一、x1x2＝eq \f(p2,4)，y1y2＝－p2的應用
例1 已知拋物線C的頂點是原點O，焦點F在x軸的正半軸上，經(jīng)過點F的直線與拋物線C交于A，B兩點，若eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝－12，則拋物線C的方程為( )
A．x2＝8y B．x2＝4y
C．y2＝8x D．y2＝4x
答案 C
解析 設(shè)拋物線為y2＝2px(p>0)，直線AB為x＝my＋eq \f(p,2)，
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則x1x2＝eq \f(p2,4)，y1y2＝－p2，
得eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝eq \f(p2,4)－p2＝－eq \f(3,4)p2＝－12，
得p＝4(舍負)，即拋物線C的方程為y2＝8x.
反思感悟 通過拋物線的特殊性質(zhì)，脫離于傳統(tǒng)的聯(lián)立方程組求解，較為迅速的得到結(jié)果．
跟蹤訓練1 過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點作一條直線交拋物線于點A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq \f(y1y2,x1x2)＝__________.
答案 －4
解析 方法一 拋物線y2＝2px(p>0)的焦點坐標為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，
設(shè)直線AB的方程為x＝my＋eq \f(p,2)，
將直線AB的方程與拋物線的方程聯(lián)立，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝my＋\f(p,2)，,y2＝2px，))
消去x得y2－2mpy－p2＝0，
由根與系數(shù)的關(guān)系得y1y2＝－p2.
由于點A，B均在拋物線上，
則eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y\\al(2,1)＝2px1，,y\\al(2,2)＝2px2，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＝\f(y\\al(2,1),2p)，,x2＝\f(y\\al(2,2),2p)，))
因此，eq \f(y1y2,x1x2)＝eq \f(y1y2,\f(y\\al(2,1),2p)·\f(y\\al(2,2),2p))＝eq \f(4p2,y1y2)＝－eq \f(4p2,p2)＝－4.
方法二 由焦點弦的性質(zhì)可得x1·x2＝eq \f(p2,4)，y1·y2＝－p2，
故eq \f(y1y2,x1x2)＝－4.
二、|AB|＝x1＋x2＋p＝eq \f(2p,sin2α)的應用
例2 拋物線的頂點在原點，以x軸為對稱軸，經(jīng)過焦點且傾斜角為135°的直線被拋物線所截得的弦長為8，試求拋物線的方程．
解 依題意可設(shè)拋物線的方程為y2＝2px(p>0)，則直線方程為y＝－x＋eq \f(p,2).
設(shè)直線交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，
則|AB|＝eq \f(2p,sin2135°)，
∴eq \f(2p,\f(1,2))＝8，∴p＝2，
故所求的拋物線方程為y2＝4x.
當拋物線方程設(shè)為y2＝－2px(p>0)時，同理可求得拋物線方程為y2＝－4x.
綜上，拋物線方程為y2＝±4x.
反思感悟 利用|AB|＝x1＋x2＋p＝eq \f(2p,sin2α)(α是直線AB的傾斜角，α≠0°)求解焦點弦的長度問題．
跟蹤訓練2 經(jīng)過拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點F，傾斜角為30°的直線l與C交于A，B兩點，若線段AB的中點M的橫坐標為7，那么p＝________.
答案 2
解析 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∵AB的中點M的橫坐標為7，∴x1＋x2＝14，
∴14＋p＝eq \f(2p,sin230°)，∴p＝2.
三、eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(2,p)為定值的應用
例3 過拋物線y2＝4x的焦點F的直線l與拋物線交于A，B兩點，若|AF|＝2|BF|，則|AB|等于( )
A．4 B.eq \f(9,2) C．5 D．6
答案 B
解析 因為|AF|＝2|BF|，eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(1,2|BF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(3,2|BF|)＝eq \f(2,p)＝1，解得|BF|＝eq \f(3,2)，|AF|＝3，
故|AB|＝|AF|＋|BF|＝eq \f(9,2).
