橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．通過(guò)橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．2．借助于標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過(guò)程，提升邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．【學(xué)習(xí)重難點(diǎn)】1．掌握橢圓的定義，會(huì)用橢圓的定義解決實(shí)際問(wèn)題．（重點(diǎn)）2．掌握用定義法和待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．（重點(diǎn)）3．理解橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過(guò)程，并能運(yùn)用標(biāo)準(zhǔn)方程解決相關(guān)問(wèn)題．（難點(diǎn)）【學(xué)習(xí)過(guò)程】一、新知初探1．橢圓的定義（1）定義：如果F1，F2是平面內(nèi)的兩個(gè)定點(diǎn)，a是一個(gè)常數(shù)，且2a＞|F1F2|，則平面內(nèi)滿(mǎn)足|PF1|＋|PF2|＝2a的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡稱(chēng)為橢圓．（2）相關(guān)概念：兩個(gè)定點(diǎn)F1，F2稱(chēng)為橢圓的焦點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)之間的距離|F1F2|稱(chēng)為橢圓的焦距．條件結(jié)論2a＞|F1F2|動(dòng)點(diǎn)的軌跡是橢圓2a＝|F1F2|動(dòng)點(diǎn)的軌跡是線(xiàn)段F1F22a＜|F1F2|動(dòng)點(diǎn)不存在，因此軌跡不存在2．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)位置在x軸上在y軸上標(biāo)準(zhǔn)方程＋＝1（a＞b＞0）＋＝1（a＞b＞0）圖形焦點(diǎn)坐標(biāo)（±c,0）（0，±c）a，b，c的關(guān)系a2＝b2＋c2二、初試身手1．思考辨析（正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”）（1）平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F2的距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是橢圓．（    ）（2）橢圓＋＝1的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（±3,0）．（    ）（3）＋＝1（a≠b）表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓．（    ）2．以下方程表示橢圓的是（    ）A．x2＋y2＝1B．2x2＋3y2＝6C．x2－y2＝1D．2x2－3y2＝63．以坐標(biāo)軸為對(duì)稱(chēng)軸，兩焦點(diǎn)的距離是2，且過(guò)點(diǎn)（0,2）的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（    ）A．＋＝1B．＋＝1C．＋＝1或＋＝1D．＋＝1或＋＝14．橢圓＋＝1的左、右焦點(diǎn)F1，F2，點(diǎn)P在橢圓上，若|PF1|＝4，則|PF2|＝_________．三、合作探究類(lèi)型1：求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【例1】根據(jù)下列條件，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．（1）兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是（0,5）、（0，－5），橢圓上一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離和為26．（2）經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，兩焦點(diǎn)間的距離為2，焦點(diǎn)在x軸上．（3）過(guò)（－3,2）且與＋＝1有相同的焦點(diǎn)．   類(lèi)型2：橢圓的定義及其應(yīng)用【例2】設(shè)P是橢圓＋＝1上一點(diǎn)，F1，F2是橢圓的焦點(diǎn)，若∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面積．   類(lèi)型3：與橢圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題【例3】如圖，圓C：（x＋1）2＋y2＝25及點(diǎn)A（1,0），Q為圓上一點(diǎn)，AQ的垂直平分線(xiàn)交CQ于M，求點(diǎn)M的軌跡方程．    【學(xué)習(xí)小結(jié)】1.平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F1、F2的距離之和為常數(shù)，即|MF1|＋|MF2|＝2a．2.求橢圓的方程，可以利用定義求出參數(shù)a，b，c其中的兩個(gè)量；也可以用待定系數(shù)法構(gòu)造三者之間的關(guān)系，但是要注意先確定焦點(diǎn)所在的位置，其主要步驟可歸納為“先定位，后定量”．3.當(dāng)焦點(diǎn)位置不確定時(shí)，可設(shè)橢圓方程為mx2＋ny2＝1（m＞0，n＞0，m≠n），因?yàn)樗ń裹c(diǎn)在x軸上（m＜n）或焦點(diǎn)在y軸上（m＞n）兩類(lèi)情況，所以可以避免分類(lèi)討論，從而達(dá)到了簡(jiǎn)化運(yùn)算的目的．【精煉反饋】1．橢圓＋y2＝1上一點(diǎn)P到一個(gè)焦點(diǎn)的距離為2，則點(diǎn)P到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為（    ）A．5 B．6C．7 D．82．到兩定點(diǎn)F1（－2,0）和F2（2,0）的距離之和為4的點(diǎn)的軌跡是（    ）A．橢圓 B．線(xiàn)段C．圓 D．以上都不對(duì)3．橢圓＋＝1的焦距為_________．4．已知橢圓＋＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，過(guò)點(diǎn)F1的直線(xiàn)l交橢圓于A、B兩點(diǎn)，則△ABF2的周長(zhǎng)是_________．5．設(shè)F1，F2分別為橢圓C：＋＝1（a>b>0）的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，若橢圓C上的點(diǎn)A到F1，F2兩點(diǎn)的距離之和為4，求橢圓C的方程是_________．

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高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)選擇性必修 第一冊(cè)電子課本

2.5.1 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

版本： 人教B版 (2019)

年級(jí)： 選擇性必修 第一冊(cè)

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