橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程課標(biāo)解讀課標(biāo)要求素養(yǎng)要求1.了解橢圓的實(shí)際背景，感受橢圓在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問題中的作用.2.經(jīng)歷從具體情境中抽象出橢圓的過程，掌握橢圓的定義，標(biāo)準(zhǔn)方程.1.數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理——能借助實(shí)驗(yàn)引入橢圓的概念并推導(dǎo)出橢圓的方程.⒉數(shù)學(xué)運(yùn)算——能根據(jù)具體的題目條件求解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程并能夠應(yīng)用.自主學(xué)習(xí)·必備知識(shí)見學(xué)用75頁教材研習(xí)教材原句要點(diǎn)一橢圓的定義如果，，是平面內(nèi)的兩個(gè)定點(diǎn)，是一個(gè)常數(shù)，且，則平面內(nèi)滿足① 的動(dòng)點(diǎn)的軌跡稱為橢圓，其中，兩個(gè)定點(diǎn)，稱為橢圓的焦點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)之間的距離稱為橢圓的② 焦距 .要點(diǎn)二橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程1.焦點(diǎn)在軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：③ ，其中 .此時(shí)橢圓的焦點(diǎn)為， .2. 焦點(diǎn)在軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：④ ，其中 .此時(shí)橢圓的焦點(diǎn)為， .自主思考1.已知，，平面內(nèi)到，，兩點(diǎn)的距離之和等于8和等于6的點(diǎn)的軌跡是橢圓嗎？答案：提示因?yàn)?/span>，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡是線段，不是橢圓；因?yàn)?/span>，所以動(dòng)點(diǎn)不存在，因此軌跡不存在.2.由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程如何判斷橢圓焦點(diǎn)的位置？答案：提示判斷橢圓焦點(diǎn)在哪個(gè)坐標(biāo)軸上就要判斷橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中項(xiàng)、項(xiàng)的分母哪個(gè)更大一些，即“誰大在誰上”.名師點(diǎn)睛1.對(duì)橢圓定義的三點(diǎn)說明（1）橢圓是在平面內(nèi)定義的，所以“平面內(nèi)”這一條件不能忽視.（2）定義中到兩定點(diǎn)的距離之和是常數(shù)，不能是變量.（3）常數(shù)（）必須大于兩定點(diǎn)間的距離，否則軌跡不是橢圓，這是判斷一曲線是不是橢圓的限制條件.2.對(duì)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的三點(diǎn)認(rèn)識(shí)（1）標(biāo)準(zhǔn)方程的幾何特征：橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸或軸上.（2）標(biāo)準(zhǔn)方程的代數(shù)特征：方程右邊為1，左邊是關(guān)于與或與的平方和，并且分母為不相等的正值.（3），，三個(gè)量的關(guān)系：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中，表示橢圓上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離的和的一半，可借助圖形幫助記憶.長(zhǎng)為，，（都是正數(shù)）的線段恰構(gòu)成一個(gè)直角三角形的三條邊，是斜邊長(zhǎng)，所以，，且 .（如圖所示）互動(dòng)探究·關(guān)鍵能力見學(xué)用76頁探究點(diǎn)一橢圓的定義精講精練例（1）如圖所示，是圓內(nèi)一定點(diǎn)，是圓周上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，的垂直平分線與交于點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡是(      )A.圓B.橢圓C.線段D.射線（2）若動(dòng)點(diǎn)滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是(     )A.線段B.圓C.橢圓D.直線答案：（1）（2）解析：（1）連接（圖略），垂直平分，，設(shè)圓的半徑為，則，故點(diǎn)的軌跡是以，A為焦點(diǎn)的橢圓，故選B.（2）動(dòng)點(diǎn)滿足，設(shè)，，可得，，動(dòng)點(diǎn)的軌跡為線段.解題感悟橢圓的定義具有雙向作用，即若（），則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是橢圓；反之，橢圓上任意一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和必為 .遷移應(yīng)用1.點(diǎn)是圓：內(nèi)一定點(diǎn)，動(dòng)圓與已知圓內(nèi)切且過點(diǎn)，判斷圓心的軌跡.答案：方程化成標(biāo)準(zhǔn)形式為，則，半徑 .因?yàn)閯?dòng)圓與已知圓內(nèi)切且過點(diǎn)，所以，根據(jù)橢圓的定義知，圓心到兩定點(diǎn)，的距離之和為定值8，且，所以圓心的軌跡是以，為焦點(diǎn)的橢圓.探究點(diǎn)二用待定系數(shù)法求橢圓的方程精講精練例（1）已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是(-4,0)(4,0)，并且經(jīng)過點(diǎn)，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若橢圓經(jīng)過(2,0)和(0,1)兩點(diǎn)，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.答案：（1）橢圓的焦點(diǎn)在軸上，設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為 .依題意得解得所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 .（2）設(shè)橢圓的方程為 .