【精編】2.2.4均值不等式及其應(yīng)用課時(shí)練習(xí)一、單選題1．已知實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為（    ）A． B． C． D．2．是的（    ）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．已知，則的最小值為（    ）A． B．2 C． D．44．已知，則的最小值是（    ）A．2 B． C． D．65．設(shè)實(shí)數(shù)、滿足，且.則的最小值是（    ）A． B． C． D．6．今有一臺(tái)壞天平，兩臂長(zhǎng)不等，其余均精確．現(xiàn)將一物體放在左、右托盤各稱一次，稱量結(jié)果分別為和，設(shè)該物體的真實(shí)質(zhì)量為，則（    ）A． B． C． D．7．若，且，則的最小值為（    ）A．3 B． C． D．8．已知不等式(x+y)≥9對(duì)任意正實(shí)數(shù)x，y恒成立，則正實(shí)數(shù)a的最小值為(    )A．2 B．4 C．9 D．169．設(shè)x＞0，則函數(shù)的最小值為（    ）A．0 B． C．1 D．10．a，b∈，則a2＋b2與2|ab|的大小關(guān)系是（    ）A．a2＋b2≥2|ab| B．a2＋b2＝2|ab|C．a2＋b2≤2|ab| D．a2＋b2>2|ab|11．若，則的最小值等于（     ）A．0 B．1 C．2 D．312．若，則的最小值為（    ）A． B． C． D．513．若正實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最小值為（    ）A．8 B．9 C．10 D．1114．若－4<x<1，則（    ）A．有最小值1 B．有最大值1C．有最小值－1 D．有最大值－115．下列不等式恒成立的是（    ）A． B．C． D．
參考答案與試題解析1．B【分析】利用基本不等式“1”的代換求的最值，注意等號(hào)成立條件.【詳解】由題設(shè)，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為.故選：B2．B【分析】解法一:根據(jù)充分條件與必要條件的概念，結(jié)合不等式的基本性質(zhì)直接判斷，即可得出結(jié)果.解法二:利用基本不等式的等號(hào)成立的條件可以否定充分性，利用代數(shù)變形，結(jié)合不等式的基本性質(zhì)可以論證必要性.【詳解】解法一：當(dāng)時(shí)，滿足，但，不成立，故是的不充分條件；當(dāng)時(shí)，不成立，當(dāng)時(shí)無(wú)意義，即不成立，故是的必要條件；綜上，是的必要不充分條件.解法二：當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以是的不充分條件；若，則，所以,故是的必要條件；綜上，是的必要不充分條件.故選：B.3．C【分析】根據(jù)給定條件利用均值不等式直接計(jì)算作答.【詳解】因?yàn)?/span>，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”，所以的最小值為.故選：C4．B【分析】根據(jù)給定條件利用均值不等式直接計(jì)算作答.【詳解】因，則，當(dāng)且僅當(dāng)且，即時(shí)取“=”，所以當(dāng)時(shí)，取最小值.故選：B5．C【解析】由已知，分別討論，兩種情況，結(jié)合基本不等式分別進(jìn)行求解后比較可得的最小值.【詳解】由題意可知，.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)且，即，時(shí)取等號(hào)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)取等號(hào)，綜上可得，的最小值.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查利用基本不等式求最值，解答的關(guān)鍵就是對(duì)的符號(hào)進(jìn)行分類討論，考查計(jì)算能力，屬于中等題.6．B【分析】設(shè)天平的兩臂的長(zhǎng)度分別為和，得到且，且，結(jié)合基本不等式，即可求解.【詳解】設(shè)天平的兩臂的長(zhǎng)度分別為和，若兩次稱量結(jié)果分別為，則有且，且，兩式聯(lián)立可得，即，又由，可得，則.故選：B.7．D【分析】利用給定條件確定，變形并借助均值不等式求解即得.【詳解】因，且，則，即有，同理，由得：，于是得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”，所以的最小值為.故選：D8．B【分析】求出(x+y)()的最小值，轉(zhuǎn)化為該最小值不小于9，即可解得.【詳解】(x+y)()=1+a++≥1+a+2=(1+)2，當(dāng)且僅當(dāng)=時(shí)取等號(hào).所以(1+)2≥9，所以a≥4.故選：B9．A【解析】根據(jù)x＞0，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為，利用基本不等式求解.【詳解】因?yàn)?/span>x＞0，所以函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng) ，即時(shí)取等號(hào)，故函數(shù)的最小值為0故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查基本不等式求最值，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想，屬于基礎(chǔ)題.10．D【分析】利用作差法，求得結(jié)果，判斷正負(fù)，則問(wèn)題得解.【詳解】∵a2＋b2－2|ab|＝(|a|－|b|)2≥0，∴a2＋b2≥2|ab|(當(dāng)且僅當(dāng)|a|＝|b|時(shí)，等號(hào)成立).故選：.【點(diǎn)睛】本題考查利用作差法比較大小，屬基礎(chǔ)題.11．D【分析】將變形為，即可利用均值不等式求最小值.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，因此,當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值等于3.故選：D.12．A【分析】根據(jù)基本不等式即可直接求出的最小值.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.所以的最小值為.故選：A.13．B【分析】對(duì)等式進(jìn)行變形，再根據(jù)基本不等式進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)?/span>，則，又，是正數(shù).所以，當(dāng)取得等號(hào)，即且時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為9，故選：B.14．D【分析】先將轉(zhuǎn)化為，根據(jù)－4<x<1，利用基本不等式求解.【詳解】又∵－4<x<1，∴x－1<0．∴－(x－1)>0．∴．當(dāng)且僅當(dāng)x－1＝，即x＝0時(shí)等號(hào)成立．故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查基本不等式的應(yīng)用，還考查了轉(zhuǎn)化求解問(wèn)題的能力，屬于基礎(chǔ)題.15．D【分析】利用特殊值判斷A、C，利用重要不等式判斷B，作差可判斷D；【詳解】解：對(duì)于A：若、時(shí)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：因?yàn)?/span>，所以，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：若、時(shí)，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：因?yàn)?/span>，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故D正確；故選：D 

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2.2.4 均值不等式及其應(yīng)用

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