【名師】2.7.1 拋物線的標準方程-1練習一．填空題1．已知雙曲線的一個焦點與拋物線的焦點重合，則該雙曲線的離心率為__________.2．拋物線（）上的一點到其焦點F的距離______.3．已知拋物線的焦點為，為上一點，以為圓心，為半徑的圓交的準線于，兩點，若，，三點共線，且，則拋物線的準線方程為_______．4．已知拋物線與圓相交于點，點關于原點對稱的點為若過點的直線(且不過點)與拋物線交于兩點，則直線與的斜率之積為___________.5．一條拋物線把平面劃分為二個區(qū)域，如果一個平面圖形完全落在拋物線含有焦點的區(qū)域內，我們就稱此平面圖形被該拋物線覆蓋.那么下列命題中，正確的是___________.(填寫序號)（1）任意一個多邊形所圍區(qū)域總能被某一條拋物線覆蓋；（2）與拋物線對稱軸不平行？不共線的射線不能被該拋物線覆蓋；（3）射線繞其端點轉動一個銳角所掃過的角形區(qū)域可以被某二條拋物線覆蓋；（4）任意有限多條拋物線都不能覆蓋整個平面.6．若拋物線上一點到其準線的距離為4，則拋物線的標準方程為___________.7．已知函數(shù)（，且）的圖象恒過定點，且點在拋物線上，設該拋物線的焦點為，準線為，則以點為圓心，且與相切的圓方程為___________.8．已知拋物線：的焦點為，拋物線上一點滿足，則以點為圓心，為半徑的圓被軸所截得的弦長為______．9．已知拋物線的焦點是圓的圓心，則拋物線的準線方程是__________ ．10．已知拋物線C：的焦點為F（O為坐標原點），過點F的直線交拋物線C于點A．B，若，則的面積為__________．11．已知拋物線的焦點為，點在上，且，則的坐標是______．12．已知是拋物線的焦點，是的準線與軸的交點，，分別是與上的動點，當四邊形是梯形且時，該梯形的一內角為，面積為，則________．13．以拋物線的焦點為圓心，且與直線(為參數(shù)）相切的圓的標準方程是____________.14．已知拋物線的焦點與橢圓的一個焦點重合，過坐標原點作兩條互相垂直的射線，與分別交于，則直線過定點______．15．已知拋物線的焦點為為上一點，以為圓心，為半徑的圓交的準線于兩點，若三點共線，則_____________．
參考答案與試題解析1．【答案】2【解析】設拋物線的焦點為F，，，，故答案為：.2．【答案】5.【解析】分析：將點坐標代入方程中可求得拋物線的方程，從而可得到焦點坐標，進而可求出詳解：解：為拋物線上 一點，即有，，拋物線的方程為，焦點為，即有.故答案為：5.3．【答案】【解析】解：設中點為，因為，，三點共線，則為圓的直徑，即，所以，由拋物線的定義可得，為的中位線，所以，則拋物線的準線方程為：.故答案為：.4．【答案】【解析】在圓上，，解得：；在拋物線上，，，，解得：，拋物線方程為：；由題意可知：，易知直線斜率存在，設，由得：，則，解得：或，設，，則，，，，，，.故答案為：.5．【答案】（1）（2）（4）【解析】分析：由平面圖形被該拋物線覆蓋的定義逐項分析判斷即可詳解：解：由拋物線的圖像和性質可知，由于任意一個多邊形所圍區(qū)域沿著拋物線頂點出發(fā)向拋物線對稱軸所在直線平移，總能把有限的區(qū)域放入拋物線內部，所以（1）正確；由于過拋物線內部一點的直線（不平行于軸）與拋物線都有兩個交點，故拋物線無法覆蓋一條直線，也不能覆蓋與軸不平行．不共線的射線，所以（2）正確；由于銳角是由兩條不平行的射線組成，故拋物線不能覆蓋任何一個銳角，所以（3）錯誤；取一條直線，使它不平行于任一拋物線的對稱軸，根據(jù)拋物線的圖像和性質可知直線上的點不能被完全覆蓋，如圖，因為一條直線若被拋物線覆蓋，它必須是拋物線的對稱軸，所以任意有限多條拋物線都不能覆蓋整個平面，所以（4）正確故答案為：（1）（2）（4）【點睛】關鍵點點睛：此題考查新定義，考查拋物線的性質的應用，解題的關鍵是對新定義的正確理解，屬于中檔題6．【答案】【解析】拋物線的準線方程為，點到其準線的距離為，由題意可得，解得，故拋物線的標準方程為.故答案為：.7．【答案】【解析】分析：首先求出點的坐標，代入拋物線方程可得的值，即可得拋物線的方程，進而可求出點坐標和直線的方程，利用直線與圓相切即可得半徑，進而可得圓的標準方程.詳解：有題意可知恒過點，將點代入可得，解得：，所以拋物線為，焦點坐標，準線方程為：，到準線的距離為，所以所求圓的半徑為所以以點為圓心，且與相切的圓的方程為：，故答案為：.8．【答案】【解析】由拋物線方程可得，由拋物線定義可得，， 則以點為圓心，為半徑的圓被軸所截得的弦長為.故答案為：.9．【答案】【解析】分析：由圓的一般式方程得圓的圓心為,進而得準線方程是．詳解：將圓的一般式方程化為標準方程得所以圓心是,于是拋物線的焦點是故故其準線方程是．故答案為: ．10．【答案】【解析】， 設直線的方程為，由可得，所以因為所以，所以所以，解得，即所以點到直線的距離為所以的面積為故答案為：11．【答案】或【解析】分析：設，根據(jù)拋物線的定義可得，解出即可.詳解：設，由拋物線的定義，，又，所以，代入得：，故或．故答案為：或12．【答案】或【解析】根據(jù)拋物線的圖象特征可知，當四邊形是梯形時，，且，當時，如圖1所示，過作于，則，設，則，由拋物線的定義可知，，所以，．由，解得或（舍去），當時，如圖2所示，過作于，設，則，，所以，由拋物線的定義可知，，所以，，所以．由，解之得或（舍去）．綜上可知或．故答案為：或.13．【答案】【解析】分析：將拋物線方程化為標準方程,直線參數(shù)方程化為普通方程,結合點到直線的距離公式求得圓的半徑,進而得答案.詳解：解：將拋物線方程化為標準方程得，所以焦點坐標為，將直線的參數(shù)方程化為普通方程得，所以點到直線的距離為，所以所求圓的方程為.故答案為：14．【答案】【解析】因為拋物線的焦點與橢圓的一個焦點重合，所以所以拋物線的方程為.設的方程為與拋物線的方程聯(lián)立得，同理，的方程為與拋物線的方程聯(lián)立得點，故直線的斜率，故直線的方程為整理得，故直線過定點；當時，直線的方程為也過點，綜上可知，直線過定點.故答案為：.15．【答案】【解析】設中點為，因為三點共線，則為圓的直徑，即 所以，由拋物線的定義可得，由，則，為的中位線，所以，解得，所以.故答案為： 

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2.7.1 拋物線的標準方程

版本： 人教B版 (2019)

年級： 選擇性必修 第一冊

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