?圖形的認(rèn)識(shí)階段測(cè)評(píng)
一、選擇題
1.對(duì)下列生活現(xiàn)象的解釋其數(shù)學(xué)原理運(yùn)用錯(cuò)誤的是(　　)
A. 把一條彎曲的道路改成直道可以縮短路程是運(yùn)用了“兩點(diǎn)之間線段最短”的原理
B. 木匠師傅在刨平的木板上任選兩個(gè)點(diǎn)就能畫(huà)出一條筆直的墨線是運(yùn)用了“直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中，垂線段最短”的原理
C. 將自行車的車架設(shè)計(jì)為三角形形狀是運(yùn)用了“三角形的穩(wěn)定性”的原理
D. 將車輪設(shè)計(jì)為圓形是運(yùn)用了“圓的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性”的原理
2.如圖，AD、BE、CF是正六邊形ABCDEF的對(duì)角線，圖中平行四邊形的個(gè)數(shù)有(　　)
A. 2個(gè)　　　　B. 4個(gè)　　　　C. 6個(gè)　　　　D. 8個(gè)
第2題圖
　　第3題圖
　　第4題圖


3.如圖，已知∠AOB＝30°，P是∠AOB平分線上一點(diǎn)，CP∥OB，交OA于點(diǎn)C，PD⊥OB，垂足為點(diǎn)D，且PC＝4，則PD等于(　　)
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
4.如圖，點(diǎn)D，E分別在線段AB，AC上，CD與BE相交于O點(diǎn)，已知AB＝AC，現(xiàn)添加以下的哪個(gè)條件仍不能判定△ABE≌△ACD(　　)
A. ∠B＝∠C B. AD＝AE C. BD＝CE D. BE＝CD
5.已知下列命題：
①若a>b，則a2>b2；
②若a>1，則(a－1)0＝1；
③兩個(gè)全等的三角形的面積相等；
④四條邊相等的四邊形是菱形．
其中原命題與逆命題均為真命題的個(gè)數(shù)是(　　)
A. 4個(gè) B. 3個(gè) C. 2個(gè) D. 1個(gè)
6.如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6.若DE是△ABC的中位線，延長(zhǎng)DE交△ABC的外角∠ACM的平分線于點(diǎn)F，則線段DF的長(zhǎng)為(　　)
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
第6題圖
　　第7題圖
　　第8題圖


7.如圖，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于點(diǎn)F，D為AB的中點(diǎn)，連接DF并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)E.若AB＝10，BC＝16，則線段EF的長(zhǎng)為(　　)
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
8.如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，⊙O的半徑為2，∠B＝135°，則的長(zhǎng)是(　　)
A. 2π B. π C. D.
9.如圖，長(zhǎng)4 m的樓梯AB的傾斜角∠ABD為60°，為了改善樓梯的安全性能，準(zhǔn)備重新建造樓梯，使其傾斜角∠ACD為45°，則調(diào)整后的樓梯AC的長(zhǎng)為(　　)
A. 2 m B. 2 m C. (2－2) m D. (2－2) m


第9題圖 第10題圖 第11題圖

10.如圖，已知AC是⊙O的直徑，點(diǎn)B在圓周上(不與A，C重合)，點(diǎn)D在AC的延長(zhǎng)線上，連接BD交⊙O于點(diǎn)E，若∠AOB＝3∠ADB，則(　　)
A. DE＝EB B. DE＝EB C. DE＝DO D. DE＝OB
11.如圖，在△ABC中，∠B＝∠C＝36°，AB的垂直平分線交BC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)H，AC的垂直平分線交BC于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)G，連接AD，AE，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是(　　)
A. ＝ B. AD，AE將∠BAC三等分 C. △ABE≌△ACD D. S△ADH＝S△CEG
二、填空題
12.如圖，Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的中線，已知CD＝2，AC＝3，則cosA＝________
13.設(shè)I為△ABC的外心，若∠BIC＝100°，則∠A的度數(shù)為_(kāi)_______．
14.如圖，在平行四邊形ABCD中，∠BAD的平分線AE交BC于點(diǎn)E，且BE＝3，若平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)是16，則EC等于________．




第12題圖 第14題圖 第15題圖 第16題圖
15.如圖，CD為⊙O的弦，直徑AB為4，AB⊥CD于E，∠A＝30°，則的長(zhǎng)為_(kāi)_______(結(jié)果保留π)．
16.如圖，⊙O的弦AB、CD相交于點(diǎn)E，若CE∶BE＝2∶3，則AE∶DE＝________.
17.如圖，在正方形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，E為BC上一點(diǎn)，CE＝5，F(xiàn)為DE的中點(diǎn)．若△CEF的周長(zhǎng)為18，則OF的長(zhǎng)為_(kāi)_______．


