【基礎(chǔ)】2.5.1 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程優(yōu)選練習(xí)一．填空題1．若橢圓：（）與橢圓：（）的焦距相等，給出如下四個(gè)結(jié)論：①和一定有交點(diǎn)；②若，則；③若，則；④設(shè)與在第一象限內(nèi)相交于點(diǎn)，若，則．其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是______．2．橢圓的短軸長為___________.3．已知，是橢圓的焦點(diǎn)，若橢圓C上存在點(diǎn)P，使，則橢圓C的離心率的取值范圍是_______．4．直線（為參數(shù)），點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)，則橢圓上點(diǎn)到直線的最大距離為______.5．已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，過的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，若，，則橢圓的離心率為__________．6．已知橢圓的左焦點(diǎn)為，，點(diǎn)滿足，則直線的斜率取值范圍是_______.7．已知一動(dòng)圓C內(nèi)切于圓，且過定點(diǎn)，則動(dòng)圓圓心C的軌跡方程是_____________.8．橢圓的左．右焦點(diǎn)分別為，，直線經(jīng)過交橢圓于，兩點(diǎn)，則的周長為__________.9．已知橢圓的左．右焦點(diǎn)分別是，，是上的點(diǎn).若，則的值為______.10．直線與橢圓有公共點(diǎn)，則的取值范圍是_______．11．如圖，將桌面上裝有液體的圓柱形杯子傾斜角（母線與豎直方向所成角）后，液面呈橢圓形，當(dāng)時(shí)，該橢圓的離心率為____________.12．已知橢圓內(nèi)一點(diǎn)，過點(diǎn)的兩條直線分別與橢圓交于和兩點(diǎn)，且滿足（其中），若變化時(shí)直線的斜率總為，則橢圓的離心率為__________.13．已知橢圓的中心在原點(diǎn)．對稱軸為兩坐標(biāo)軸,且一個(gè)焦點(diǎn)為,離心率為,則該橢圓的方程是________.14．已知橢圓右頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，該橢圓上一點(diǎn)與的連線的斜率，中點(diǎn)為，記的斜率為，且滿足.若．分別是軸．軸負(fù)半軸上的動(dòng)點(diǎn)，且四邊形的面積為2，則三角形面積的最大值是______.15．關(guān)于的實(shí)系數(shù)一元二次方程的兩個(gè)虛根為．，若．在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)是經(jīng)過原點(diǎn)的橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則該橢圓的長軸長為__________．
參考答案與試題解析1．【答案】②④【解析】通過時(shí)的圖像可知和沒有交點(diǎn)，根據(jù)兩橢圓相同，結(jié)合，得到，根據(jù)分析法得到所需條件與矛盾，根據(jù)橢圓對稱性，結(jié)合得到兩橢圓之間離心率的關(guān)系，從而得到.詳解：對于結(jié)論①，當(dāng)時(shí)，橢圓的圖像完全在橢圓的內(nèi)部，此時(shí)和沒有交點(diǎn)，所以①錯(cuò)誤；對于結(jié)論②，因?yàn)閮蓹E圓的焦距相等，即相等，可得，因?yàn)?/span>，所以得到由可得，所以得到，所以得到，所以②正確；對于結(jié)論③，由可得，即，即，從而得到，與條件中的矛盾，所以③錯(cuò)誤；對于結(jié)論④，因?yàn)閮蓹E圓的相同，若兩橢圓的離心率相同，則根據(jù)對稱性可知，兩橢圓在第一象限的交點(diǎn)，其橫縱坐標(biāo)應(yīng)相等，而此時(shí)與在第一象限內(nèi)相交于點(diǎn)，，則橢圓更接近圓，或橢圓更扁，即，所以，得到，所以④正確.故答案為：②④.【點(diǎn)睛】本題考查焦距相等的橢圓間的關(guān)系，橢圓的幾何性質(zhì)，根據(jù)橢圓的形狀判斷離心率的大小，考查了化歸與轉(zhuǎn)化的思想，屬于中檔題.2．【答案】【解析】分析：根據(jù)橢圓方程確定焦點(diǎn)位置求解.詳解：因?yàn)?/span>，所以橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，所以，則橢圓的短軸長為.故答案為：3．【答案】【解析】分析：設(shè)，由數(shù)量積的坐標(biāo)表示得出，再由點(diǎn)P在橢圓上得出，聯(lián)立兩個(gè)方程得出，再由化簡得出，結(jié)合離心率的公式即可求解.詳解：設(shè)，則①將代入①式解得又，即.故答案為：4．【答案】【解析】將直線的參數(shù)方程改為直線的一般方程，設(shè)橢圓上點(diǎn)坐標(biāo)，利用點(diǎn)到直線的距離公式進(jìn)行計(jì)算可得最大值.詳解：由得，得，設(shè)，則點(diǎn)到的距離，其中.即橢圓上點(diǎn)到直線的最大距離為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的參數(shù)方程的應(yīng)用，考查點(diǎn)到直線距離公式的應(yīng)用，考查正弦函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.5．【答案】【解析】分析：根據(jù)的周長為并結(jié)合題意可知，然后根據(jù)，進(jìn)行計(jì)算可得結(jié)果.詳解：如圖由的周長為，，所以又所以則則化簡可得所以，故又，所以故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查橢圓離心率，重在對問題的分析，抓住細(xì)節(jié)，同時(shí)考查計(jì)算能力，屬中檔題.6．