高中數(shù)學人教B版 (2019)選擇性必修 第二冊3.3 二項式定理與楊輝三角示范課課件ppt

這是一份高中數(shù)學人教B版 (2019)選擇性必修 第二冊3.3 二項式定理與楊輝三角示范課課件ppt，文件包含人教B版高中數(shù)學選擇性必修第二冊33《二項式系數(shù)的性質(zhì)楊輝三角和二項式定理的應(yīng)用》第2課時課件ppt、人教B版高中數(shù)學選擇性必修第二冊33《二項式系數(shù)的性質(zhì)楊輝三角和二項式定理的應(yīng)用》第2課時教案doc等2份課件配套教學資源，其中PPT共51頁， 歡迎下載使用。
www.ks5u.com第2課時　二項式系數(shù)的性質(zhì)、楊輝三角和二項式定理的應(yīng)用學 習 目 標核 心 素 養(yǎng)1．掌握二項式系數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用．(重點)2．了解楊輝三角，并結(jié)合二項式系數(shù)的性質(zhì)加以說明．(難點)3．掌握二項式定理的應(yīng)用．(難點)1．通過學習二項式系數(shù)的性質(zhì)，培養(yǎng)邏輯推理的素養(yǎng).2．借助楊輝三角的學習，提升數(shù)學抽象的素養(yǎng).我國古代數(shù)學的許多創(chuàng)新和發(fā)展都位于世界前列，如南宋數(shù)學家楊輝(約13世紀)所著的《詳解九章算術(shù)》一書中，用如圖所示的三角形解釋(a＋b)n的展開式的各項系數(shù)．(a＋b)0 1(a＋b)1 1　1(a＋b)2 1　2　1(a＋b)3 1　3　3　1(a＋b)4 1　4　6　4　1(a＋b)5 1　5　10　10　5　1問題：觀察上表，你能借助二項式系數(shù)的性質(zhì)分析上表中的數(shù)嗎？1．二項式系數(shù)的性質(zhì)(1)C＋C＋C＋…＋C＝2n；(2)C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.2．楊輝三角具有的性質(zhì)(1)每一行都是對稱的，且兩端的數(shù)都是1；(2)從第三行起，不在兩端的任意一個數(shù)，都等于上一行中與這個數(shù)相鄰的兩數(shù)之和．(3)利用二項式系數(shù)的對稱性可知，二項式系數(shù)C，C，C，…，C，C，是先逐漸變大，再逐漸變小的，當n是偶數(shù)時，中間一項的二項式系數(shù)最大，當n是奇數(shù)時，中間兩項的二項式系數(shù)相等且最大．1．思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)楊輝三角的每一斜行數(shù)字的差成一個等差數(shù)列． (　　)(2)二項式展開式中系數(shù)最大項與二項式系數(shù)最大項是相同的． (　　)(3)二項展開式的二項式系數(shù)和為C＋C＋…＋C. (　　)[答案]　(1)√　(2)×　(3)×2．(1－2x)15的展開式中的各項系數(shù)和是(　　)A．1　　　　 B．－1C．215　 D．315B　[令x＝1即得各項系數(shù)和，∴各項系數(shù)和為－1.]3．在(a＋b)10二項展開式中與第3項二項式系數(shù)相同的項是(　　)A．第8項　 B．第7項C．第9項　  D．第10項C　[由二項式展開式的性質(zhì)與首末等距離的兩項的二項式系數(shù)相等．]4．(教材P32嘗試與發(fā)現(xiàn)改編)觀察圖中的數(shù)所成的規(guī)律，則a所表示的數(shù)是________．11　2　11　3　3　11　4　a　4　11　5　10　10　5　16　[由題圖知，下一行的數(shù)是其肩上兩數(shù)的和，所以4＋a＝10，得a＝6.]求展開式的系數(shù)和【例1】　設(shè)(1－2x)2 021＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 021·x2 021(x∈R)．(1)求a0＋a1＋a2＋…＋a2 021的值；(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a2 021的值；(3)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 021|的值．[思路點撥]　先觀察所求式子與展開式各項的特點，利用賦值法求解．[解]　(1)令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a2 021＝(－1)2 021＝－1.①(2)令x＝－1，得a0－a1＋a2－…－a2 021＝32 021.②①－②得2(a1＋a3＋…＋a2 021)＝－1－32 021，∴a1＋a3＋a5＋…＋a2 021＝.(3)∵Tr＋1＝C(－2x)r＝(－1)r·C·(2x)r，∴a2k－1＜0(k∈N＋)，a2k＞0(k∈N)．∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a2 021|＝a0－a1＋a2－a3＋…－a2 021＝32 021.1．