第17題圖 第18題圖 第19題圖

18.如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BD，垂足為點(diǎn)E.若∠EAC＝2∠CAD，則∠BAE＝________度．
19.如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊CD，BC上，且DC＝3DE＝3a，將矩形沿直線EF折疊，使點(diǎn)C恰好落在AD邊上的點(diǎn)P處，則FP＝________.
20. (2016西寧)⊙O的半徑為1，弦AB＝，弦AC＝，則∠BAC度數(shù)為_(kāi)_______．
三、解答題
21.如圖，在辦公樓AB和實(shí)驗(yàn)樓CD之間有一旗桿EF，從辦公樓AB頂部A點(diǎn)處經(jīng)過(guò)旗桿頂部E點(diǎn)恰好看到實(shí)驗(yàn)樓CD的底部D點(diǎn)，且俯角為45°，從實(shí)驗(yàn)樓CD頂部C點(diǎn)處經(jīng)過(guò)旗桿頂部E點(diǎn)恰好看到辦公樓AB的G點(diǎn)，BG＝1米，且俯角為30°，已知旗桿EF＝9米，求辦公樓AB的高度．(結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73)











22.如圖①，將矩形ABCD沿DE折疊，使頂點(diǎn)A落在DC上的點(diǎn)A′處，然后將矩形展平，沿EF折疊，使頂點(diǎn)A落在DE上的點(diǎn)G處，再將矩形ABCD沿CE折疊，此時(shí)頂點(diǎn)B恰好落在DE上的點(diǎn)H處，如圖②.
(1)求證：EG＝CH;
(2)已知AF＝，求AD和AB的長(zhǎng)．












23.已知：如圖，在?ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊AD，BC上的點(diǎn)，且AE＝CF，直線EF分別交BA的延長(zhǎng)線、DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，H，交BD于點(diǎn)O.
(1)求證：△ABE≌△CDF；
(2)連接DG，若DG＝BG，則四邊形BEDF是什么特殊四邊形？請(qǐng)說(shuō)明理由．

















24.如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上的一點(diǎn)，直線MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)A作直線MN的垂線，垂足為點(diǎn)D，且AC平分∠BAD.
(1)求證：直線MN是⊙O的切線；
(2)若AD＝4，AC＝5，求⊙O的直徑．















25.如圖，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分線，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，延長(zhǎng)DA交△ABC的外接圓于點(diǎn)F，連接FB，F(xiàn)C.
(1)求證：∠FBC＝∠FCB；
(2)已知FA·FD＝12，若AB是△ABC外接圓的直徑，F(xiàn)A＝2，求CD的長(zhǎng)．














26.如圖，正方形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，延長(zhǎng)CB至點(diǎn)F，使CF＝CA，連接AF，∠ACF的平分線分別交AF，AB，BD于點(diǎn)E，N，M，連接EO.
(1)已知EO＝，求正方形ABCD的邊長(zhǎng)；
(2)猜想線段EM與CN的數(shù)量關(guān)系并加以證明．








1. B　2. C

　　　第3題解圖
3. B　【解析】如解圖，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥OB于點(diǎn)E，∵CP∥OB，∴∠CPO＝∠BOP，∵P是∠AOB平分線上一點(diǎn)，∴∠AOP＝∠BOP，∴∠COP＝∠CPO，∴OC＝CP＝4，∵∠AOB＝30°，∴PD＝CE＝OC＝2.
4. D
5. D　【解析】①當(dāng)a＝2，b＝－3時(shí)，有a＞b，但a2＜b2，∴原命題為假命題，它的逆命題為：若a2>b2，則a>b，當(dāng)a＝－4，b＝－3時(shí)，有a2＞b2，但a＜b，∴逆命題是假命題，應(yīng)為若a2>b2，則|a|>|b|；②原命題為真命題，它的逆命題為：若(a－1)0＝1，則a>1，是假命題，應(yīng)為若(a－1)0＝1，則a≠1；③原命題為真命題，它的逆命題為：面積相等的兩個(gè)三角形全等，是假命題，如三角形被中線分得的兩個(gè)三角形面積相等，但它們不一定全等；④原命題為真命題，它的逆命題為：菱形的四條邊都相等，是真命題，綜上原命題與逆命題均為真命題的只有④，故選D.
6. B　【解析】∵∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，∴AC＝＝10，∵DE是△ABC的中位線，∴DE∥BC，DE＝BC＝3，∵CF平分∠ACM，∴∠ACF＝∠MCF，又∵DE∥BC，∴∠EFC＝∠MCF，∴∠EFC＝∠ACF，∴EF＝CE＝AC＝5，∴DF＝DE＋EF＝3＋5＝8.
7. B　【解析】∵AF⊥BF，D是AB邊上的中點(diǎn)，∴DF＝BD＝AB＝5，∴∠DBF＝∠DFB，∵BF平分∠ABC，∴∠DBF＝∠CBF＝∠BFD，∴DE∥BC，∴DE是△ABC的中位線，∴DE＝BC＝8，∴EF＝DE－DF＝8－5＝3.


