【特供】2.5.1 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程-1優(yōu)選練習(xí)一．填空題1．已知橢圓的左右兩個焦點分別為，，是橢圓上一點，且，則的面積為______.2．已知點分別為橢圓的左，右焦點，點為的左頂點，上的點到點的最小距離為.過原點的直線交于，兩點，直線交于點，且，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為___________.3．已知，，為坐標(biāo)原點，動點滿足，其中，且，則動點的軌跡方程是___________.4．已知圓過橢圓：的焦點與短軸端點，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為______.5．如圖，橢圓：=1(a>b>0)的離心率為e，F(xiàn)是的右焦點，點P是上第一象限內(nèi)任意一點且，．，若λ>e，則離心率e的取值范圍是__________．6．設(shè)以原點為圓心的圓與軸交兩點，如果以為焦點的橢圓與圓總有公共點，那么橢圓的離心率取值范圍是__________.7．已知橢圓的一個焦點，若橢圓上存在一點，滿足以橢圓短半軸為半徑的圓與線段相切于該線段的中點，則該橢圓的離心率___________8．已知橢圓的左右焦點分別為，焦距為，若直線與橢圓的一個交點滿足，則該橢圓的離心率等于________．9．若實數(shù)x，y滿足方程，則的取值范圍為___________．10．在梯形中，，，，橢圓以，為焦點且過，兩點，則該橢圓的離心率為______.11．已知點，橢圓的右焦點為，若線段的中點恰好在橢圓上，則橢圓的長軸長為______．12．若實數(shù)，滿足方程，則的取值范圍為________．13．通過研究發(fā)現(xiàn)：點光源P斜照射球，在底面上形成的投影是橢圓，且球與底面相切于橢圓的一個焦點(如圖所示)，如圖是底面邊長為2？高為3的正四棱柱，一實心小球與正四棱柱的下底面及四個側(cè)面均相切，若點光源P位于的中點處時，則在平面上的投影形成的橢圓的離心率是___________.14．“天問一號”推開了我國行星探測的大門，通過一次發(fā)射，將實現(xiàn)火星環(huán)繞？著陸？巡視，是世界首創(chuàng)，也是我國真正意義上的首次深空探測.2021年2月10日，天問一號探測器順利進入火星的橢圓環(huán)火軌道(將火星近似看成一個球體，球心為橢圓的一個焦點).2月15日17時，天問一號探測器成功實施捕獲軌道“遠(yuǎn)火點(橢圓軌跡上距離火星表面最遠(yuǎn)的一點)平面機動”，同時將近火點高度調(diào)整至約265公里.若此時遠(yuǎn)火點距離約為11945公里，火星半徑約為3400公里，則調(diào)整后“天問一號”的運行軌跡(環(huán)火軌道曲線)的離心率約為___________.(精確到0. 1)15．已知橢圓：的左．右焦點分別為，，若橢圓上存在點使三角形的面積為，則橢圓的離心率的取值范圍是______．
參考答案與試題解析1．【答案】【解析】分析：先設(shè)，，根據(jù)橢圓定義，得，再由余弦定理，根據(jù)題意，求出，進而可得出結(jié)果.詳解：設(shè)，，根據(jù)橢圓定義可得，由橢圓可得，其焦距為，又，所以，即所以的面積為.故答案為：.【點睛】本題主要考查橢圓的簡單應(yīng)用，以及解三角形的問題，熟記橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程，余弦定理與三角形面積公式即可，屬于?？碱}型.2．【答案】【解析】分析：根據(jù)題意作出示意圖，根據(jù)均為中點可知為的中位線，由此可根據(jù)得到的一個關(guān)系式，再根據(jù)橢圓上的點到的最小距離得到的另一個關(guān)系式，由此求解出的值，則橢圓方程可求.詳解：如圖，連接，，因為為的中點，所以是的中位線，所以，所以，即，所以，又上的點到點的最小距離為，則，解得，，所以.故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故答案為：.【點睛】結(jié)論點睛：橢圓上的點到焦點的距離的最大值和最小值：（1）最大值：，此時為長軸的端點且與在坐標(biāo)原點兩側(cè)；（2）最小值：，此時為長軸的端點且與在坐標(biāo)原點同側(cè).(可利用點到點的距離公式結(jié)合橢圓方程進行證明)3．【答案】【解析】分析：設(shè)動點，根據(jù)向量間的關(guān)系得到，，代入化簡可得動點的軌跡方程．詳解：解：設(shè)動點，，則點滿足，其中．，，，，，，，，，，即．故答案為：．【點睛】本題考查了軌跡方程的求法，考查兩個向量坐標(biāo)形式的運算，訓(xùn)練了利用代入法求曲線的方程，建立動點，與．的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．4．【答案】【解析】分析：由題意求得，再由，即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，得到答案．詳解：由題意，圓過橢圓：的焦點與短軸端點，可得，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：．【點睛】本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，其中解答中熟記橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及是解答的關(guān)鍵，著重考查了計算能力．5．【答案】【解析】分析：由已知得，設(shè)直線的斜率為，則聯(lián)立直線與橢圓的方程求得點P，Q的坐標(biāo)，根據(jù)向量垂直的關(guān)系建立關(guān)于不等式，可求得離心率的范圍．