橢圓過(2,0)和(1,0)兩點(diǎn)，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 .解題感悟求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，要“先定型，再定量”，即要先判斷焦點(diǎn)位置，再用待定系數(shù)法設(shè)出適合題意的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，最后由條件確定待定系數(shù)即可.（1）當(dāng)所求橢圓的焦點(diǎn)位置不能確定時(shí)，應(yīng)按焦點(diǎn)在軸上和焦點(diǎn)在軸上進(jìn)行分類討論，但要注意這一條件.（2）當(dāng)已知橢圓經(jīng)過兩點(diǎn)，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，把橢圓的方程設(shè)成的形式，有兩個(gè)優(yōu)點(diǎn)：①列出的方程組中分母不含字母；②不用討論焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸，從而簡(jiǎn)化求解過程.遷移應(yīng)用1.已知橢圓的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)(0,-3)在橢圓上，則橢圓的方程為(     )A. B.C. D.答案：解析：由題意可得解得故橢圓的方程為 .2.與橢圓有相同的焦點(diǎn)，且短軸長(zhǎng)為2的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(     )A. B.C. D.答案：解析：化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，可知橢圓的焦點(diǎn)在軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故可設(shè)所求橢圓的方程為，又，即，，所以，故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 .探究點(diǎn)三橢圓的定義及方程的應(yīng)用精講精練例（1）（多選）（2021山東聊城高二期中）已知是橢圓上一點(diǎn)，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，且，則(     )A.的周長(zhǎng)為12B.C.點(diǎn)到軸的距離為D.（2）已知分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，，且，則與的面積之比為(     )A. B.C. D.答案：（1） ; ; （2）解析：（1）由橢圓方程知，，所以，，所以的周長(zhǎng)為，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；在中，由余弦定理可得，所以，解得，故，故B選項(xiàng)正確；設(shè)點(diǎn)到軸的距離為，則，所以，故C選項(xiàng)正確；，故D選項(xiàng)正確.（2）設(shè)，則，，，由橢圓的定義可得，，則，，，即，解得，則與的面積之比 .解題感悟（1）在橢圓中，當(dāng)橢圓上的點(diǎn)不是橢圓與焦點(diǎn)所在軸的交點(diǎn)時(shí)，這個(gè)點(diǎn)與橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)可以構(gòu)成一個(gè)三角形，這個(gè)三角形就是焦點(diǎn)三角形.這個(gè)三角形中一條邊長(zhǎng)等于焦距，另兩條邊長(zhǎng)之和等于 .（2）在處理橢圓中的焦點(diǎn)三角形問題時(shí)，可結(jié)合橢圓的定義及三角形中的有關(guān)定理和公式（如正弦定理、余弦定理、三角形面積公式等）來求解.遷移應(yīng)用1.設(shè)為橢圓上的一個(gè)點(diǎn)，，為橢圓的焦點(diǎn)，，則的面積為(     )A.3B.3C.2D.33答案：解析：因?yàn)闄E圓的方程為，所以，，，設(shè)，，則，由余弦定理得，又，所以，又，所以，即，所以 .評(píng)價(jià)檢測(cè)·素養(yǎng)提升見學(xué)用77頁課堂檢測(cè)1.（2020山東濰坊高二月考）若點(diǎn)到兩定點(diǎn)，的距離之和為2，則點(diǎn)的軌跡是(      )A.橢圓B.直線C.線段D.不存在答案：2.已知橢圓的焦距是6，且橢圓上的點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和等于10，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(     )A. B.C. D.或答案：3.已知橢圓，分別是其左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)作一條斜率不為0的直線交橢圓于兩點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為(     )A.5B.10C.20D.40答案：素養(yǎng)演練邏輯推理——利用橢圓的定義求解最值問題1.（2020山東臨沂高二期中）點(diǎn)在橢圓上，的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在圓上，則的最小值為 .解析：審：已知橢圓的方程，求橢圓上的動(dòng)點(diǎn)到圓上的動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)距離差的最小值.聯(lián)：記橢圓的左焦點(diǎn)為，則，由圓的方程，得到圓的圓心和半徑，畫出圖形，結(jié)合圖形，得到，即可求出結(jié)果.答案：解：記橢圓的左焦點(diǎn)為，則①，所以，可化為，即圓的圓心為②(-3,4)，半徑，作出圖形如下：由圓的性質(zhì)可得，，所以（當(dāng)且僅當(dāng)③，，，四點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立），所以的最小值為 .解析：思：求一動(dòng)點(diǎn)到兩點(diǎn)的距離差的最小值時(shí)，一般根據(jù)動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，結(jié)合定義，將差轉(zhuǎn)化為距離和的問題，結(jié)合圖形，即可求出結(jié)果. 

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2.5.1 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

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