【答案】【解析】分析：根據(jù)，可得點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算直線的斜率，然后根據(jù)，化簡，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性可得結(jié)果.詳解：設(shè)，由，則所以，則，又則直線的斜率由，所以令，，則又令，，所以可知在單調(diào)遞增所以，則所以直線的斜率取值范圍是故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查橢圓與導(dǎo)數(shù)的結(jié)合，本題難點(diǎn)在于表示直線的斜率，考查分析能力以及計(jì)算能力，屬中檔題.7．【答案】【解析】分析：依據(jù)題意列出式子，結(jié)合橢圓的定義可知結(jié)果.詳解：圓的圓心，由題可知：，所以可知圓心C的軌跡為焦點(diǎn)在軸上的橢圓設(shè)橢圓方程為所以，則，所以所以橢圓方程為：故答案為：8．【答案】20【解析】根據(jù)橢圓的定義可知，，求橢圓的周長.詳解：由橢圓的焦點(diǎn)在軸上，，，∴，，∴的周長為.故答案為：20【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的定義，重點(diǎn)考查定義的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題型.9．【答案】【解析】分析：根據(jù)橢圓的定義寫出與，然后代入求解，即可求出.詳解：由題意可知，，由橢圓的定義知，，則，所以.故答案為：.10．【答案】【解析】將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去，得到關(guān)于的一元二次方程，方程有兩個(gè)解，，解不等式，即可求解。詳解：聯(lián)立整理得.因?yàn)橹本€與橢圓有公共點(diǎn)，所以，解得或.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，轉(zhuǎn)化為方程解的個(gè)數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.11．【答案】【解析】由圖知橢圓的短軸長為圓柱的直徑，橢圓的長半軸與底面半徑構(gòu)成夾角為的直角三角形，由此可求得橢圓離心率.詳解：設(shè)圓柱形杯子的底面半徑為，畫示意圖如圖所示：則是橢圓的長半軸長，是橢圓的短半軸長，則，又，則. 故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了圓柱的截面為橢圓的問題，根據(jù)橢圓的性質(zhì)求出橢圓的離心率，考查了學(xué)生的分析能力，空間想象能力，屬于中檔題.12．【答案】【解析】分析：設(shè)，由共線向量的坐標(biāo)運(yùn)算，得，由點(diǎn)差法結(jié)合直線的斜率得出，兩者比較可得的等式，從而求得離心率．詳解：設(shè)，∵，∴，則，∴，同理，∴，∴，∵在橢圓上，∴，，相減可得，即，則①，同理可得②，①+②得，又，∴，∴，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查求橢圓的離心率，向量的坐標(biāo)運(yùn)算，設(shè)出四點(diǎn)坐標(biāo)，由點(diǎn)差法利用斜率得出四點(diǎn)的坐標(biāo)間的關(guān)系，由向量的坐標(biāo)運(yùn)算得出四點(diǎn)的坐標(biāo)間的關(guān)系，兩者比較后得的等量關(guān)系，從而求得離心率．本題旨在考查學(xué)生運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．13．【答案】.【解析】因?yàn)闄E圓的一個(gè)一個(gè)焦點(diǎn)為,可得,根據(jù)離心率為,可得,即可求得答案.詳解：橢圓的一個(gè)一個(gè)焦點(diǎn)為可得設(shè)橢圓方程為:,可得根據(jù)橢圓方程為:故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查了求橢圓方程,解題關(guān)鍵是掌握橢圓方程的基礎(chǔ)知識(shí),考查了分析能力和計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.14．【答案】【解析】分析：解：先得到，再求出，，接著建立方程，并得到不等式，最后求三角形面積的最大值即可.詳解：解：設(shè)，，中點(diǎn)，則有，，兩式相減得，即，則，由為橢圓右頂點(diǎn)，所以，又，，得到，.設(shè)，，，，則由四邊形的面積為2，又為上頂點(diǎn)，則，即，由基本不等式得，解不等式得，所以三角形的面積，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào).故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的面積問題．橢圓中的定值問題．基本不等式求最值問題，是偏難題.15．【答案】【解析】分析：由題意兩個(gè)虛數(shù)根，是共軛復(fù)數(shù)，可得橢圓的短軸長：，焦距為，然后求出長軸長．詳解：因?yàn)?/span>為實(shí)數(shù)，，，為虛數(shù)，所以，即，解得．由，為共軛復(fù)數(shù)，知，關(guān)于軸對稱，所以橢圓短軸在軸上，又由橢圓經(jīng)過原點(diǎn)，可知原點(diǎn)為橢圓短軸的一端點(diǎn)，根據(jù)橢圓的性質(zhì)，復(fù)數(shù)加，減法幾何意義及一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，可得橢圓的短軸長，焦距，長軸長，故答案為：． 

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2.5.1 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

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