1．等式的性質
(1) 性質1 如果a＝b，那么b＝a；
(2) 性質2 如果a＝b，b＝c，那么a＝c；
(3) 性質3 如果a＝b，那么a±c＝b±c；
(4) 性質4 如果a＝b，那么ac＝bc；
(5) 性質5 如果a＝b，c≠0，那么eq \f(a,c)＝eq \f(b,c).
2．不等式的基本性質
(1)對稱性：a＞b?b＜a.
(2)傳遞性：a＞b，b＞c?a＞c.
(3)可加性：a＞b?a＋c＞b＋c.
(4)可乘性：a＞b，c＞0?ac＞bc；a＞b，c＜0?ac＜bc.
(5)加法法則：a＞b，c＞d?a＋c＞b＋d.
(6)乘法法則：a＞b＞0，c＞d＞0?ac＞bd.
(7)乘方法則：a＞b＞0?an＞bn＞0(n∈N，n≥2)．
1．若a＞b，c＞d，則下列不等關系中不一定成立的是( )
A．a－b＞d－c B．a＋d＞b＋c
C．a－c＞b－c D．a－c＜a－d
B [根據不等式的性質．]
2．與a>b等價的不等式是( )
A．|a|>|b| B．a2>b2
C.eq \f(a,b)>1 D．a3>b3
D [可利用賦值法．令a＝－5，b＝0，則A、B正確而不滿足a>b.再令a＝－3，b＝－1，則C正確而不滿足a>b，故選D.]
3．設x0，∴ax>a2.∴x2>ax>a2.]
利用不等式性質判斷命題真假
【例1】 對于實數a，b，c下列命題中的真命題是( )
A．若a＞b，則ac2＞bc2
B．若a＞b＞0，則eq \f(1,a)＞eq \f(1,b)
C．若a＜b＜0，則eq \f(b,a)＞eq \f(a,b)
D．若a＞b，eq \f(1,a)＞eq \f(1,b)，則a＞0，b＜0
[思路點撥] 本題可以利用不等式的性質直接判斷命題的真假，也可以采用特殊值法判斷．
D [法一：∵c2≥0，∴c＝0時，
有ac2＝bc2，故A為假命題；
由a＞b＞0，有ab＞0?eq \f(a,ab)＞eq \f(b,ab)?eq \f(1,b)＞eq \f(1,a)，
故B為假命題；
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a＜b＜0?－a＞－b＞0?－\f(1,b)＞－\f(1,a)＞0,a＜b＜0?－a＞－b＞0))?eq \f(a,b)＞eq \f(b,a)，
故C為假命題；
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a＞b?b－a＜0,\f(1,a)＞\f(1,b)?\f(1,a)－\f(1,b)＞0?\f(b－a,ab)＞0))ab＜0.
∵a＞b，∴a＞0且b＜0，故D為真命題．
法二：特殊值排除法．
取c＝0，則ac2＝bc2，故A錯．
取a＝2，b＝1，則eq \f(1,a)＝eq \f(1,2)，eq \f(1,b)＝1.
有eq \f(1,a)＜eq \f(1,b)，故B錯．取a＝－2，b＝－1，
則eq \f(b,a)＝eq \f(1,2)，eq \f(a,b)＝2，有eq \f(b,a)＜eq \f(a,b)，故C錯．]
運用不等式的性質判斷時，要注意不等式成立的條件，不要弱化條件，尤其是不能憑想當然隨意捏造性質.解有關不等式選擇題時，也可采用特殊值法進行排除，注意取值一定要遵循如下原則：一是滿足題設條件；二是取值要簡單，便于驗證計算.
1．下列命題正確的是( )
A．若a2＞b2，則a＞b
B．若eq \f(1,a)＞eq \f(1,b)，則a＜b
C．若ac＞bc，則a＞b
D．若eq \r(a)＜eq \r(b)，則a＜b
D [A錯，例如(－3)2＞22；B錯，例如eq \f(1,2)＞eq \f(1,－3)；C錯，例如當c＝－2，a＝－3，b＝2時，有ac＞bc，但a＜b.]
利用不等式性質證明簡單不等式
【例2】 若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求證：eq \f(e,?a－c?2)＞eq \f(e,?b－d?2).
[思路點撥] 可結合不等式的基本性質，分析所證不等式的結構，有理有據地導出證明結果．
[證明] ∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0.
又∵a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0.
∴(a－c)2＞(b－d)2＞0.
兩邊同乘以eq \f(1,?a－c?2?b－d?2)，
得eq \f(1,?a－c?2)＜eq \f(1,?b－d?2).
又e＜0，∴eq \f(e,?a－c?2)＞eq \f(e,?b－d?2).
本例條件不變的情況下，求證：eq \f(e,a－c)＞eq \f(e,b－d).
[證明] ∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0.
∵a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0，
∴0＜eq \f(1,a－c)＜eq \f(1,b－d)，
又∵e＜0，∴eq \f(e,a－c)＞eq \f(e,b－d).
利用不等式的性質證明不等式注意事項
?1?利用不等式的性質及其推論可以證明一些不等式.解決此類問題一定要在理解的基礎上，記準、記熟不等式的性質并注意在解題中靈活準確地加以應用.
?2?應用不等式的性質進行推導時，應注意緊扣不等式的性質成立的條件，且不可省略條件或跳步推導，更不能隨意構造性質與法則.
2．已知a>b，e>f，c>0，求證：f－acb，c>0，∴ac>bc.
又∵e>f，∴e＋ac>f＋bc，
∴e－bc>f－ac，∴f－ac

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2.1 等式性質與不等式性質

版本： 人教A版 (2019)

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