反思感悟 將求弦長問題通過焦半徑與p之間的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為焦半徑問題．
跟蹤訓練3 如圖，過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F的直線交拋物線于點A，B，交其準線l于點C，若F是AC的中點，且|AF|＝4，則線段AB的長為( )
A．5 B．6 C.eq \f(16,3) D.eq \f(20,3)
答案 C
解析 如圖，過點A作AD⊥l于點D，|AD|＝|AF|＝eq \f(1,2)|AC|＝4，|OF|＝eq \f(p,2)＝4×eq \f(1,4)＝1，所以p＝2，
因為eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(2,p)，|AF|＝4，
所以|BF|＝eq \f(4,3)，
所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝4＋eq \f(4,3)＝eq \f(16,3).
四、以過焦點的弦AB為直徑的圓與準線相切的應用
例4 求證：以拋物線的焦點弦為直徑的圓必與拋物線的準線相切．
證明 如圖，作AA′⊥l于點A′，BB′⊥l于點B′，M為AB的中點，作MM′⊥l于點M′，
則由拋物線定義可知|AA′|＝|AF|，|BB′|＝|BF|，
在直角梯形BB′A′A中，
|MM′|＝eq \f(1,2)(|AA′|＋|BB′|)
＝eq \f(1,2)(|AF|＋|BF|)＝eq \f(1,2)|AB|，
即|MM′|等于以AB為直徑的圓的半徑．
故以AB為直徑的圓與拋物線的準線相切．
反思感悟 把焦點三角形的外接圓轉(zhuǎn)化為以弦AB為直徑的圓與準線相切，進行問題的求解．
跟蹤訓練4 拋物線y2＝2px(p>0)的焦點為F，M為拋物線上一點．若△OFM的外接圓與拋物線的準線相切(O為坐標原點)，且外接圓的面積為9π，則p等于( )
A．2 B．4 C．6 D．8
答案 B
解析 ∵△OFM的外接圓與拋物線的準線相切，
∴△OFM的外接圓的圓心到準線的距離等于圓的半徑．
∵外接圓的面積為9π，
∴外接圓的半徑為3.
又∵圓心在OF的垂直平分線上，|OF|＝eq \f(p,2)，
∴eq \f(p,2)＋eq \f(p,4)＝3，∴p＝4.
1．知識清單：拋物線焦點弦性質(zhì)的應用．
2．方法歸納：轉(zhuǎn)化法．
3．常見誤區(qū)：對焦點弦的性質(zhì)記憶混淆，導致出錯．
1．過拋物線C：y＝eq \f(1,8)x2的焦點F的直線交拋物線C于A，B兩點，線段AB的中點為Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a，\f(5,2)))，則|AB|等于( )
A.eq \f(81,16) B.eq \f(41,8) C．13 D．9
答案 D
解析 由題意可得拋物線的標準形式為x2＝8y，
所以準線方程為y＝－2，
由題意可得A，B的縱坐標之和為eq \f(5,2)×2＝5，
所以弦長|AB|＝5＋4＝9.
2．已知過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F且斜率為1的直線交拋物線于A，B兩點，|AF|·|BF|＝16，則p的值為( )
A．2 B．4 C．2eq \r(2) D．8
答案 C
解析 拋物線y2＝2px(p>0)的焦點為Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，
準線方程為x＝－eq \f(p,2)，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∴直線AB的方程為y＝x－eq \f(p,2)，
代入y2＝2px可得x2－3px＋eq \f(p2,4)＝0，
∴x1＋x2＝3p，x1x2＝eq \f(p2,4)，
由拋物線的定義可知，|AF|＝x1＋eq \f(p,2)，
|BF|＝x2＋eq \f(p,2)，
∴|AF|·|BF|＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1＋\f(p,2)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(p,2)))
＝x1x2＋eq \f(p,2)(x1＋x2)＋eq \f(p2,4)
＝eq \f(p2,4)＋eq \f(3,2)p2＋eq \f(p2,4)
＝2p2＝16，
解得p＝2eq \r(2).
3．過拋物線y2＝8x的焦點作直線l交拋物線于A，B兩點，若線段AB的中點的橫坐標為3，則|AB|＝________.
