數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)2.7.1 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程導(dǎo)學(xué)案-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．使學(xué)生掌握拋物線的定義，標(biāo)準(zhǔn)方程及其推導(dǎo)過程；
2．根據(jù)定義畫出拋物線的草圖
3．使學(xué)生能熟練地運(yùn)用坐標(biāo)，進(jìn)一步提高學(xué)生“應(yīng)用數(shù)學(xué)”的水平【學(xué)習(xí)過程】一、求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程活動(dòng)與探究1根據(jù)下列條件寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)經(jīng)過點(diǎn)(－3，－1)；(2)焦點(diǎn)為直線3x－4y－12＝0與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)．遷移與應(yīng)用動(dòng)圓P與定圓A：(x＋2)2＋y2＝1外切，且與直線l：x＝1相切，求動(dòng)圓圓心P的軌跡方程．求拋物線方程的方法：(1)定義法：直接利用定義求解；(2)待定系數(shù)法：若已知拋物線的焦點(diǎn)位置，則可設(shè)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出p值即可；若拋物線的焦點(diǎn)位置不確定，則要分情況討論．另外，焦點(diǎn)在x軸上的拋物線方程可統(tǒng)一設(shè)成y2＝ax(a≠0)，焦點(diǎn)在y軸上的拋物線方程可統(tǒng)一設(shè)成x2＝ay(a≠0)．二、由拋物線方程求焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程活動(dòng)與探究2已知下列拋物線的方程，分別求其焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程：(1)y2＝8x；(2)2x2＋5y＝0；(3)y2＝ax(a＞0)．遷移與應(yīng)用1．拋物線y＝4x2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(　　)A．(1,0) B．C． D．2．求以原點(diǎn)為頂點(diǎn)，坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，并且經(jīng)過點(diǎn)P(－2，－4)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線、焦點(diǎn)坐標(biāo)．如果已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，求它的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程時(shí)，首先要判斷拋物線的對(duì)稱軸和開口方向，一次項(xiàng)的變量若為x(或y)，則x軸(或y軸)是拋物線的對(duì)稱軸，一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)決定開口方向．注意焦點(diǎn)與準(zhǔn)線在原點(diǎn)的兩側(cè)，它們與原點(diǎn)的距離均等于一次項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值的．三、拋物線定義的應(yīng)用活動(dòng)與探究3(1)設(shè)圓C與圓x2＋(y－3)2＝1外切，與直線y＝0相切，則C的圓心軌跡為(　　)A．拋物線 B．雙曲線C．橢圓 D．圓(2)設(shè)M(x0，y0)為拋物線C：x2＝8y上一點(diǎn)，F為拋物線C的焦點(diǎn)，以F為圓心、|FM|為半徑的圓和拋物線C的準(zhǔn)線相交，則y0的取值范圍是(　　)A．(0,2) B．[0,2]C．(2，＋∞) D．[2，＋∞) 遷移與應(yīng)用1．若拋物線y2＝4x上有一點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離為5，且點(diǎn)P在直線x＋y－3＝0的上方，則P的坐標(biāo)為__________．2．拋物線x2＝ay過點(diǎn)A，則點(diǎn)A到此拋物線焦點(diǎn)的距離為__________．在解答有關(guān)拋物線上任意一點(diǎn)P(x0，y0)到焦點(diǎn)F的距離(常稱為焦半徑)的問題時(shí)，我們有以下結(jié)論(p＞0)：(1)對(duì)于拋物線y2＝2px，|PF|＝＋x0；(2)對(duì)于拋物線y2＝－2px，|PF|＝－x0；(3)對(duì)于拋物線x2＝2py，|PF|＝＋y0；(4)對(duì)于拋物線x2＝－2py，|PF|＝－y0．四、與拋物線有關(guān)的最值問題活動(dòng)與探究4已知拋物線的方程為x2＝8y，F是焦點(diǎn)，點(diǎn)A(－2,4)，在此拋物線上求一點(diǎn)P，使|PF|＋|PA|的值最小．遷移與應(yīng)用1．已知點(diǎn)P在拋物線y2＝4x上，那么點(diǎn)P到點(diǎn)Q(2，－1)的距離與點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)的距離之和取得最小值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(　　)A． B．C．(1,2) D．(1，－2)2．已知拋物線y2＝2px(p＞0)上的一點(diǎn)M到定點(diǎn)A和焦點(diǎn)F的距離之和的最小值等于5，求拋物線的方程．解關(guān)于拋物線的最值、定值問題時(shí)，首先要注意拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離的轉(zhuǎn)化，其次是注意平面幾何知識(shí)的應(yīng)用，例如兩點(diǎn)之間線段最短、三角形中三邊之間的不等關(guān)系、點(diǎn)與直線上點(diǎn)的連線中垂線段最短等．