第8題解圖
8. B　【解析】如解圖，連接OA，OC，∵∠B＝135°，∴∠D＝180°－135°＝45°，∴∠AOC＝2∠D＝90°，∴l(xiāng)＝＝π.
9. B　【解析】在Rt△ABD中，由sin∠ABD＝得AD＝AB·sin∠ABD＝4×sin60°＝2(m)；在Rt△ACD中，由sin∠ACD＝得AC＝＝＝2(m)．

　　　　　第10題解圖
10. D　【解析】如解圖，連接OE，則∠OBE＝∠OEB，∵∠AOB＝∠OBE＋∠ADB, ∠AOB＝3∠ADB，∴∠OBE＝ 2∠ADB，∴∠OEB＝2∠ADB，∵∠OEB＝∠D＋∠DOE，∴∠D＝∠DOE，∴DE＝OE＝OB，D選項(xiàng)正確；若EB＝OE＝OB，即△OBE是等邊三角形，∴A選項(xiàng)不一定成立；若∠BOE＝90°，即△OBE是等腰直角三角形時(shí)，BE＝OE，即DE＝EB，∴B選項(xiàng)不一定成立；若DE＝DO，則OD＝OE＝OB，題中條件不滿足，∴C選項(xiàng)不一定成立，故選D.

第11題解圖
11. A　【解析】由DH為AB的垂直平分線，EG為AC的垂直平分線，可得BD＝DA，AE＝EC，則∠B＝∠BAD＝36°，∠C＝∠CAE＝36°，則∠ADE＝∠B＋∠BAD＝72°，∠AED＝∠C＋∠CAE＝72°，如解圖，作∠ADE的平分線DM，∴∠ADM＝∠MDE＝36°，又∵∠DAM＝180°－∠ADE－∠AED＝36°，∴∠ADM＝∠DAM，∴MA＝MD，又∵∠AED＝72°，∴∠DME＝180°－∠AED－∠MDE＝72°，∴∠DME＝∠DEM，∴DM＝DE＝AM，又∵∠ADE＝∠AED＝72°，∴AD＝AE，∴BD＝DA＝AE＝EC，設(shè)BD＝DA＝AE＝EC＝x，DM＝DE＝AM＝a，則ME＝x－a，∵∠DAE＝∠MDE＝36°，∠ADE＝∠DME＝72°，∴△ADE∽△DME，∴AD∶DM＝DE∶ME，∴x∶a＝a∶(x－a)，∴a2＋ax－x2＝0，∴a1＝，a2＝＜0(舍去)，∴BC＝BD＋DE＋EC＝x＋＋x＝，∴BD∶BC＝x∶＝，∴A選項(xiàng)錯(cuò)誤；∵∠BAD＝∠DAE＝∠CAE＝36°，∴AD、AE將∠BAC三等分，∴B選項(xiàng)正確；∵∠BAD＝∠DAE＝∠CAE＝36°，∴∠BAE＝∠CAD＝72°，又∵∠B＝∠C，∴AB＝AC，在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD(ASA)，∴C選項(xiàng)正確；∵DH垂直平分AB，∴AB＝2AH，∠AHD＝90°，∵EG垂直平分AC，∴AC＝2CG，∠CGE＝90°，又AB＝AC，∴AH＝CG，在△ADH和△CEG中，，∴△ADH≌△CEG，∴S△ADH＝S△CEG，∴D選項(xiàng)正確．
12. 　【解析】在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的中線，CD＝2，∴AB＝4，∴cosA＝＝.
13. 50°或130°　【解析】當(dāng)三角形的外心在三角形的內(nèi)部時(shí)，則∠A＝∠BIC＝50°；當(dāng)三角形的外心在三角形的外部時(shí)，則∠A＝180°－∠BIC＝130°.
14. 2　【解析】∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，AB＝CD，AD∥BC，∴∠DAE＝∠BEA，∵AE平分∠BAD，∴∠DAE＝∠BAE，∴∠BEA＝∠BAE，∴AB＝BE，∵平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)是16，∴AD＋AB＝8，又∵AB＝BE＝3，∴AD＝5，即BC＝5，∴CE＝BC－BE＝5－3＝2.
15. π　【解析】∵AB⊥CD，AB為⊙O的直徑，∴＝，∴∠BOC＝2∠A＝60°，又∵AB＝4，∴OC＝AB＝2，∴的長(zhǎng)為：＝π.
16. 2∶3　【解析】根據(jù)同弧所對(duì)圓周角相等可得：∠A＝∠D，∠C＝∠B，∴△ACE∽△DBE，∴＝＝.
17. 3.5　【解析】∵四邊形ABCD是正方形，∴BC＝CD，∠BCD＝90°，在Rt△ECD中，∵F是DE的中點(diǎn)，∴EF＝FC＝FD，由△CEF的周長(zhǎng)為18，CE＝5知EF＝CF＝＝6.5，∴DE＝13，在Rt△ECD中，根據(jù)勾股定理知BC＝DC＝12, ∴BE＝7，∵OF是△BED的中位線，∴OF＝BE＝3.5.
18. 22.5　【解析】∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，AC＝BD，∴OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠EAC＝2∠CAD＝2∠ODA，∵AE⊥BD，∴∠AEB＝90°，∴∠EAC＋∠CAD＋∠ODA＝90°，∴4∠ODA＝90°，∴∠ODA＝22.5°，∴∠BAE＝90°－∠EAD＝90°－3∠ODA＝22.5°.