答案 10
解析 由題意知拋物線y2＝8x的焦點為F(2,0)，p＝4，
設(shè)A，B兩點坐標分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，
AB的中點的橫坐標為3，即eq \f(x1＋x2,2)＝3，
∴x1＋x2＝6，拋物線的焦點弦|AB|＝x1＋x2＋p＝10.
4．過拋物線y2＝4x的焦點作直線交拋物線于P(x1，y1)，Q(x2，y2)兩點，若x1＋x2＝6，則PQ中點M到拋物線準線的距離為________．
答案 4
解析 由拋物線的方程y2＝4x，可得p＝2，故它的焦點F(1,0)，準線方程為x＝－1.
由中點坐標公式可得PQ的中點Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2)))，
由于x1＋x2＝6，則M到準線的距離為eq \f(x1＋x2,2)＋1＝4.
1．過拋物線y2＝4x的焦點F作直線交該拋物線于A，B兩點，若|AF|＝3，則|BF|等于( )
A.eq \f(3,4) B．1 C.eq \f(3,2) D．2
答案 C
解析 方法一 拋物線的焦點F(1,0)，準線方程為x＝－1，設(shè)A(x，y)，
則|AF|＝x＋1＝3，故x＝2，
此時y＝±2eq \r(2)，即A(2，±2eq \r(2))，
則直線AF的斜率為k＝eq \f(±2\r(2),2－1)＝±2eq \r(2)，
所以方程為y＝±2eq \r(2)(x－1)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝±2\r(2)?x－1?，,y2＝4x，))得2x2－5x＋2＝0，
解得x＝2或x＝eq \f(1,2)，所以xB＝eq \f(1,2)，
則|BF|＝xB＋1＝eq \f(3,2).
方法二 因為p＝2，eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(2,p)，
所以|BF|＝eq \f(3,2).
2．已知AB是過拋物線2x2＝y(tǒng)的焦點的弦．若|AB|＝4，則AB中點的縱坐標是( )
A．1 B．2
C.eq \f(5,8) D.eq \f(15,8)
答案 D
解析 如圖所示，設(shè)線段AB的中點為P(x0，y0)，分別過A，P，B三點作準線l的垂線，垂足分別為A′，Q，B′，由題意得|AA′|＋|BB′|＝|AB|＝4，|PQ|＝eq \f(|AA′|＋|BB′|,2)＝2.
又|PQ|＝y(tǒng)0＋eq \f(1,8)，∴y0＋eq \f(1,8)＝2，∴y0＝eq \f(15,8).
3．已知拋物線y2＝4x的焦點為F，過點F作斜率為1的直線l交拋物線C于P，Q兩點，則eq \f(1,|PF|)＋eq \f(1,|QF|)的值為( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(7,8)
C．1 D．2
答案 C
解析 由拋物線焦點弦的性質(zhì)可得，eq \f(1,|PF|)＋eq \f(1,|QF|)＝eq \f(2,p)＝1.
4．已知F為拋物線C：y2＝6x的焦點，過點F的直線l與C相交于A，B兩點，且|AF|＝3|BF|，則|AB|等于( )
A．6 B．8 C．10 D．12
答案 B
解析 ∵|AF|＝3|BF|，且p＝3，
∴eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(4,3|BF|)＝eq \f(2,p)＝eq \f(2,3)，
∴|BF|＝2，|AF|＝6，
∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝8.
5．(多選)已知拋物線y2＝3x的焦點為F，過點F的直線l交拋物線C于A，B兩點，其中點A在第一象限，若弦AB的長為4，則直線l的傾斜角為( )
A．30° B．60° C．120° D．150°
答案 BC
解析 設(shè)直線l的傾斜角為θ，由結(jié)論|AB|＝eq \f(2p,sin2θ)可知sin2θ＝eq \f(3,4)，故sin θ＝eq \f(\r(3),2)，所以θ＝60°或θ＝120°.
6．(多選)已知A，B兩點均在焦點為F的拋物線y2＝2px(p>0)上，若|AF|＋|BF|＝4，線段AB的中點到直線x＝eq \f(p,2)的距離為1，則p的值為( )
A．1 B．2 C．3 D．6
答案 AC
解析 |AF|＋|BF|＝4?xA＋eq \f(p,2)＋xB＋eq \f(p,2)＝4?xA＋xB＝4－p?2x中＝4－p(x中為線段AB中點的橫坐標)，
因為線段AB的中點到直線x＝eq \f(p,2)的距離為1，
所以eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x中－\f(p,2)))＝1，所以|2－p|＝1?p＝1或3.