解決二項式系數(shù)和問題思維流程2．“賦值法”是解決二項展開式中項的系數(shù)常用的方法，根據(jù)題目要求，靈活賦給字母不同值．一般地，要使展開式中項的關(guān)系變?yōu)橄禂?shù)的關(guān)系，令x＝0可得常數(shù)項，令x＝1可得所有項系數(shù)之和，令x＝－1可得偶次項系數(shù)之和與奇次項系數(shù)之和的差．1．若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，求：(1)a1＋a2＋…＋a7；(2)a1＋a3＋a5＋a7；(3)a0＋a2＋a4＋a6.[解]　(1)令x＝0，則a0＝－1；令x＝1，得a7＋a6＋…＋a1＋a0＝27＝128，①所以a1＋a2＋…＋a7＝129.(2)令x＝－1，得－a7＋a6－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0＝(－4)7，②由①－②得2(a1＋a3＋a5＋a7)＝128－(－4)7，∴a1＋a3＋a5＋a7＝8 256.(3)由①＋②得2(a0＋a2＋a4＋a6)＝128＋(－4)7，∴a0＋a2＋a4＋a6＝－8 128.二項式系數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用【例2】　已知f(x)＝(＋3x2)n展開式中各項的系數(shù)和比各項的二項式系數(shù)和大992.(1)求展開式中二項式系數(shù)最大的項；(2)求展開式中系數(shù)最大的項．[思路點撥]　求二項式系數(shù)最大的項，利用性質(zhì)知展開式中中間項(或中間兩項)是二項式系數(shù)最大的項；求展開式中系數(shù)最大的項，必須將x，y的系數(shù)均考慮進去，包括“＋”“－”號．[解]　令x＝1，則二項式各項系數(shù)的和為f(1)＝(1＋3)n＝4n，又展開式中各項的二項式系數(shù)之和為2n，由題意知，4n－2n＝992.∴(2n)2－2n－992＝0，∴(2n＋31)(2n－32)＝0，∴2n＝－31(舍去)或2n＝32，∴n＝5.(1)由于n＝5為奇數(shù)，所以展開式中二項式系數(shù)最大的項為中間兩項，它們分別是T3＝C(x)3(3x2)2＝90x6，T4＝C(x)2(3x2)3＝270x.(2)展開式的通項公式為Tr＋1＝C3r·x(5＋2r)．假設(shè)Tr＋1項系數(shù)最大，則有∴∴∴≤r≤，∵r∈N，∴r＝4.∴展開式中系數(shù)最大的項為T5＝Cx(3x2)4＝405x.1．求二項式系數(shù)最大的項，根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)，當n為奇數(shù)時，中間兩項的二項式系數(shù)最大；當n為偶數(shù)時，中間一項的二項式系數(shù)最大．2．求展開式中系數(shù)最大項與求二項式系數(shù)最大項是不同的，需根據(jù)各項系數(shù)的正、負變化情況，一般采用列不等式組，解不等式的方法求得．2．(1)(1＋x)2n＋1的展開式中，二項式系數(shù)最大的項所在項數(shù)是(　　)A．n，n＋1　　　　 B．n－1，nC．n＋1，n＋2 D．n＋2，n＋3(2)已知(a＋b)n展開式中只有第5項的二項式系數(shù)最大，則n等于________．(1)C　(2)8　[(1)該展開式共2n＋2項，中間兩項為第n＋1項與第n＋2項，所以第n＋1項與第n＋2項為二項式系數(shù)最大的項．(2)因為只有第5項的二項式系數(shù)最大，所以＋1＝5，所以n＝8.]與“楊輝三角”有關(guān)的問題 

【例3】　如圖所示，在“楊輝三角”中斜線AB的上方，從1開始箭頭所示的數(shù)組成一個鋸齒形數(shù)列：1,2,3,3,6,4,10,5，….記其前n項和為Sn，求S19的值．[思路點撥]　由圖知，數(shù)列中的首項是C，第2項是C，第3項是C，第4項是C，…，第17項是C，第18項是C，第19項是C.[解]　S19＝(C＋C)＋(C＋C)＋(C＋C)＋…＋(C＋C)＋C＝(C＋C＋C＋…＋C)＋(C＋C＋…＋C＋C)＝(2＋3＋4＋…＋10)＋C＝＋220＝274.“楊輝三角”問題解決的一般方法3．如圖，在由二項式系數(shù)所構(gòu)成的楊輝三角中，第________行中從左至右的第14個數(shù)與第15個數(shù)的比為2∶3.34　[由題意設(shè)第n行的第14個數(shù)與第15個數(shù)的比為2∶3，它等于二項展開式的第14項和第15項的二項式系數(shù)的比，所以C∶C＝2∶3，即＝，解得n＝34，所以在第34行中，從左至右第14個數(shù)與第15個數(shù)的比是2∶3.]二項式定理的應(yīng)用[探究問題]1．不用計算器，你能用二項式定理求0.9986的近似值，使誤差小于0.001嗎？[提示]　把0.998變成1－0.002，然后應(yīng)用二項式定理展開．因為0.9986＝(1－0.002)6＝1－C×0.002＋C×0.0022－C×0.0023＋…＋C×0.0026.