第19題解圖
19. 2a　【解析】如解圖，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AD于點(diǎn)G ，由題意知DE＝a，PE＝CE＝2a，∴∠DPE＝30°，∠GPF＝60°，由四邊形FGDC是矩形，得FG＝3a，在Rt△FGP中，可得FP＝＝＝2a.

第20題解圖
20. 15°或75°　【解析】①當(dāng)AB、AC在圓心O同側(cè)時(shí)，如解圖，連接OA，過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AC于點(diǎn)D，作OE⊥AB于點(diǎn)E，則AD＝AC＝，AE＝AB＝，在Rt△AOD中，cos∠OAD＝＝，∴∠OAD＝30°，同理在Rt△OAE中，∠OAE＝45°，∴∠BAC＝∠OAE－∠OAD＝15°；②當(dāng)AC、AB′在圓心O兩側(cè)時(shí)，如解圖，同理可得∠B′AC＝∠OAE′＋∠OAD＝75°.
21. 解：如解圖，過(guò)E作EH⊥AB于H，
則∠AEH＝45°，∠GEH＝30°，

第21題解圖
∴AH＝HE，BH＝EF，
∴HG＝9－1＝8(米)，
在Rt△HEG中，HE＝＝＝8(米)，
∴AB＝AH＋HB＝HE＋HB＝8＋9≈23(米)．
22. (1)【思路分析】第一次折疊后得到正方形AEA′D，所以AE＝GE＝AD＝CB＝CH.
證明：在矩形ABCD中，AD＝BC，∠A＝∠B＝∠BCD＝∠ADC＝90°，
∵ A點(diǎn)與A′點(diǎn)關(guān)于DE所在的直線對(duì)稱，
∴∠ADE＝∠A′DE＝45°，AD＝A′D，
∴四邊形AEA′D為正方形，
∴AD＝AE，
∴AE＝BC.
∵CH與CB關(guān)于直線CE對(duì)稱，AE與GE關(guān)于直線EF對(duì)稱，
∴CH＝BC，AE＝GE，
∴EG＝CH.
(2)【思路分析】由折疊的性質(zhì)可知△DGF為等腰直角三角形，所以AF＝FG＝DF，所以DF＝2，AD＝2＋，由△AFE≌△BEC，得BE＝AF＝，所以AB＝2＋2.
解：由折疊的性質(zhì)可知：∠AEF＝∠GEF，∠CEH＝∠CEB，
∵∠AEF＋∠GEF＋∠CEH＋∠CEB＝180°，
∴∠AEF＋∠CEB＝∠CEB＋∠BCE＝90°，
∴∠AEF＝∠BCE.
由(1)知CB＝AE，∠A＝∠B＝90°，
∴ △AEF≌△BCE(ASA)，
∴ BE＝AF＝，
由折疊性質(zhì)知FG＝AF＝，∠FGD＝90°，∠FDG＝
∠ADA′＝45°，
∴ △DGF為等腰直角三角形，
∴ DF＝FG＝2，
∴ AD＝2＋，
∴ AE＝AD＝2＋，
∴ AB＝AE＋BE＝2＋＋＝2＋2.
23. (1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB＝CD，∠BAD＝∠BCD，
又∵AE＝CF，
∴△ABE≌△CDF(SAS)．
(2)解：如解圖，四邊形BEDF是菱形．理由如下：

