1.能用多項(xiàng)式運(yùn)算法則和計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理,培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng).2.會(huì)用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開(kāi)式有關(guān)的簡(jiǎn)單問(wèn)題,提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).
1.二項(xiàng)式定理(1)當(dāng)n為正整數(shù)時(shí),(a+b)n= .
(3)二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式:Tk+1= .思考:(1+2x)n的二項(xiàng)展開(kāi)式是什么?其第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和第5項(xiàng)的系數(shù)各是什么?
(3)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,當(dāng)n是奇數(shù)時(shí),中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大且相等.[做一做](2-x)5展開(kāi)式中,二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第　　　　項(xiàng).?答案:三、四3.楊輝三角(1)每一行都是對(duì)稱的,且兩端的數(shù)都是1;(2)從第三行起,不在兩端的任意一個(gè)數(shù),都等于上一行中與這個(gè)數(shù)相鄰的兩數(shù)之和.
探究點(diǎn)一 二項(xiàng)式定理
[例1] (1)在(1-x)5-(1-x)6的展開(kāi)式中,含x3的項(xiàng)的系數(shù)是(　　)A.-5 B.5 C.-10 D.10
(2)(x2+x+y)5的展開(kāi)式中,x5y2的系數(shù)為(　　)A.10 B.20 C.30 D.60
(1)求二項(xiàng)展開(kāi)式中特定項(xiàng)的系數(shù)的方法是:根據(jù)通項(xiàng)公式,得出特定的項(xiàng)是哪一項(xiàng),再具體計(jì)算,注意符號(hào);(2)求含有乘積式的展開(kāi)式系數(shù)的方法是:根據(jù)多項(xiàng)式的乘法法則,得出該項(xiàng)是如何得出的,再根據(jù)乘積式中的二項(xiàng)展開(kāi)式的系數(shù)進(jìn)行組合計(jì)算.
探究點(diǎn)二 二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)
(1)二項(xiàng)式系數(shù)具有“對(duì)稱性”和“中項(xiàng)最值性”;(2)一個(gè)二項(xiàng)展開(kāi)式中所有的二項(xiàng)式系數(shù)之和為2n,奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和與偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和相等,均為2n-1;(3)解題時(shí)注意二項(xiàng)式系數(shù)、項(xiàng)的系數(shù)的區(qū)別;(4)使用特殊賦值法求展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù).
[例3] (1)在“十九大”報(bào)告中指出:堅(jiān)定文化自信,推動(dòng)中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化創(chuàng)造性轉(zhuǎn)化,“楊輝三角”揭示了二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列規(guī)律,最早在中國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書(shū)中出現(xiàn)歐洲數(shù)學(xué)家帕斯卡在1654年才發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律,比楊輝更晚近四百年.“楊輝三角”是中國(guó)數(shù)學(xué)史上的一個(gè)偉大成就,激發(fā)起一批又一批數(shù)學(xué)愛(ài)好者的探究欲望,如圖,在由二項(xiàng)式系數(shù)所構(gòu)成的“楊輝三角”中,第10行中從左到右第5與第6個(gè)數(shù)的比值為(　　)
(2)楊輝三角在我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝在1261年所著的《詳解九章算法》一書(shū)中被記載.如圖所示的楊輝三角中,第15行第15個(gè)數(shù)是　　　.(用數(shù)字作答)
針對(duì)訓(xùn)練:在楊輝三角,它的開(kāi)頭幾行如圖所示,則第　　　　行會(huì)出現(xiàn)三個(gè)相鄰的數(shù)的比為3∶4∶5.?
探究點(diǎn)四 二項(xiàng)式定理的應(yīng)用
(2)0.996的計(jì)算結(jié)果精確到0.001的近似值是(　　)
針對(duì)訓(xùn)練:(1)(2021·江蘇揚(yáng)州高二期中)今天是星期二,經(jīng)過(guò)7天后還是星期二,那么經(jīng)過(guò)22 021天后是(　　)A.星期三B.星期四C.星期五D.星期六
(2)1.023≈　　　　.(小數(shù)點(diǎn)后保留三位小數(shù))?
答案:(2)1.061
(1)整除問(wèn)題:根據(jù)一個(gè)數(shù)字被整數(shù)a整除,確定把已知數(shù)字分解為含有a的二項(xiàng)式,利用二項(xiàng)展開(kāi)式中含有的a的冪、二項(xiàng)展開(kāi)式的結(jié)構(gòu),確定已知數(shù)字被a整除的余數(shù),如果余數(shù)為0,則已知數(shù)字被a整除;(2)近似計(jì)算(a+h)n,其中a為整數(shù)、h為絕對(duì)值很小的數(shù)字,利用二項(xiàng)式定理展開(kāi)后,可以把含有h的高次冪的項(xiàng)舍去,得出所求的近似值.
1.在(x+2)5的展開(kāi)式中,二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為(　 　)A.5 B.15 C.10 D.20

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