第三項T3＝15×0.0022＝0.00006<0.001，以后各項更小，所以0.9986≈1－0.012＝0.988.2．你能用二項式定理證明＞2，(n∈N*，且n≥2)嗎？[提示]　∵＝1＋C＋C＋…＋C＝2＋＋…＋，又n≥2且n∈N*，∴＋＋…＋＞0.∴＞2(n∈N*，且n≥2)．【例4】　(教材P33例5改編)(1)用二項式定理證明：1110－1能被100整除；(2)求9192被100除所得的余數(shù)．[思路點撥]　(1)1110－1＝(1＋10)10－1，展開求證便可；(2)9192＝(1＋90)92，展開求解便可．[解]　(1)證明：∵1110－1＝(10＋1)10－1＝(1010＋C·109＋C·108＋…＋C·10＋1)－1＝1010＋C·109＋C·108＋…＋102＝100(108＋C·107＋C·106＋…＋1)，∴1110－1能被100整除．(2)9192＝(100－9)92＝C·10092－C·10091·9＋C·10090·92－…＋C992，展開式中前92項均能被100整除，只需求最后一項除以100的余數(shù)．∵992＝(10－1)92＝C·1092－C·1091＋…＋C·102－C·10＋1，前91項能被100整除，后兩項和為－919，因余數(shù)為正，可從前面的數(shù)中分離出1000，結(jié)果為1000－919＝81，故9192被100除可得余數(shù)為81.利用二項式定理可以解決余數(shù)和整除性問題，通常需將底數(shù)化成兩數(shù)的和與差的形式，且這種轉(zhuǎn)化形式與除數(shù)有密切的關(guān)系.,整除性問題或求余數(shù)問題的處理方法：?1?解決這類問題，必須構(gòu)造一個與題目條件有關(guān)的二項式.?2?用二項式定理處理這類問題，通常把被除數(shù)的底數(shù)寫成除數(shù)?或與除數(shù)密切關(guān)聯(lián)的數(shù)?與某數(shù)的和或差的形式，再用二項式定理展開，只考慮后面?或者是前面?的幾項就可以了.4．(1)求證32n＋2－8n－9(n∈N*)能被64整除；(2)求230－3除以7的余數(shù)．[解]　(1)證明：32n＋2－8n－9＝(8＋1)n＋1－8n－9＝C8n＋1＋C8n＋…＋C－8n－9＝C8n＋1＋C8n＋…＋C82＋C·8＋1－8n－9＝C8n＋1＋C8n＋…＋C82.該式每一項都含因式82，故能被64整除．(2)230－3＝(23)10－3＝810－3＝(7＋1)10－3＝C710＋C79＋…＋C7＋C－3＝7×(C79＋C78＋…＋C)－2.又∵余數(shù)不能為負數(shù)(需轉(zhuǎn)化為正數(shù))，∴230－3除以7的余數(shù)為5.1．二項式系數(shù)的性質(zhì)可從楊輝三角中直觀地看出．2．求展開式中的系數(shù)或展開式中的系數(shù)的和、差的關(guān)鍵是給字母賦值，賦值的選擇則需根據(jù)所求的展開式系數(shù)和特征來確定．一般地對字母賦的值為0,1或－1，但在解決具體問題時要靈活掌握．3．對于二項式定理的應(yīng)用主要體現(xiàn)在估算、證明及整除上，注意近似計算可用(1＋x)n≈1＋nx，具體情況視精確度而定．1．二項式(x－1)n的奇數(shù)項二項式系數(shù)和是64，則n等于(　　)A．5　　　　 B．6C．7　 D．8C　[二項式(a＋b)n的展開式中，奇數(shù)項的二項式系數(shù)和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)和，∴2n－1＝64，∴n＝7.故選C.]2．已知展開式中，各項系數(shù)的和與其各項二項式系數(shù)的和之比為64，則n等于(　　)A．4　　  B．5C．6　　 D．7C　[令x＝1，各項系數(shù)和為4n，二項式系數(shù)和為2n，故有＝64，所以n＝6.]3．若(n∈N*)的展開式中只有第6項系數(shù)最大，則該展開式中的常數(shù)項為(　　)A．210　　　 B．252C．462　　 D．10A　[由于展開式中只有第6項的系數(shù)最大，且其系數(shù)等于其二項式系數(shù)，所以展開式項數(shù)為11，從而n＝10，于是得其常數(shù)項為C＝210.]4．設(shè)(－3＋2x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，則a0＋a1＋a2＋a3的值為________．－15　[令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝1. ①又Tk＋1＝C(－3)4－k(2x)k，∴當k＝4時，x4的系數(shù)a4＝16.  ②由①－②得a0＋a1＋a2＋a3＝－15.]5．設(shè)a∈Z，且0≤a＜13，若512020＋a能被13整除，求a的值．[解]　512020＋a＝(52－1)2020＋a＝522020＋C×522019×(－1)＋…＋C×52×(－1)2019＋(－1)2020＋a能被13整除，只需(－1)2020＋a＝1＋a能被13整除即可．∵0≤a＜13，∴a＝12.