四、參考答案課前·預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)預(yù)習(xí)導(dǎo)引1．距離相等　焦點(diǎn)　準(zhǔn)線預(yù)習(xí)交流1　(1)提示：軌跡是過定點(diǎn)F且垂直于定直線l的一條直線．(2)提示：B2．y2＝2px(p＞0)　　x＝－　y2＝－2px(p＞0)　　x＝　x2＝2py(p＞0)　　y＝－　x2＝－2py(p＞0)　　y＝預(yù)習(xí)交流2　(1)提示：以y2＝2px(p＞0)為例，焦點(diǎn)是，準(zhǔn)線方程是x＝－，所以p是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離．(2)提示：一次項(xiàng)變量為x(或y)，則焦點(diǎn)在x軸(或y軸)上；若系數(shù)為正，則焦點(diǎn)在正半軸上；若系數(shù)為負(fù)，則焦點(diǎn)在負(fù)半軸上；焦點(diǎn)確定，開口方向也隨之確定．(3)提示：(－1,0)　x＝1　左【合作探究】問題導(dǎo)學(xué)活動(dòng)與探究1　思路分析：(1)點(diǎn)在第三象限，則拋物線的焦點(diǎn)可能在x軸的負(fù)半軸上，也可能在y軸的負(fù)半軸上，按這兩種情況進(jìn)行討論；(2)直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)有兩個(gè)，分情況討論焦點(diǎn)的位置，從而確定拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．解：(1)∵點(diǎn)(－3，－1)在第三象限，∴設(shè)所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝－2px(p＞0)或x2＝－2py(p＞0)．若拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝－2px(p＞0)，則由(－1)2＝－2p×(－3)，解得p＝；若拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝－2py(p＞0)，則由(－3)2＝－2p×(－1)，解得p＝．∴所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝－x或x2＝－9y．(2)對(duì)于直線方程3x－4y－12＝0，令x＝0，得y＝－3；令y＝0，得x＝4，∴所求拋物線的焦點(diǎn)為(0，－3)或(4,0)．當(dāng)焦點(diǎn)為(0，－3)時(shí)，＝3，∴p＝6，此時(shí)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝－12y；當(dāng)焦點(diǎn)為(4,0)時(shí)，＝4，∴p＝8，此時(shí)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝16x．∴所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝－12y或y2＝16x．遷移與應(yīng)用　1．解：如圖，設(shè)動(dòng)圓圓心P(x，y)，過點(diǎn)P作PD⊥l于點(diǎn)D，作直線l′：x＝2，過點(diǎn)P作PD′⊥l′于點(diǎn)D′，連接PA．設(shè)圓A的半徑為r，動(dòng)圓P的半徑為R，可知r＝1．∵圓P與圓A外切，∴|PA|＝R＋r＝R＋1．又∵圓P與直線l：x＝1相切，∴|PD′|＝|PD|＋|DD′|＝R＋1．∵|PA|＝|PD′|，即動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)A與到定直線l′距離相等，∴點(diǎn)P的軌跡是以A為焦點(diǎn)，以l′為準(zhǔn)線的拋物線．設(shè)拋物線的方程為y2＝－2px(p＞0)，可知p＝4，∴所求的軌跡方程為y2＝－8x．活動(dòng)與探究2　思路分析：解答本題可先把原方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程，求得參數(shù)p，再求焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程．解：(1)∵p＝4，∴所求拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0)，準(zhǔn)線方程是x＝－2．(2)2x2＋5y＝0化為x2＝－y，且拋物線開口向下，∴p＝．∴拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程是y＝．(3)由于a＞0，∴p＝，∴拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為x＝－．遷移與應(yīng)用　1．D　解析：原方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝y，焦點(diǎn)在y軸上，且p＝，∴拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為．2．解：由已知設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是x2＝－2py(p＞0)或y2＝－2px(p＞0)，把P(－2，－4)代入x2＝－2py或y2＝－2px得p＝或p＝4，故所求的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是x2＝－y或y2＝－8x．當(dāng)拋物線方程是x2＝－y時(shí)，焦點(diǎn)坐標(biāo)是F，準(zhǔn)線方程是y＝．當(dāng)拋物線方程是y2＝－8x時(shí)，焦點(diǎn)坐標(biāo)是F(－2,0)，準(zhǔn)線方程是x＝2．活動(dòng)與探究3　(1)思路分析：利用圓與圓外切、直線與圓相切的幾何條件求軌跡．A　解析：由題意知?jiǎng)訄A圓心C到點(diǎn)(0,3)距離與到定直線y＝－1的距離相等，∴C的圓心軌跡是拋物線．(2)思路分析：利用拋物線的定義將|FM|轉(zhuǎn)化為點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離，再利用直線與圓相交的條件求解．