【精編】2.2.4均值不等式及其應(yīng)用練習(xí)一、單選題1．若，，則的最小值是（    ）A． B． C．4 D．22．下列各式中，對任何實數(shù)都成立的一個式子是（    ）.A． B． C． D．3．已知a，b為非負數(shù)，且滿足，則的最大值為（    ）A．40 B． C．42 D．4．已知正實數(shù)滿足，則的最小值為（    ）A．6 B．8 C．10 D．125．設(shè)a>0，b>0.若是3a與32b的等比中項，則的最小值為（    ）A．8 B．4 C．1 D．6．已知，，，則的最小值為（    ）A．2 B．3 C． D．7．已知，，，則的最小值是（    ）A． B． C． D．8．已知 且，若恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是（    ）A．  B．} C． D．9．已知，則“”是“”的（    ）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件10．已知，函數(shù)的最大值是（    ）A．4 B．-4 C．-6 D．-811．某小型服裝廠生產(chǎn)一種風(fēng)衣，日銷售量 （件）與單價 （元）之間的關(guān)系為，生產(chǎn)件所需成本為（元），其中元，若要求每天獲利不少于1300元，則日銷售量的取值范圍是（    ）.A． B．C． D．12．已知，，，，且，則下列不等式中，成立的個數(shù)有①，②，③，④（    ）A．1 B．2 C．3 D．413．設(shè)，且，則的最小值為（    ）A．4 B． C． D．614．玉溪某車間分批生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每批的生產(chǎn)準備費用為800元，若每批生產(chǎn)件，則平均倉儲時間為天，且每件產(chǎn)品每天的倉儲費用為1元，為使平均到每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準備費用與倉儲費用之和最小，每批應(yīng)生產(chǎn)產(chǎn)品A．60件 B．80件 C．100件 D．120件15．在如圖所示的銳角三角形空地中，欲建一個面積不小于300m2的內(nèi)接矩形花園（陰影部分），則其邊長（單位：m）的取值范圍是（    ）A． B． C． D．
參考答案與試題解析1．A【分析】利用基本不等式可求出和的最小值，相加可得出結(jié)果.【詳解】由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)，時等號成立，因此，的最小值為.故選A.【點睛】本題考查利用基本不等式求和式的最小值，利用基本不等式求最值時也要注意條件“一正、二定、三相等”的成立，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.2．C【分析】取特殊值可得選項A,B,D不恒成立，由可得選項C對應(yīng)的不等式恒成立，得解.【詳解】解：對于A，當(dāng)時，根式無意義，故A不恒成立；對于B，當(dāng)時，，故B不恒成立；對于C，，所以成立，故C成立；對于D，當(dāng)時，，故D恒不成立，即對任何實數(shù)都成立的一個式子是，故選C.【點睛】本題考查了均值不等式的前提，重點考查了運算能力，屬基礎(chǔ)題.3．D【分析】將表示成的函數(shù)，利用均值不等式求出的范圍即可求解作答.【詳解】，又，當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”，則，所以當(dāng)時，的最大值為.故選：D4．B【分析】令，用分別乘兩邊再用均值不等式求解即可.【詳解】因為，且為正實數(shù)所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立.所以.故選：B.5．A【分析】根據(jù)等比中項可得a+2b=1，利用基本不等式及a+2b=1可求最小值.【詳解】由題意可知3=3a32b=3a+2b，即a+2b=1.因為a>0，b>0，所以(a+2b)=+4≥2+4=8，當(dāng)且僅當(dāng)，即a=2b=時取“=”，所以的最小值為8.故選：A【點睛】本題主要考查了基本不等式的應(yīng)用及不等式等號成立的條件，屬于中檔題.6．D【詳解】根據(jù)題意，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)且時等號成立，∴的最小值為，故選：D．7．C【分析】觀察已知等式和所求式子均為非齊次式，考慮等式變形為 利用“1”的代換，化分式為齊次式，利用換元法，轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題求最值或利用基本不等式求最值.【詳解】解法一：（轉(zhuǎn)換成函數(shù)求最值）由題意，，，，即有且，將代入化簡得：，令，∴，則有，當(dāng)，有，單調(diào)遞減；當(dāng)，有單調(diào)遞增，∴.故選C.解法二：（利用基本不等式求最值）由題意，，，，即有且，將代入化簡得：，令，原式，當(dāng)且僅當(dāng)，即，等號成立，取到最小值.