數(shù)學(xué)2.5.1 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程優(yōu)秀ppt課件-課件下載-教習(xí)網(wǎng)

2. 5.1 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程本節(jié)課選自《2019人教B版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊》第二章《平面解析幾何》，本節(jié)課主要學(xué)習(xí)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程從知識上講，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是解析法的進(jìn)一步運用，同時它也是進(jìn)一步研究橢圓幾何性質(zhì)的基礎(chǔ)；從方法上講，它為我們研究雙曲線、拋物線這兩種圓錐曲線提供了基本模式和理論基礎(chǔ)；從教材編排上講，現(xiàn)行教材中把三種圓錐曲線獨編一章，更突出了橢圓的重要地位.因此本節(jié)課有承前啟后的作用，是本章和本節(jié)的重點內(nèi)容.是幾何的研究實現(xiàn)了代數(shù)化。數(shù)與形的有機(jī)結(jié)合，在本章中得到了充分體現(xiàn)。課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)A.掌握橢圓的定義.(數(shù)學(xué)抽象)B.掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種形式及其推導(dǎo)過程.(邏輯推理)C.能根據(jù)條件確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,掌握待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(數(shù)學(xué)運算) 1.數(shù)學(xué)抽象：曲線與方程的關(guān)系2.邏輯推理：曲線的方程與方程的曲線的關(guān)系3.數(shù)學(xué)運算：根據(jù)條件求曲線的方程4.數(shù)學(xué)建模：運用方程研究曲線的性質(zhì) 重點：橢圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程難點：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程多媒體教學(xué)過程教學(xué)設(shè)計意圖核心素養(yǎng)目標(biāo)一、創(chuàng)設(shè)問題情境，探究新知在日常生活與學(xué)習(xí)中，可以見到很多有關(guān)橢圓的形象，如圖，我們還知道圓是平面內(nèi)到圓心的距離等于半徑的點的集合，圓上的點的特征是任意一點到圓心的距離都等于半徑，那么你能說說到底什么是橢圓嗎？橢圓上任意一點的特征是什么？問題1.　從集合或軌跡的角度,類比圓的定義,如何定義橢圓 ? 平面內(nèi)與兩個定點F1,F2的距離之和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓.1.橢圓的定義概念解析1.橢圓的定義中去掉限制條件后,動點P的軌跡還是橢圓嗎?提示:不是.當(dāng)2a<|F1F2|時,動點P的軌跡不存在. 當(dāng)2a=|F1F2|時,動點P的軌跡為線段F1F2.2.到兩個定點F1(-7,0)和F2(7,0)的距離之和為14的點P的軌跡是(　　)A.橢圓　　　　　　　　　　B.線段C.圓 D.以上都不對解析:∵點P到兩定點的距離之和為14等于|F1F2|,∴軌跡是一條線段.答案:B你能利用日常生活中的物品做出一個橢圓嗎？這種做橢圓的方法，實際上驗證了橢圓定義中的P點一定存在，而且有無數(shù)多個，那么從數(shù)學(xué)上能不能證明這一點呢？設(shè)是平面的兩個定點，=8，證明平面上滿足=10, 的動點P有無數(shù)多個，并求P的軌跡方程。以所在直線為軸，線段的垂直平分線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)橢圓的焦點分別為設(shè)P的坐標(biāo)為因為=10而且所以=10. ①當(dāng)時, ①得整理得=①+ 整理得 =5+ ③將③式平方再整理得 ④
當(dāng)時，由①可知=10，即=9，此時④也成立可以驗證，如果P的坐標(biāo)滿足 ④式，可得=10不難看出方程④有無數(shù)多組實數(shù)解，這說明坐標(biāo)滿足=10的點有無數(shù)個，而且P的軌跡方程為 ④式一般地，如果橢圓的焦點為，焦距為2，而且橢圓上的動點P滿足，=2,其中>>0. 以所在直線為軸，線段的垂直平分線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，此時,橢圓的焦點分別為（ ,0）=2. 化簡得； (>>0),稱焦點在軸上的橢圓方程. 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程設(shè)橢圓，焦距為2，而且橢圓上的動點P滿足=2其中>>0. 以所在直線為軸，線段的垂直平分線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，此時：（1）橢圓焦點的坐標(biāo)分別是什么？（2）能否通過 (>>0) 來得到此時橢圓方程的形式？ (>>0),稱焦點在軸上的橢圓方程.2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程焦點在x軸上焦點在y軸上標(biāo)準(zhǔn)方程 (>>0) (>>0)圖形焦點坐標(biāo)F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)a,b,c的關(guān)系b2=a2-c2 思考: 能否根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,判定焦點位置?提示:能.根據(jù)x2與y2的分母的大小來判定,哪個的分母大,焦點就在哪個軸上.1. a=6,c=1的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(　　)A.=1　 B.=1 C.=1 D.=1或=12. 橢圓+y2=1上一點P到一個焦點的距離為2,則點P到另一個焦點的距離為(　　)A.5 B.6 C.7 D.83. 橢圓4x2+9y2=1的焦點坐標(biāo)是(　　)A.(±,0) B.(0,±) C. D.解析: (1) 易得為D選項.(2)設(shè)橢圓的左、右焦點分別為F1,F2,若|PF1|=2,結(jié)合橢圓定義|PF2|+|PF1|=10,可得|PF2|=8.(3)∵橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為=1,∴a2=,b2=,∴c2=a2-b2=,且焦點在x軸上,∴焦點坐標(biāo)為.答案:(1)D　(2)D　(3)C二、典例解析例1求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(1)過點A(-1,-2)且與橢圓=1的兩個焦點相同;(2)過點P(,-2),Q(-2,1).分析(1)先根據(jù)橢圓=1得到它的焦點為(0,±),再設(shè)所求的橢圓方程為=1,代入點A的坐標(biāo)即可解出m的值,得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)橢圓的方程為=1,p,q為不相等的正數(shù),將P,Q的坐標(biāo)代入,得到關(guān)于p,q的方程組并求解,即得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.解:(1)∵橢圓=1中,a2=9,b2=6,∴c2=a2-b2=3,得焦點坐標(biāo)為(0,±),故設(shè)所求的橢圓方程為=1(m>3).∵橢圓過點A(-1,-2),∴=1,解得m=6(m=2不合題意,舍去).所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為=1.(2)設(shè)橢圓的方程為=1,p,q均為正數(shù)且不相等.∵橢圓經(jīng)過點P(,-2),Q(-2,1),∴解得所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為=1.1.利用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,有下面幾種情況:如果明確橢圓的焦點在x軸上,那么設(shè)所求的橢圓方程為=1(a>b>0);如果明確橢圓的焦點在y軸上,那么設(shè)所求的橢圓方程為=1(a>b>0);如果中心在原點,但焦點的位置不能明確是在x軸上,還是在y軸上,那么方程可以設(shè)為mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),進(jìn)而求解.2.待定系數(shù)法求圓錐曲線方程能有力地明晰數(shù)學(xué)運算的目標(biāo)性和方向性,能較好地體現(xiàn)運用解析法進(jìn)行數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng). 跟蹤訓(xùn)練1 求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(1)焦點在y軸上,且經(jīng)過兩個點(0,2)和(1,0);(2)兩個焦點的坐標(biāo)分別是(0,-2),(0,2),并且經(jīng)過點.解:(1)因為橢圓的焦點在y軸上,所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為=1(a>b>0).又橢圓經(jīng)過點(0,2)和(1,0),根據(jù)橢圓定義可知,a2=4,b2=1,所以所求的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+x2=1.(2)因為橢圓的焦點在y軸上,所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為=1(a>b>0).由橢圓的定義知,2a==2,即a=,又c=2,所以b2=a2-c2=6,所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為=1.例2. 如圖所示,已知動圓P過定點A(-3,0),并且在定圓B:(x-3)2+y2=64的內(nèi)部與其內(nèi)切,求動圓圓心P的軌跡方程.解:設(shè)動圓P和定圓B內(nèi)切于點M,動圓圓心P到兩定點A(-3,0)和B(3,0)的距離之和恰好等于定圓半徑,即|PA|+|PB|=|PM|+|PB|=|BM|=8>|AB|,所以動圓圓心P的軌跡是以A,B為左、右焦點的橢圓,其中c=3,a=4,b2=a2-c2=42-32=7, 其軌跡方程為=1.利用橢圓定義求動點軌跡方程的三個步驟歸納總結(jié)例3. 已知P為橢圓=1上一點,F1,F2是橢圓的焦點,∠F1PF2=60°,求△F1PF2的面積.解:由已知得a=2,b=,所以c==3,從而|F1F2|=2c=6.