第23題解圖
∵△ABE≌△CDF，
∴BE＝DF，∠ABE＝∠CDF，
又∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，
∴∠ABO＝∠CDO，
∴∠EBO＝∠FDO，
又∵∠BOE＝∠DOF，
∴△BOE≌△DOF，
∴BO＝DO，OE＝OF，
∴四邊形BEDF是平行四邊形．
∵DG＝BG，
∴△BDG是等腰三角形，
又∵BO＝DO，
∴GO⊥BD，
即EF⊥BD，
∴平行四邊形BEDF是菱形．
24. (1)證明：如解圖，連接OC.
∵OA＝OC，

第24題解圖
∴∠OAC＝∠OCA，
∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC＝∠BAC，
∴∠DAC＝∠ACO，
∴AD∥OC，
∵AD⊥MN，
∴OC⊥MN，
∵點(diǎn)C是⊙O上一點(diǎn)，
∴MN是⊙O的切線．
(2)解：在Rt△ADC中，AD＝4，AC＝5，
由勾股定理得DC＝3.
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠ADC，
又∵∠DAC＝∠CAB，
∴△ADC∽△ACB，
∴＝，即＝，
解得AB＝，
∴⊙O的直徑為.
25. (1)證明：∵四邊形AFBC是圓的內(nèi)接四邊形，
∴∠FBC＋∠FAC＝180°，
又∵∠CAD＋∠FAC＝180°，
∴∠FBC＝∠CAD，
∵AD是△ABC的外角∠EAC的平分線，
∴∠EAD＝∠CAD＝∠FBC，
又∵∠EAD＝∠FAB，
∴∠FAB＝∠CAD＝∠FBC，
又∵∠FAB＝∠FCB，
∴∠FBC＝∠FCB.
(2)解：由(1)知∠FBC＝∠FCB，
又∵∠FCB＝∠FAB，
∴∠FAB＝∠FBC，
又∵∠BFA＝∠BFD，
∴△AFB∽△BFD，
∴＝，
即BF2＝FA·FD＝12，
解得BF＝2，
∵FA＝2，
∴FD＝6，AD＝4，
∵AB為圓的直徑，
∴∠BFA＝∠BCA＝90°，
∴tan∠FBA＝＝＝，
∴∠FBA＝30°，
由△AFB∽△BFD得，∠FBA＝∠FDB，
∴∠FDB＝30°，
∴CD＝AD·cos30°＝2.
26. 解：(1)∵正方形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，
∴O為線段AC的中點(diǎn)，
∵CF＝AC，
∴△ACF是等腰三角形，
又∵CE平分∠ACF，
∴E為線段AF的中點(diǎn)，
∴OE是△ACF的中位線，
∴CF＝2OE＝2，
∴AC＝2，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ACB＝45°，
∴sin∠ACB＝＝，
∴AB＝＝2.
即正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2.
(2)EM＝CN.理由如下：
證明：如解圖，連接BE，由(1)可知，BE是Rt△ABF斜邊上的中線，
∴EB＝AF，

第26題解圖
∵AC＝CF，CE平分∠ACF，
∴CE⊥AF，
∴∠F＋∠FCE＝90°，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABF＝90°，AB＝BC，
∴∠F＋∠BAF＝90°，
∴∠FCE＝∠BAF，
∴△ABF≌△CBN(ASA)，
∴AF＝CN，
∴EB＝AF＝CN，
又∵∠EBM＝∠ABE＋∠ABO＝45°＋∠BAF＝45°＋∠BCE＝45°＋×45°＝67.5°，∠EMB＝∠OMC＝180°－90°－22.5°＝67.5°，
∴∠EBM＝∠EMB，
∴EB＝EM，
∴EM＝CN.

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