階段測評(一)　空間向量的概念及其運(yùn)算[對應(yīng)學(xué)生用書P92](時(shí)間：60分鐘　滿分：75分)一、單項(xiàng)選擇題(本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．)1．已知a＝(2，3，－4)，b＝(－4，－3，－2)，b＝x－2a，則x等于(　　)A．(0，3，－6)　　　　　  B．(0，6，－20)C．(0，6，－6)     D．(6，6，－6)B　[由b＝x－2a，得x＝4a＋2b＝(8，12，－16)＋(－8，－6，－4)＝(0，6，－20).]2．若A(x，5－x，2x－1)，B(1，x＋2，2－x)，當(dāng)||取最小值時(shí)，x的值等于(　　)A．19     B．－C．     D．C　[＝(1－x，2x－3，－3x＋3)，則||＝＝＝ ，故當(dāng)x＝時(shí)，||取最小值．]3．若向量a＝(x，4，5)，b＝(1，－2，2)，且a與b的夾角的余弦值為，則x＝(　　)A．3     B．－3C．－11     D．3或－11A　[因?yàn)?/span>a·b＝(x，4，5)·(1，－2，2)＝x－8＋10＝x＋2，且a與b的夾角的余弦值為，所以＝，解得x＝3或－11(舍去).] 4．如圖所示，AB＝AC＝BD＝1，AB?平面α，AC⊥平面α，BD⊥AB，BD與平面α成30°角，則C，D間的距離為(　　)A．1　　　　B．2　　　　C．　　　　D．C　[||2＝|＋＋|2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝1＋1＋1＋0＋0＋2×1×1×cos 120°＝2.∴||＝.]二、多項(xiàng)選擇題(本題共2小題，每小題5分，共10分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯(cuò)的得0分．)5．已知空間四邊形ABCD每條邊和對角線長都等于a，點(diǎn)E，F，G分別是AB，AD，DC的中點(diǎn)，則下列式子的計(jì)算結(jié)果為－a2的是(　　)A．2·     B．2·C．2·     D．2·ABC　[2·＝－a2，A符合；2·＝－a2，B符合；2·＝－a2，C符合；2·＝－a2，D不符合．] 6．如圖，已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長為1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°，則下列說法正確的是(　　)A．AA1⊥BDB．||＝C．異面直線AC1與A1D所成角的余弦值是D．異面直線AC1與A1D所成角的余弦值是ABD　[設(shè)＝a，＝b，＝c，則＝b－a，∴·＝c·(b－a)＝c·b－c·a＝(－1)－(－1)＝0，∴⊥，即AA1⊥BD.選項(xiàng)A正確．又|a|＝|b|＝1，|c|＝2，a·b＝0，c·a＝c·b＝2×1×cos 120°＝－1，且，∴||＝|a＋b＋c|＝＝＝＝.選項(xiàng)B正確．設(shè)異面直線AC1與A1D所成的角為θ，則cos θ＝.∵＝a＋b＋c，＝b－c，∴＝(a＋b＋c)·(b－c)＝a·b－a·c＋b2－c2＝0＋1＋12－22＝－2，||＝ ＝＝＝.∴cos θ＝＝＝.選項(xiàng)D正確．∴ABD正確．]三、填空題(本題共2小題，每小題5分，共10分．請把正確答案填在題中的橫線上．)7．(多空題)若a＝(4，－2，－4)，b＝(6，－3，2)，則|2a－3b|＝____________，(2a－3b)·(a＋2b)＝__________．?。?/span>200　[∵2a－3b＝2(4，－2，－4)－3(6，－3，2)＝(－10，5，－14)，a＋2b＝(4，－2，－4)＋2(6，－3，2)＝(16，－8，0)，∴|2a－3b|＝＝，(2a－3b)·(a＋2b)＝－10×16＋5×(－8)－14×0＝－200.] 8．如圖，在空間四邊形ABCD中，AC和BD為對角線，G為△ABC的重心，E是BD上一點(diǎn)，BE＝3ED，以{，，}為基底，則＝________.－－＋　[＝－＝＋－＝＋－(＋)＝＋－－－＝－－＋.]四、解答題(本題共3小題，共35分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．)9．(10分)如圖，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長度都為1，且兩兩夾角為60°.求BD1與夾角的余弦值．解　設(shè)＝a，＝b，AA1＝c，則＝b＋c－a，＝a＋b，∴||＝，||＝，·＝(b＋c－a)·(a＋b)＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1，即與夾角的余弦值為.10．(12分)(2020·河北廊坊市高二期中)在①(＋)⊥(－)，②||＝，③0<cos 〈，〉<1這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中．問題：如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz.已知點(diǎn)D1的坐標(biāo)為(0，0，2)，E為棱D1C1上的動點(diǎn)，F為棱B1C1上的動點(diǎn)，________，試問是否存在點(diǎn)E，F滿足·＝0.若存在，求·的值；若不存在，請說明理由．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．解　由題意，正方體ABCD-A1B1C1D1棱長為2，則A(2，0，0)，B(2，2，0)，A1(2，0，2)，D(0，0，0)，C(0，2，0).設(shè)E(0，a，2)(0≤a≤2)，F(b，2，2)(0≤b≤2)，則＝(b，2－a，0)，＝(－2，2，－2)，＝(－2，a，2)，＝(b－2，0，2)，所以·＝4－2，·＝8－2b.選擇①，因?yàn)?/span>(＋)⊥(－)，所以(＋)·(－)＝2－2＝0，即2＝2，0＋(a－0)2＋(2－0)2＝(b－0)2＋(2－2)2＋(2－0)2，a＝b.因?yàn)?/span>·＝4－2×(a＋b)＝0，所以a＝b＝1，故存在點(diǎn)E(0，1，2)，F(1，2，2)，滿足·＝0，且·＝8－2b＝6.選擇②，||＝，即＝，a＝，因?yàn)?/span>·＝4－2(a＋b)＝0，所以b＝，故存在點(diǎn)E，F，滿足·＝0，且·＝8－2b＝5.選擇③，＝(b，2－a，0)，＝(2，2，0)，因?yàn)?/span>0<cos 〈，〉<1，所以與不共線，所以b≠2－a，即a＋b≠2，則·＝4－2(a＋b)≠0，故不存在點(diǎn)E，F滿足·＝0.11．(13分)如圖所示，已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線長都等于1，點(diǎn)E，F，G分別是AB，AD，CD的中點(diǎn)，計(jì)算：(1)·；(2)EG的長；(3)異面直線AG與CE所成角的余弦值．解　設(shè)＝a，＝b，＝c，則|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°.(1)·＝(c－a)·(b－c)＝(b·c－a·b－c2＋a·c)＝－.(2)＝＋＋＝a＋b－a＋c－b＝－a＋b＋c，||2＝a2＋b2＋c2－a·b＋b·c－c·a＝，則||＝.(3)＝b＋c，＝＋＝－b＋a，cos 〈，〉＝＝－，由于異面直線所成角的范圍是，所以異面直線AG與CE所成角的余弦值為.
 

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊電子課本

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