在△PF1F2中,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos 60°,即36=|PF1|2+|PF2|2-|PF1|·|PF2|. ①由橢圓的定義得|PF1|+|PF2|=4,即48=|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|·|PF2|. ②由①②得|PF1|·|PF2|=4.所以|PF1|·|PF2|·sin 60°=.(1)橢圓上一點P(不與焦點共線)與橢圓的兩個焦點F1,F2構(gòu)成的△PF1F2稱為焦點三角形.解關(guān)于橢圓的焦點三角形的問題,通常要利用橢圓的定義,再結(jié)合正弦定理、余弦定理等知識求解.(2)焦點三角形的常用公式①焦點三角形的周長L=2a+2c.②在△PF1F2中,由余弦定理可知|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2.③設(shè)P(xP,yP),焦點三角形的面積=c|yP|=|PF1||PF2|·sin∠F1PF2=b2tan. 通過具體的情景，讓學(xué)生對橢圓有一個直觀的印象，同時類比圓的定義，抽象出橢圓的幾何定義。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象，直觀想象的核心素養(yǎng)。通過特例，運用解析法，求出橢圓的方程，進(jìn)而推廣到一般，獲得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。幫助學(xué)生進(jìn)一步體會數(shù)形結(jié)合的思想方法。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)運算，數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。通過典型例題，掌握根據(jù)橢圓的定義求出其方程的基本方法，即待定系數(shù)法，提升學(xué)生數(shù)學(xué)建模，數(shù)形結(jié)合，及方程思想，發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)。三、達(dá)標(biāo)檢測1.已知橢圓的焦點為(-1,0)和(1,0),點P(2,0)在橢圓上,則橢圓的方程為(　　)A.=1 B.+y2=1C.=1 D.+x2=1解析:c=1,由點P(2,0)在橢圓上,可得a=2,∴橢圓的方程為=1.答案:A 2.若方程x2+ky2=2表示焦點在y軸上的橢圓,那么實數(shù)k的取值范圍是(　　)A.(0,+∞) B.(0,2) C.(1,+∞) D.(0,1)解析:∵方程x2+ky2=2,即=1表示焦點在y軸上的橢圓,∴>2,故0<k<1.故選D. 答案:D 3.已知F1,F2為橢圓=1的兩個焦點,過F1的直線交橢圓于A,B兩點.若|F2A|+|F2B|=12,則|AB|=.解析：由直線AB過橢圓的一個焦點F1,知|AB|=|F1A|+|F1B|,所以在△F2AB中,|F2A|+|F2B|+|AB|=4a=20,又|F2A|+|F2B|=12,所以|AB|=8.4.橢圓x2+ky2=1的焦距為,則k的值為　　　　　. 解析:橢圓x2+ky2=1轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)形式=1,當(dāng)焦點在x軸上時,c2=1-,即2c=2,解得k=2,當(dāng)焦點在y軸上時,c2=-1,即2c=2,解得k=.答案:2或5.設(shè)F1,F2是橢圓=1的兩個焦點,P是橢圓上的點,且|PF1|∶|PF2|=2∶1,求△F1PF2的面積為　　　　　. 解析:由橢圓方程,得a=3,b=2,c=.∵|PF1|+|PF2|=2a=6且|PF1|∶|PF2|=2∶1,∴|PF1|=4,|PF2|=2.∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2.∴△PF1F2是直角三角形,且∠F1PF2=90°,故△F1PF2的面積為|PF1|·|PF2|=×2×4=4.答案:4 6.如圖所示,在圓C:(x+1)2+y2=25內(nèi)有一點A(1,0).Q為圓C上任意一點,線段AQ的垂直平分線與C,Q的連線交于點M,當(dāng)點Q在圓C上運動時,求點M的軌跡方程.解:如圖所示,連接MA.由題意知點M在線段CQ上,從而有|CQ|=|MQ|+|CM|. 又點M在AQ的垂直平分線上,則|MA|=|MQ|, 故|MA|+|MC|=|CQ|=5>|AC|=2.又A(1,0),C(-1,0), 故點M的軌跡是以(1,0),(-1,0)為焦點的橢圓,且2a=5,c=1,故a=,b2=a2-c2=-1=.故點M的軌跡方程為=1. 通過練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識，通過學(xué)生解決問題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。四、小結(jié)五、課時練通過總結(jié)，讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固本節(jié)所學(xué)內(nèi)容，提高概括能力。 “橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”是在學(xué)生已學(xué)過坐標(biāo)平面上圓的方程的基礎(chǔ)上，運用“曲線和方程”理論解決具體的二次曲線的又一實例.學(xué)生在學(xué)習(xí)上還是有一定的基礎(chǔ)的。教學(xué)按照有有生活中的實例，出發(fā)，類比圓的定義，從而獲得橢圓的定義，進(jìn)而運用解析法，求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，并能簡單運用。

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