1.通過實例,理解組合的概念,達(dá)成數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).2.通過利用計數(shù)原理推導(dǎo)組合數(shù)公式,達(dá)成邏輯推理、數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).
1.組合:一般地,從n個不同對象中取出m(m≤n)個對象 一組,稱為從n個對象中取出m個元素的一個組合.思考:(1)組合對元素有何要求?提示:(1)組合要求n個元素是不同的,被取出的m個元素也是不同的.(2)組合是有放回抽取還是無放回抽取?提示:(2)無放回抽取,即從n個不同的元素中進(jìn)行m次不放回取出.
2.組合數(shù):從n個不同對象中取出m個元素的所有組合的個數(shù),稱為從n個不同對象中取出m個元素的組合數(shù),用 表示.
2.某新農(nóng)村社區(qū)共包括8個自然村,且這些村莊分布零散,沒有任何三個村莊在一條直線上,現(xiàn)要在該社區(qū)內(nèi)建造“村村通”工程,共需建公路的條數(shù)為　　　　.?
探究點一 組合與組合數(shù)
探究點二 組合數(shù)的性質(zhì)
答案:(2)220　3或4
探究點三 組合數(shù)應(yīng)用
角度1　有限制條件的組合問題[例3] 某大學(xué)學(xué)生會從6名女大學(xué)生和4名男大學(xué)生中選出3名同學(xué)去參加志愿者活動.(1)共有多少種不同的選法?
[例3] 某大學(xué)學(xué)生會從6名女大學(xué)生和4名男大學(xué)生中選出3名同學(xué)去參加志愿者活動.(2)選出的3名同學(xué)中恰有1名男大學(xué)生的方法有多少種?
[例3] 某大學(xué)學(xué)生會從6名女大學(xué)生和4名男大學(xué)生中選出3名同學(xué)去參加志愿者活動.(3)選出的3名同學(xué)中至少有1名男大學(xué)生的方法有多少種?
[例3] 某大學(xué)學(xué)生會從6名女大學(xué)生和4名男大學(xué)生中選出3名同學(xué)去參加志愿者活動.(4)選出的3名同學(xué)中至多有1名男大學(xué)生的方法有多少種?
(2)若從1,2,3,…,9這9個整數(shù)中同時取4個不同的數(shù),其和為偶數(shù),則不同的取法共有(　　)A.60種 B.63種 C.65種 D.66種
解答有限制條件的組合問題的基本方法是“直接法”和“間接法(排除法)”.其中用直接法求解時,應(yīng)堅持“特殊元素優(yōu)先選取”的原則,優(yōu)先安排特殊元素的選取,再安排其他元素的選取.而選擇間接法(即先不考慮限制條件計算選法種數(shù),然后排除不滿足條件的選法)的原則是“正難則反”,也就是若正面問題分類較多、較復(fù)雜或計算量較大,不妨從反面問題入手,試一試看是否簡捷些,特別是涉及“至多”“至少”等組合問題時更是如此.
角度2　幾何中的組合問題[例4] 在一個正方體中,各棱、各面對角線和體對角線中,共有多少對異面直線?
針對訓(xùn)練:平面內(nèi)有12個點,其中有4個點共線,此外再無任何3點共線.以這些點為頂點,可構(gòu)成多少個不同的三角形?
(1)幾何組合問題,主要考查組合的知識和空間想象能力,題目多是以立體幾何中的點、線、面的位置關(guān)系為背景的排列、組合.這類問題情境新穎,多個知識點交匯在一起,綜合性強(qiáng).(2)解答幾何組合問題的思考方法與一般的組合問題基本一樣,只要把圖形的限制條件視為組合問題的限制條件即可.(3)計算時可用直接法,也可用間接法,要注意在限制條件較多的情況下,需要分類計算符合題意的組合數(shù).
角度3　分組、分配問題[例5] 6本不同的書按照以下要求處理,各有幾種分法?(1)一堆一本,一堆兩本,一堆三本;
[例5] 6本不同的書按照以下要求處理,各有幾種分法?(2)一人得一本,一人得兩本,一人得三本;
[例5] 6本不同的書按照以下要求處理,各有幾種分法?(3)平均分成三堆;
[例5] 6本不同的書按照以下要求處理,各有幾種分法?(4)平均分給甲、乙、丙三人;
[例5] 6本不同的書按照以下要求處理,各有幾種分法?(5)分給甲、乙、丙三人,每人至少一本.
(2)2名醫(yī)生和4名護(hù)士被分配到2所學(xué)校為學(xué)生體檢,每校分配1名醫(yī)生和2名護(hù)士,不同的分配方法共有　　　　種.?
(1)分組問題屬于“組合”問題,常見的分組問題有三種.①完全均勻分組,每組的元素個數(shù)均相等.③完全非均勻分組,這種分組不考慮重復(fù)現(xiàn)象.(2)分配問題屬于“排列”問題,分配問題可以按要求逐個分配,也可以先分組后分配.
1.某校開設(shè)A類選修課3門,B類選修課4門,一位同學(xué)從中共選3門.若要求兩類課程中各至少選一門,則不同的選法共有(　 　)A.30種 B.35種 C.42種 D.48種
3.4位同學(xué)每人從甲、乙、丙3門課程中選修1門,則恰有2人選修課程甲的不同選法共有(　 　)A.12種B.24種C.30種D.36種

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高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)選擇性必修 第二冊電子課本

3.1.3 組合與組合數(shù)

版本： 人教B版 (2019)

年級： 選擇性必修 第二冊

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