【期末單元復(fù)習(xí)】2022-2023學(xué)年蘇科版數(shù)學(xué) 九年級上學(xué)期-第二章《圓》（過關(guān)測試提優(yōu)）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

?圓過關(guān)測試（提優(yōu)）
一．選擇題（共12小題）
1．一個圓錐和一個圓柱的高相等，若要使體積一樣，圓錐底面積應(yīng)是圓柱底面積的（　?。?br /> A．3倍 B．13 C．π倍 D．1π
【分析】因為等底等高的圓柱的體積是圓錐體積的3倍，所以當(dāng)圓柱與圓錐的體積相等、高相等時，圓錐的底面積是圓柱底面積的3倍．據(jù)此解答即可．
【解答】解：一個圓錐和一個圓柱的高相等，若要使體積一樣，圓錐底面積應(yīng)是圓柱底面積的3倍．
故選：A．
【點(diǎn)評】此題考查圓錐的計算，圓柱的計算，考查的目的是理解掌握等底等高的圓柱與圓錐體積之間的關(guān)系及應(yīng)用．
2．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，m），若⊙P與y軸相切，那么⊙P與直線x＝5的位置關(guān)系是（　?。?br /> A．相交 B．相切 C．相離 D．不能確定
【分析】由題意可知⊙P的圓心在直線x＝3上，從而根據(jù)切線的性質(zhì)由⊙P與y軸相切推出圓的半徑r＝3，進(jìn)而利用直線與圓的位置關(guān)系進(jìn)行求解即可．
【解答】解：由題意可知⊙P的圓心在直線x＝3上，
∵⊙P與y軸相切，
∴圓的半徑r＝3，
∵r＞5﹣3，
∴⊙P與直線x＝5相交，
故選：A．
【點(diǎn)評】本題考查切線的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)及直線與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是結(jié)合題意根據(jù)切線的性質(zhì)推出⊙P的半徑r＝3，也可以作出圖形進(jìn)行求解．
3．如圖，C是⊙O上一點(diǎn)，若∠C＝40°，則∠AOB的度數(shù)為（　?。?br />
A．20° B．40° C．80° D．140°
【分析】利用圓周角定理計算即可．
【解答】解：由題意，∠AOB＝2∠ACB，
∵∠C＝40°，
∴∠AOB＝80°，
故選：C．
【點(diǎn)評】本題考查圓周角定理，解題的關(guān)鍵是記住在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．
4．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠BAC＝120°，AB＝AC＝4，BD為⊙O的直徑，則⊙O的半徑為（　?。?br />
A．4 B．6 C．8 D．12
【分析】連接OA，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠C＝∠ABC，證明△AOB為等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)得出OA＝AB＝4，則可得出答案．
【解答】解：連接OA，

∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC，
∵∠BAC＝120°，
∴∠C=180°-120°2=30°，
∴∠BOA＝2∠C＝60°，
∵OA＝OB，
∴△AOB為等邊三角形，
∴OA＝AB＝4，
則⊙O的半徑為4．
故選：A．
【點(diǎn)評】本題考查的是圓周角定理，等邊三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵．
5．如圖，AB是⊙O的直徑，CD是弦，且D為AB中點(diǎn)，若∠D＝30°，BC＝2，則BD的值為（　?。?br />
A．22 B．23 C．6 D．3
【分析】如圖，連接AD，OC．證明△OBC是等邊三角形，求出OB＝2，推出AB＝4，再證明△ADB是等腰直角三角形，可得結(jié)論．
【解答】解：如圖，連接AD，OC．

∵∠BOC＝2∠BDC，∠BDC＝30°，
∴∠BOC＝60°，
∵OC＝OB，
∴△BOC是等邊三角形，
∴OB＝BC＝2，
∴AB＝2OB＝4，
∵D是AB的中點(diǎn)，
∴AD=DB，
∴AD＝DB，
∵AB是直徑，
∴∠ADB＝90°，
∴BD=22AB＝22，
故選：A．
【點(diǎn)評】本題考查圓周角定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造特殊三角形解決問題．
6．如圖，PA與⊙O相切于點(diǎn)A，PO交⊙O于點(diǎn)B，點(diǎn)C在⊙O上，連接AC，BC．若∠P＝45°，則∠ACB的度數(shù)為（　?。?br />
A．15° B．22.5° C．30° D．37.5°
【分析】連接OA，根據(jù)切線的性質(zhì)得∠OAP＝90°，則∠AOP＝45°，然后根據(jù)圓周角定理得到∠ACB的度數(shù)．
【解答】解：如圖，連接OA，

∵直線PA與⊙O相切于點(diǎn)A，
∴OA⊥PA，
∴∠OAP＝90°，
∵∠P＝45°，
∴∠AOB＝45°，
∵∠ACB=12∠AOB＝22.5°．
故選：B．
【點(diǎn)評】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．也考查了圓周角定理．解決本題的關(guān)鍵是掌握圓周角定理．
7．如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，BD為⊙O的直徑．若BD＝10，∠ABD＝2∠C，則AB的長度為（　　）

