高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)選擇性必修第一冊2.7.1 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程當(dāng)堂檢測題-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

【優(yōu)選】2.7.1 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程作業(yè)練習(xí)一．填空題1．設(shè)是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)為，則的最小值為________________．2．在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的右支與焦點(diǎn)為的拋物線交于．兩點(diǎn)，若，則該雙曲線的漸近線方程為___________.3．已知拋物線（）上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為3，則________.4．已知拋物線，點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，則拋物線上縱坐標(biāo)為3的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為___________．5．已知點(diǎn)P在拋物線上，則當(dāng)點(diǎn)P到點(diǎn)的距離與點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)距離之和取得最小值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為___________.6．設(shè)，則的最小值為______________．7．已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓E的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，橢圓E與拋物線C的準(zhǔn)線交于A．B兩點(diǎn).若，則橢圓E的短軸長為__________.8．從拋物線上一點(diǎn)引拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為，且，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，則的面積為_______．9．已知點(diǎn)在拋物線上，C在點(diǎn)B處的切線與C的準(zhǔn)線交于點(diǎn)A，F(xiàn)為C的焦點(diǎn)，則直線的斜率為_________．10．對標(biāo)準(zhǔn)形式的拋物線，給出下列條件：①焦點(diǎn)在y軸上；②焦點(diǎn)在x軸上；③拋物線上橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于6；④由原點(diǎn)向過焦點(diǎn)的某直線作垂線，垂足坐標(biāo)為(2，1).其中滿足拋物線方程為y2=10x的是____________.(要求填寫適合條件的序號)11．拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是 ___________.12．設(shè)是拋物線：上一點(diǎn)，若到的焦點(diǎn)的距離為10，則到軸的距離為______．13．拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為________．14．拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為_____________．15．已知點(diǎn)是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為__________．
參考答案與試題解析1．【答案】5【解析】分析：求出拋物線的準(zhǔn)線方程，把到焦點(diǎn)距離轉(zhuǎn)化為它到準(zhǔn)線的距離，然后利用三點(diǎn)共線得最小值．詳解：如圖，過作與準(zhǔn)線垂直，垂足為，則，∴，易知當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最小，最小值為．∴的最小值為5.故答案為：5.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的定義，考查拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)和到定點(diǎn)距離之和的最小值，解題方法是利用拋物線的定義把點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到準(zhǔn)線距離．2．【答案】【解析】設(shè)點(diǎn)．，由拋物線的定義可得，，，由可得，，直線的斜率為，由，兩式作差得，即，所以，，，可得，因此，該雙曲線的漸近線方程為.故答案為：.3．【答案】4【解析】分析：先利用拋物線的方程求得準(zhǔn)線方程，根據(jù)點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)的距離為3，利用拋物線的定義推斷出點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離也為3，利用求得p．詳解：根據(jù)拋物線方程可知準(zhǔn)線方程為，∵拋物線（）上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為3，∴根據(jù)拋物線的定義可知其到準(zhǔn)線的距離為3，∴，∴．故答案為：4.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查拋物線的定義；在求拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離時(shí)，往往利用拋物線的定義將點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為該點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，但要注意拋物線是哪一種標(biāo)準(zhǔn)方程，如拋物線（）上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為，拋物線（）上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為，等等.4．【答案】5【解析】分析：根據(jù)點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，求得拋物線的方程，再利用拋物線的定義求解.詳解：因?yàn)辄c(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，所以，解得，故拋物線方程為.令，得.所以拋物線上縱坐標(biāo)為3的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為.故答案為：55．