故選C.8．D【分析】根據(jù)基本不等式可取的最小值，從而可求實數(shù)m的取值范圍.【詳解】∵，且，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，∴，由恒成立可得，解得：，故選：D.9．A【分析】由，結(jié)合基本不等式可得，由此可得，由此說明“”是“”的充分條件，再通過舉反例說明“”不是“”的必要條件，由此確定正確選項.【詳解】∵  ，∴  （當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立），（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立），∴  （當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立），若，則，∴  ，所以“”是“”的充分條件，當(dāng)時，，此時，∴“”不是“”的必要條件，∴“”是“”的充分不必要條件，故選：A.10．B【解析】，，轉(zhuǎn)化為求最小值，根據(jù)基本不等式求最小值【詳解】由已知，則，，當(dāng)且僅當(dāng)， 時取等.所以；故選:B【點睛】本題考查用基本不等式求最值，掌握基本不等式求最值的條件：一正二定三相等是解題關(guān)鍵．11．B【分析】設(shè)該廠每天獲得的利潤為元，根據(jù)題意，求得利潤為的函數(shù)關(guān)系式，得到一元二次不等式，即可求得，得到答案.【詳解】設(shè)該廠每天獲得的利潤為元，則，，，根據(jù)題意，可得，解得，故當(dāng)，且時，每天獲得的利潤不利于1300元.故選B.【點睛】本題主要考查了一元二次不等式的實際應(yīng)用問題，其中解答中認真審題，列出關(guān)于的一元二次不等式，結(jié)合一元二次不等式的解答求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題.12．C【分析】分別利用二元、三元均值不等式可判斷①和②的正確性；舉特例可判斷③是否正確；利用“1”的妙用可判斷④的正確性.【詳解】因，，，，且，于是有：，當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”，①正確；，當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”，②正確；時成立，而，③不正確；，當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”，而，④正確，綜上得：①②④共三個正確.故選：C【點睛】易錯點睛：在應(yīng)用基本不等式求最值時，要把握不等式成立的三個條件，就是“一正——各項均為正；二定——積或和為定值；三相等——等號能否取得”，若忽略了某個條件，就會出現(xiàn)錯誤．13．C【分析】利用基本不等式“1”的代換求目標式的最小值，注意等號成立條件.【詳解】由，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.故選：C14．B【解析】確定生產(chǎn)件產(chǎn)品的生產(chǎn)準備費用與倉儲費用之和，可得平均每件的生產(chǎn)準備費用與倉儲費用之和，利用基本不等式，即可求得最值．【詳解】解：根據(jù)題意，該生產(chǎn)件產(chǎn)品的生產(chǎn)準備費用與倉儲費用之和是這樣平均每件的生產(chǎn)準備費用與倉儲費用之和為 （為正整數(shù)）由基本不等式，得當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取得最小值，時，每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準備費用與倉儲費用之和最小故選：【點睛】本題考查函數(shù)的構(gòu)建，考查基本不等式的運用，屬于中檔題，運用基本不等式時應(yīng)該注意取等號的條件，才能準確給出答案，屬于基礎(chǔ)題．15．C【分析】根據(jù)三角形相似列出方程，將矩形的另一邊用表示，再根據(jù)矩形的面積不小于300m2列出不等式，即可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)矩形的另一邊長為m，則由三角形相似知，，所以，因為，所以，即，解得.故選:C【點睛】本題主要考查了一元二次不等式的應(yīng)用，關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型，解一元二次不等式，屬于基礎(chǔ)題. 

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高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)必修 第一冊電子課本

2.2.4 均值不等式及其應(yīng)用

版本： 人教B版 (2019)

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