A．4 B．5 C．5.5 D．6
【分析】連接AD，根據(jù)BD為⊙O的直徑，可得∠BAD＝90°，根據(jù)∠ACB＝∠D，可得∠D＝30°．進(jìn)而可得AB的長．
【解答】解：如圖，連接AD，

∵BD為⊙O的直徑，
∴∠BAD＝90°，
∵∠ACB＝∠D，
∴∠ABD＝2∠C＝2∠D，
∵∠D+∠ABD＝90°，
∴∠D＝30°．
∴∠ABD＝60°，
∴AB＝OB＝0.5BD＝5．
故選：B．
【點(diǎn)評】本題考查了三角形的外接圓與外心，圓周角定理，含30度角的直角三角形，解決本題的關(guān)鍵是掌握圓周角定理．
8．如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，∠A＝45°，BC＝8，則⊙O的半徑為（　　）

A．4 B．42 C．8 D．82
【分析】根據(jù)一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半，得∠COB＝90°，又OC＝OB，BC＝B，根據(jù)勾股定理，即可得圓的半徑．
【解答】解：∵∠A＝45°，
∴∠COB＝90°，
∵OC＝OB，BC＝8，
∴OB＝42，
故選：B．
【點(diǎn)評】本題考查了三角形的外接圓與外心，圓周角定理，勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是掌握一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半．
9．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠CAB＝30°，∠ACB＝105°，CD⊥AB于點(diǎn)D且CD＝22，則⊙O的半徑為（　?。?br />
A．22 B．4 C．42 D．43
【分析】連接OA，OC，根據(jù)圓周角定理得∠AOC＝90°，根據(jù)直角三角形中30°所對的直角邊等于斜邊的一半求出AC，再利用勾股定理求出OA．
【解答】解：如圖，連接OA，OC，

∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∵∠CAB＝30°，CD＝22，
∴AC＝2CD＝42，
∵∠ACB＝105°，∠ACD＝60°，
∴∠CBA＝45°，
∵∠COA＝2∠CBA＝2×45°＝90°，
在Rt△AOC中，由勾股定理得：AC2＝OA2+OC2，
∵OA＝OC，
∴OA=22AC＝4，
∴⊙O的半徑為4，
故選：B．
【點(diǎn)評】本題考查了三角形外接圓與外心，垂徑定理定理，勾股定理，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，利用圓周角定理構(gòu)造出Rt△AOC是解題的關(guān)鍵．
10．下列關(guān)于圓的說法中，正確的是（　?。?br /> A．等圓中，相等的弦所對的弧也相等
B．過圓心且平分弦的直線一定垂直于這條弦
C．經(jīng)過半徑的端點(diǎn)且垂直于這條半徑的直線是圓的切線
D．三角形的內(nèi)心一定在三角形內(nèi)部，且到三條邊的距離相等
【分析】根據(jù)切線的判定，圓心角、弧、弦定理，三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心進(jìn)行逐一判斷即可．
【解答】解：A．等圓中，相等的弦所對的弧不一定相等，故A錯誤；
B．過圓心且平分弦（不是直徑）的直線一定垂直于這條弦，故B錯誤；
C．經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線，故C錯誤；
D．三角形的內(nèi)心一定在三角形內(nèi)部，且到三條邊的距離相等，故D正確．
故選：D．
【點(diǎn)評】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，切線的判定，圓心角、弧、弦定理，解決本題的關(guān)鍵是掌握切線的判定定理．
11．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AD是直徑．若∠B＝60°，AC=3，則直徑AD的長為（　?。?br />
A．1 B．2 C．3 D．23
【分析】連接CD，根據(jù)直徑所對圓周角是直角可得∠ACD＝90°，根據(jù)同弧所對圓周角相等可得∠ADC＝∠B＝60°，進(jìn)而可得結(jié)果．
【解答】解：如圖，連接CD，

∵AD是直徑．
∴∠ACD＝90°，
∵∠ADC＝∠B＝60°，
∴∠DAC＝30°，
∵AC=3，
∴AD=23×AC＝2，
則直徑AD的長為2．
故選：B．
【點(diǎn)評】本題考查了三角形外接圓與外心，圓周角定理、勾股定理，找出輔助線構(gòu)建直角三角形是解題的關(guān)鍵．
12．如圖，⊙O的直徑AB＝8，AM，BN是它的兩條切線，DE與⊙O相切于點(diǎn)E，并與AM，BN分別相交于D，C兩點(diǎn)，BD，OC相交于點(diǎn)F，若CD＝10，則BF的長是（　?。?br />
A．8179 B．10179 C．8159 D．10159
【分析】如圖，構(gòu)建如圖平面直角坐標(biāo)系，過點(diǎn)D作DH⊥BC于H．想辦法求出C，D兩點(diǎn)坐標(biāo)，構(gòu)建一次函數(shù)，利用方程組確定交點(diǎn)坐標(biāo)即可．
【解答】解：如圖，構(gòu)建如圖平面直角坐標(biāo)系，過點(diǎn)D作DH⊥BC于H．

