以點(diǎn)B2016的坐標(biāo)為(21008，0)．
14. －31007 　【解析】∵A1(1，0)，∠A1A2O＝30°，∴A2(0，)，∵A3A2⊥A1A2 ，∴∠A3A2O＝60°，∴∠A2A3O＝30°， ∴A3(－3，0)，同理：A4(0，－3)，A5(9，0)，A6(0，9)，A7(－27，0)，A8(0，－27)，…，即：A2(0，)，A4(0，－3)，A6(0，9)，A8(0，－27)，列表如下：
A2
×(－3)0
…
(2－2)÷2＝0
A4
×(－3)1
…
(4－2)÷2＝1
A6
×(－3)2
…
(6－2)÷2＝2
A8
×(－3)3
…
(8－2)÷2＝3
A2016
×(－3)n
…
(2016－2)÷2＝n
∴n＝1007，∴A2016的縱坐標(biāo)是－31007.
15. (－，)　【解析】在矩形OABC中，OA＝2，OC＝1，∴A(－2，0)，C(0，1)，∴對(duì)角線的交點(diǎn)為(－1，)，將矩形OABC以原點(diǎn)O為位似中心，放大為原來(lái)的倍，∴矩形A1OC1B1對(duì)角線的交點(diǎn)為(－，)，即(－，×)，繼續(xù)放大為原來(lái)的倍，∴矩形A2OC2B2對(duì)角線的交點(diǎn)為(－，)，即(－，×)，…，依次類推，∴矩形AnOCnBn對(duì)角線的交點(diǎn)為(－，)．

第16題解圖
16. (，－)　【解析】如解圖，繼續(xù)排列圖形如下，觀察發(fā)現(xiàn)，A1、A5、A9、…、A4n－3在點(diǎn)(2，0)的右側(cè)，A3、A7、A11、…、A4n－1在點(diǎn)(2，0)的左側(cè)，A2、A6、A10、…、A4n－2在第一象限，A4、A8、A12、…、A4n在第四象限，∴A100在第四象限，進(jìn)一步觀察發(fā)現(xiàn)：①A4、A8、A12、A4n的橫坐標(biāo)都為，②A4n所在等邊三角形邊長(zhǎng)為2n＋1，可求得A100所在等邊三角形邊長(zhǎng)為2×25＋1＝51，進(jìn)一步可求點(diǎn)A100的縱坐標(biāo)為－(×51)＝－，從而解得A100的坐標(biāo)為(，－)．
類型五　與函數(shù)圖象相關(guān)的規(guī)律探索
17. (2×3n－1，0)　【解析】∵A1(2，0)＝(2×30，0)，且A1B1⊥x軸，與直線y＝2x交于點(diǎn)B1，∴B1(2，4)，∵作等腰直角三角形△A1B1A2是等腰直角三角形，∴A2(6，0)＝(2×31，0)，∵A2B2⊥x軸，且與直線y＝2x交于點(diǎn)B2，∴B2(6，12)，∴A3(18，0)＝(2×32，0)，如此反復(fù)作等腰直角三角形，An(2×3n－1，0)．
18. 6＋6　【解析】由A點(diǎn)的坐標(biāo)得OA＝1，由B點(diǎn)的坐標(biāo)得OB＝2，則AB＝，由圖象得直線OB與x軸的正方向的夾角為30°，于是A1的橫坐標(biāo)為：OA1·cos30°＝(2＋)×；A2的橫坐標(biāo)為：OO2·cos30°＝(2＋＋1)×；A3的橫坐標(biāo)為：OA3·cos30°＝(2＋＋1＋2＋)×；A4的橫坐標(biāo)為：(2＋＋1＋2＋＋1)×；…，于是A8的橫坐標(biāo)為：(2＋＋1＋2＋＋1＋2＋＋1＋2＋＋1)×＝6＋6.

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