7．過拋物線y2＝4x的焦點作直線交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，若|AB|＝7，則AB的中點M到拋物線準線的距離為________．
答案 eq \f(7,2)
解析 拋物線的焦點為(1,0)，準線方程為x＝－1，p＝2.由拋物線的定義，知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋eq \f(p,2)＋x2＋eq \f(p,2)＝x1＋x2＋p，即x1＋x2＋p＝7，故x1＋x2＝5.于是弦AB的中點M的橫坐標為eq \f(5,2)，因此點M到拋物線準線的距離為eq \f(5,2)＋1＝eq \f(7,2).
8．過拋物線y2＝2x的焦點F的直線交拋物線于A，B兩點，若|AB|＝eq \f(25,12)，|AF|0)，
根據(jù)題意拋物線過點(250,156.25)
即2502＝2p×156.25，
所以p＝200，
故拋物線C的方程為x2＝400y.
又由題意可知，求過F點最小的弦長PQ，
根據(jù)拋物線的性質(zhì)，拋物線的通徑是最短的弦長，即當PQ與y軸垂直時弦長最短，
由x2＝400y，則焦點F為(0,100)，
故當y＝100時，x2＝400×100＝40 000，
所以x＝±200，
所以PQmin＝200×2＝400，
故從入射點P到反射點Q的路程最短為400 m，此時點P(±200,100)．
16.如圖，已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點為F，若過點F且斜率為1的直線與拋物線相交于M，N兩點，且|MN|＝8.
(1)求拋物線C的方程；
(2)設(shè)直線l為拋物線C的切線，且l∥MN，P為l上一點，求eq \(PM,\s\up6(→))·eq \(PN,\s\up6(→))的最小值．
解 (1)由題意可知Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，
則該直線方程為y＝x－eq \f(p,2)，
代入y2＝2px(p>0)，得x2－3px＋eq \f(p2,4)＝0.
設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則有x1＋x2＝3p.
∵|MN|＝8，∴x1＋x2＋p＝8，
即3p＋p＝8，解得p＝2，
∴拋物線C的方程為y2＝4x.
(2)設(shè)直線l的方程為y＝x＋b，代入y2＝4x，
得x2＋(2b－4)x＋b2＝0.
∵直線l為拋物線C的切線，
∴Δ＝0，解得b＝1.
∴直線l的方程為y＝x＋1.
由(1)可知x1＋x2＝6，x1x2＝1.
設(shè)P(m，m＋1)，
則eq \(PM,\s\up6(→))＝(x1－m，y1－(m＋1))，eq \(PN,\s\up6(→))＝(x2－m，y2－(m＋1))，
∴eq \(PM,\s\up6(→))·eq \(PN,\s\up6(→))＝(x1－m)(x2－m)＋[y1－(m＋1)]·[y2－(m＋1)]＝x1x2－m(x1＋x2)＋m2＋y1y2－(m＋1)·(y1＋y2)＋(m＋1)2.
∵x1＋x2＝6，x1x2＝1，
∴(y1y2)2＝16x1x2＝16，y1y2＝－4.
∵yeq \\al(2,1)－yeq \\al(2,2)＝4(x1－x2)，
∴y1＋y2＝4×eq \f(x1－x2,y1－y2)＝4，
∴eq \(PM,\s\up6(→))·eq \(PN,\s\up6(→))＝1－6m＋m2－4－4(m＋1)＋(m＋1)2＝2(m2－4m－3)＝2[(m－2)2－7]≥－14，當且僅當m＝2，即點P的坐標為(2,3)時，eq \(PM,\s\up6(→))·eq \(PN,\s\up6(→))取得最小值，最小值為－14.

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高中數(shù)學人教B版 (2019)選擇性必修 第一冊電子課本

2.7.1 拋物線的標準方程

版本： 人教B版 (2019)

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