C　解析：由拋物線方程為x2＝8y，得焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2)，準(zhǔn)線方程為y＝－2，則|FM|等于點(diǎn)M到準(zhǔn)線y＝－2的距離，∴|FM|＝y0＋2．又圓與準(zhǔn)線相交，∴|FM|＝y0＋2＞4．∴y0＞2．遷移與應(yīng)用　1．(4,4)　解析：設(shè)P的坐標(biāo)為(x0，y0)，∵拋物線方程為y2＝4x，∴準(zhǔn)線方程為x＝－1．∴|PF|＝x0＋1＝5．∴x0＝4．代入拋物線方程，得y＝4x0＝16，∴y0＝±4．又∵P在直線x＋y－3＝0的上方，∴P的坐標(biāo)為(4,4)．2．　解析：把點(diǎn)A代入拋物線方程得a＝4，即拋物線方程為x2＝4y，準(zhǔn)線方程為y＝－1．由拋物線定義，得|AF|＝1＋＝．活動(dòng)與探究4　思路分析：根據(jù)拋物線的定義把|PF|轉(zhuǎn)化為點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離，畫出圖形，通過觀察圖形，利用“數(shù)形結(jié)合”的思想即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．解：∵(－2)2＜8×4，∴點(diǎn)A(－2,4)在拋物線x2＝8y的內(nèi)部．如圖，設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為l，過點(diǎn)P作PQ⊥l于點(diǎn)Q，過點(diǎn)A作AB⊥l于點(diǎn)B，由拋物線的定義可知：|PF|＋|PA|＝|PQ|＋|PA|≥|AQ|≥|AB|，當(dāng)且僅當(dāng)P，Q，A三點(diǎn)共線時(shí)，|PF|＋|PA|取得最小值，即為|AB|．∵A(－2,4)，∴不妨設(shè)|PF|＋|PA|的值最小時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－2，y0)，代入x2＝8y，得y0＝．故使|PF|＋|PA|的值最小的拋物線上的點(diǎn)P的坐標(biāo)為．遷移與應(yīng)用　1．A解析：點(diǎn)Q(2，－1)在拋物線內(nèi)部，如圖所示．由拋物線的定義知，拋物線上的點(diǎn)P到點(diǎn)F的距離等于點(diǎn)P到準(zhǔn)線x＝－1的距離，過Q點(diǎn)作x＝－1的垂線，與拋物線交于K，則K為所求，當(dāng)y＝－1時(shí)，x＝，∴P為．2．解：(1)當(dāng)點(diǎn)A在拋物線內(nèi)部時(shí)，42＜2p·，即p＞時(shí)，|MF|＋|MA|＝|MA′|＋|MA|．當(dāng)A，M，A′共線時(shí)(如圖中A，M′，A″共線時(shí))，(|MF|＋|MA|)min＝5．故＝5－＝p＝3，滿足3＞，所以拋物線方程為y2＝6x．(2)當(dāng)點(diǎn)A在拋物線外部或在拋物線上時(shí)，42≥2p·，即0＜p≤時(shí)，連接AF交拋物線于點(diǎn)M，此時(shí)(|MA|＋|MF|)最小，即|AF|min＝5，2＋42＝25，－＝±3p＝1或p＝13(舍去)．故拋物線方程為y2＝2x．綜上，拋物線方程為y2＝6x或y2＝2x．當(dāng)堂檢測(cè)1．拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為(　　)A．1 B．2 C．4 D．8答案：B　解析：由y2＝4x得焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，準(zhǔn)線方程為x＝－1，∴焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2．2．以雙曲線的右頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為(　　)A．y2＝16x B．y2＝12xC．y2＝－20x D．y2＝20x答案：A　解析：由已知拋物線的焦點(diǎn)為(4,0)，則設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝2px(p＞0)．∴，p＝8．∴所求方程為y2＝16x．3．已知?jiǎng)狱c(diǎn)M(x，y)的坐標(biāo)滿足，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是(　　)A．橢圓B．雙曲線C．拋物線D．以上均不對(duì)答案：C　解析：設(shè)F(2,0)，l：x＝－2，則M到F的距離為，M到直線l：x＝－2的距離為|x＋2|，又＝|x＋2|，所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是以F(2,0)為焦點(diǎn)，l：x＝－2為準(zhǔn)線的拋物線．4．設(shè)拋物線y2＝8x上一點(diǎn)P到y軸的距離是4，則點(diǎn)P到該拋物線焦點(diǎn)的距離是__________．答案：6　解析：由題意知P到拋物線準(zhǔn)線的距離為4－(－2)＝6，由拋物線的定義知，點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)的距離也是6．5．拋物線x2＝4y上一點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為4，則點(diǎn)A與拋物線焦點(diǎn)的距離為__________．答案：5　解析：由x2＝4y知其準(zhǔn)線方程為y＝－1，根據(jù)拋物線定義，點(diǎn)A與焦點(diǎn)的距離等于點(diǎn)A到準(zhǔn)線的距離，其距離為4－(－1)＝5．

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高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)選擇性必修第一冊(cè)電子課本

2.7.1 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程

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