詳解：因為點是上第一象限內(nèi)任意一點，故為銳角且，所以，設(shè)直線的斜率為，則由可得，故，所以，因為，故，所以，解得，因為對任意的恒成立，故，整理得到對任意的恒成立，故，即，即．故答案為：．【點睛】方法點睛：(1)求橢圓的離心率時，將提供的橢圓的幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)于雙曲線基本量的方程或不等式，利用和轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程或不等式，通過解方程或不等式求得離心率的值或取值范圍．（2）對于焦點三角形，要注意橢圓定的應(yīng)用，運用整體代換的方法可以減少計算量．6．【答案】【解析】分析：求得橢圓上任意一點到圓心的距離，可得，從而得解.詳解：設(shè)橢圓上任意一點為，則，則點到圓心的距離為：，由，得根據(jù)題意可得，所以，解得.故答案為：.7．【答案】【解析】分析：由中位線定理以及勾股定理求出，，再結(jié)合橢圓的定義以及離心率公式得出答案.詳解：設(shè)切點為，右焦點為由題意可知，則因為分別是的中點，所以由橢圓的定義可知，即兩邊平方得即故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點睛：解決本題的關(guān)鍵是由橢圓的定義得出，進而得出離心率.8．【答案】【解析】分析：由題意，利用直角三角形的邊角關(guān)系可得，再利用橢圓的定義及離心率的計算公式即可得出．詳解：設(shè)直線的傾斜角為，則，．在直角三角形中，令，則由橢圓定義得橢圓的離心率．故答案為：．【點睛】熟練掌握直角三角形的邊角關(guān)系．橢圓的定義．離心率的計算公式是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．9．【答案】【解析】分析：由題可知，可表示為橢圓上的點到點，上焦點的距離之和，設(shè)其橢圓的下焦點為，再由橢圓定義轉(zhuǎn)化為求解的范圍.詳解：可表示為橢圓上的點到點，上焦點的距離之和，即，設(shè)其橢圓的下焦點為，又由橢圓定義得，所以，又，所以，故.故答案為：【點睛】關(guān)鍵點睛：本題解決的關(guān)鍵是能夠?qū)⑶蠼?/span>轉(zhuǎn)化為橢圓上的點到點，上焦點的距離之和的問題.10．【答案】【解析】分析：設(shè)橢圓，，利用相似比可得，根據(jù)，，利用兩點之間的距離公式化簡可得，再根據(jù)，在橢圓上，代入坐標(biāo)，列出方程組，化簡可得，將上述兩式聯(lián)立，化簡可得，解方程，即可求出結(jié)果.詳解：設(shè)橢圓，如圖所示：設(shè)，則橢圓的離心率為；因為，，則；又，所以，即，整理可得①；由橢圓的定義可知，，即，整理可得 ②；②-①可得：③;又，在橢圓上；所以 ，化簡整理可得，④；將④代入③可得，，兩邊同時除以，可得，解得（負(fù)值舍去）.故答案為：.【點睛】本題主要考查了橢圓離心率的求法，考查了學(xué)生的運算能力，屬于中檔題.11．【答案】4【解析】分析：由線段的中點恰好在橢圓上，則為右頂點，由中點坐標(biāo)公式即可得解.詳解：由線段的中點恰好在橢圓上，即為右頂點，可得，解得，所以橢圓的長軸長為4.故答案為：.12．【答案】【解析】分析：由已知條件得出點P在以為焦點，以為長軸長的橢圓上，再由兩點的距離公式得出表示點到點的距離之和，再根據(jù)橢圓的定義將問題轉(zhuǎn)化為求的范圍，根據(jù)兩點的距離公式可求得范圍．詳解：設(shè)點，則由橢圓的定義得點P在以為焦點，以為長軸長的橢圓上，所在橢圓的方程為：，而表示點到點的距離之和，即，由橢圓的定義得，所以，所以，而，又，所以，所以的取值范圍為，故答案為：．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查根式的最值和范圍求解問題，解決的關(guān)鍵在于利用橢圓的定義得出動點的軌跡，將問題轉(zhuǎn)化為求兩線段的距離之差的范圍．13．【答案】【解析】分析：作出光源投影后的圖形，在三角形中分別解得橢圓參數(shù)a，c，從而求得離心率.詳解：從P作于M點，在平面內(nèi)作球的切線，交平面于N點，則在平面內(nèi)形成的圖形如圖所示：底面邊長為2？高為3的正四棱柱，實心小球與正四棱柱的下底面及四個側(cè)面均相切，則，，故，，則，根據(jù)題目條件知，是橢圓焦點，MN是長軸，即，，則，離心率故答案為：14．【答案】0.6.【解析】分析：根據(jù)題中的信息列出關(guān)于的方程，然后解方程并求離心率即可.詳解：設(shè)橢圓的方程為()，由橢圓的性質(zhì)可得橢圓上的點到焦點的距離的最小值為，最大值為，根據(jù)題意可得近火點滿足，，解得，，所以橢圓的離心率為，故答案為：0.6.15．【答案】【解析】分析：設(shè)則，可得，再結(jié)合即可求得范圍.詳解：設(shè)，，，則，若存在點使三角形的面積為，則，可得，因為，所以，即，可得，整理可得：，所以，解得：，所以，所以橢圓的離心率的取值范圍是：，故答案為：【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解題的關(guān)鍵點是，設(shè)利用焦點三角形的面積公式表示出. 

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2.5.1 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

版本： 人教B版 (2019)

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