【答案】【解析】如圖所示：根據(jù)拋物線定義可得：點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)距離等于P到準(zhǔn)線的距離，即為PF=PM，所求即為PQ+PF=PQ+PM，由圖象可得，當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到Q的正下方時(shí)，最小，即為，所以，代入拋物線方程可得，所以P的坐標(biāo)為，故答案為：6．【答案】【解析】分析：設(shè)點(diǎn)．，則表示再加上點(diǎn)的橫坐標(biāo)，利用拋物線的定義可得出（其中為拋物線的焦點(diǎn)），利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值，即可得解.詳解：.設(shè)點(diǎn)．，則表示再加上點(diǎn)的橫坐標(biāo)，其中點(diǎn)為拋物線上的一點(diǎn)，該拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為.作出函數(shù)與拋物線的圖象如下圖所示：過點(diǎn)作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足為點(diǎn)，設(shè)交軸于點(diǎn)，則，當(dāng)且僅當(dāng)．．三點(diǎn)共線時(shí)，等號成立，下面利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值，，構(gòu)造函數(shù)，其中，，且函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.，，因此，的最小值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題從代數(shù)式的幾何意義出發(fā)，利用數(shù)形結(jié)合思想轉(zhuǎn)化為折線段和的最小值問題來求解，同時(shí)又考查了拋物線定義的應(yīng)用，在求解的最值時(shí)，充分利用了導(dǎo)數(shù)來求解.7．【答案】【解析】分析：先求解出拋物線的的焦點(diǎn)，則橢圓的右焦點(diǎn)可知，再設(shè)出橢圓的方程并將方程中變形為的表示形式，根據(jù)求解出的值，則橢圓的短軸的大小可求.詳解：因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為，所以橢圓的右焦點(diǎn)為，設(shè)橢圓方程，所以，所以橢圓方程為，又拋物線的準(zhǔn)線方程為，所以，所以，又因?yàn)?/span>，所以，所以，所以，故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是通過拋物線的焦點(diǎn)化簡橢圓的方程并結(jié)合弦的長度進(jìn)行相關(guān)計(jì)算，從而完成短軸長度的求解.8．【答案】【解析】分析：利用拋物線的焦半徑公式結(jié)合求解出點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)梯形．．面積之間的關(guān)系求解出結(jié)果.詳解：如下圖所示，設(shè)準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，，因?yàn)閽佄锞€方程為，所以，，又因?yàn)?/span>，所以，所以，所以，由對稱性可取，所以梯形的面積為：，又因?yàn)?/span>的面積為：，所以，故答案為：.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛拋：拋物線的焦半徑公式如下：（為焦準(zhǔn)距）（1）焦點(diǎn)在軸正半軸，拋物線上任意一點(diǎn)，則；（2）焦點(diǎn)在軸負(fù)半軸，拋物線上任意一點(diǎn)，則；（3）焦點(diǎn)在軸正半軸，拋物線上任意一點(diǎn)，則；（4）焦點(diǎn)在軸負(fù)半軸，拋物線上任意一點(diǎn)，則.9．【答案】【解析】分析：點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線方程求得得拋物線方程，求出切線方程，準(zhǔn)線方程得的坐標(biāo)，又得焦點(diǎn)坐標(biāo)后即可得直線斜率．詳解：由題意，，拋物線方程為，拋物線在點(diǎn)處的方程可表示為，所以，時(shí)，，切線方程為，即，準(zhǔn)線方程為，由得，即，又，所以．故答案為：．【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查求拋物線的性質(zhì)，解題方法是解析幾何的基本方法：計(jì)算．代入點(diǎn)的坐標(biāo)求得拋物線方程，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線方程，同時(shí)求得準(zhǔn)線方程，由直線相交求得交點(diǎn)坐標(biāo)，再得焦點(diǎn)坐標(biāo)后，由斜率公式得直線斜率．考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力．10．【答案】②④【解析】解：拋物線y2=10x的焦點(diǎn)在x軸上，②滿足，①不滿足；設(shè)M(1，y0)是y2=10x上一點(diǎn)，則|MF|=1+=1+≠6，所以③不滿足；由于拋物線y2=10x的焦點(diǎn)為，設(shè)過該焦點(diǎn)的直線方程為y=k，若由原點(diǎn)向該直線作垂線，垂足為(2，1)時(shí)，則k=-2，所以④滿足.故答案為：②④.11．【答案】【解析】分析：將拋物線的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，即可求得結(jié)果.詳解：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，可得.因此，拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是.故答案為：.12．【答案】7【解析】設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，因?yàn)辄c(diǎn)A到C的焦點(diǎn)的距離為10，所以由拋物線的定義知，解得，所以點(diǎn)A到y軸的距離為7，故答案為：7. 13．【答案】【解析】分析：將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式后可得結(jié)果.詳解：由得，所以，，所以拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故答案為：14．【答案】【解析】將拋物線的方程整理為標(biāo)準(zhǔn)形式，得，則該拋物線的焦點(diǎn)在y軸正半軸，坐標(biāo)為．故答案為：．15．【答案】3【解析】分析：由題意可知表示到與點(diǎn)的距離之和，根據(jù)拋物線的定義即可求得結(jié)果.詳解：由拋物線，可得焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為.的幾何意義是點(diǎn)到與點(diǎn) 的距離之和，根據(jù)拋物線的定義可知，點(diǎn)到的距離等于點(diǎn) 到的距離，所以的最小值為 .故答案為：3

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