∵AB是直徑，AB＝8，
∴OA＝OB＝4，
∵AD，BC，CD是⊙O的切線，
∴∠DAB＝∠ABH＝∠DHB＝90°，DA＝DE，CE＝CB，
∴四邊形ABHD是矩形，
∴AD＝BH，AB＝DH＝8，
∴CH=CD2-DH2=102-82=6，
設(shè)AD＝DE＝BH＝x，則EC＝CB＝x+6，
∴x+x+6＝10，
∴x＝2，
∴D（2，4），C（8，﹣4），B（0，﹣4），
∴直線OC的解析式為y=-12x，直線BD的解析式為y＝4x﹣4，
由y=-12xy=4x-4，解得x=89y=-49，
∴F（89，-49），
∴BF=(89)2+(-49+4)2=8179，
故選：A．
【點(diǎn)評】本題考查切線的性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系，學(xué)會構(gòu)建一次函數(shù)，利用方程組確定交點(diǎn)坐標(biāo)，屬于中考選擇題中的壓軸題．
二．填空題（共12小題）
13．銳角△ABC，其外接圓圓心為O，AB、AC上的高交于H，若O、H、B、C在同一圓周上，則∠BAC＝　60°　．
【分析】如圖，連接OB，OC，根據(jù)垂直的定義得到∠ADC＝∠AEB＝90°，根據(jù)圓周角定理得到∠BOC＝∠BHC＝∠DHE，求得∠BOC＝2∠BAC，列方程即可得到結(jié)論．
【解答】解：如圖，連接OB，OC，
∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠ADC＝∠AEB＝90°，
∴∠BAC+∠DHE＝360°﹣∠ADC﹣∠AEB＝180°，
∵O、H、B、C在同一圓周上，
∴∠BOC＝∠BHC＝∠DHE，
∴∠BAC+∠BOC＝180°，
∵∠BOC＝2∠BAC，
∴∠BAC+∠BOC＝3∠BAC＝180°，
∴∠BAC＝60°，
故答案為：60°．

【點(diǎn)評】本題考查了三角形的外接圓與外心，圓周角定理，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．
14．已知，如圖，將半徑為4的圓O沿AB折疊，AB與AB垂直的半徑OC交于點(diǎn)D，且CD＝3OD，則AB＝　55?。?br />
【分析】延長CO交AB于E點(diǎn)，連接OB，構(gòu)造直角三角形，然后再根據(jù)勾股定理求出AB的長
【解答】解：延長CO交AB于E點(diǎn)，連接OB，
∵CE⊥AB，
∴E為AB的中點(diǎn)，
∵OC＝4，CD＝3OD，
∴CD＝3，OD＝1，OB＝4，
∴DE=12（2OC﹣CD）=12（4×2﹣3）=52，
∴OE＝DE﹣OD=52-1=32，
在Rt△OEB中，
∵OE2+BE2＝OB2，
∴BE=OB2-OE2=42-(32)2=552，
∴AB＝2BE=55．
故答案為：55．

【點(diǎn)評】本題考查的是垂徑定理及勾股定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此題的關(guān)鍵．
15．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于圓O，∠BOD＝108°，則∠BCD的度數(shù)是　126　度．

【分析】先根據(jù)圓周角定理得到∠A=12∠BOD＝54°，然后根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求∠BCD的度數(shù)．
【解答】解：∵∠BOD＝108°，
∴∠A=12∠BOD＝54°，
∴∠BCD＝180°﹣∠A＝126°．
故答案是：126．
【點(diǎn)評】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．
16．如圖，△ABC內(nèi)接于圓O，連接AO，D，E分別是BC，AO的中點(diǎn)，且OD＝OE，若∠ODE＝10°，則∠B等于　50°?。?br />
【分析】連接OC，D，E分別是BC，AO的中點(diǎn)，且OD＝OE，可得OD=12OC，即∠OCD＝30°，再由∠ODE＝10°得∠DOE＝160°，從而∠AOC＝160°﹣60°＝100°，再由圓周角定理得∠B=12∠AOC＝50°．
【解答】解：如圖，連接OC，

∵D為BC中點(diǎn)，OB＝OC，
∴OD⊥BC，
∵E為OA中點(diǎn)，
∴OE=12OA=12OC，
∵OD＝OE，
∴OD=12OC，
∴∠OCD＝30°，
∴∠COD＝90°﹣30°＝60°，
∵∠ODE＝10°，
∴∠DOE＝180°﹣2×10°＝160°，
∴∠AOC＝160°﹣60°＝100°，
∴∠B=12∠AOC＝50°，
故答案為：50°．
【點(diǎn)評】本題考查了三角形的外接圓、圓周角定理、含30°角的直角三角形的性質(zhì)，分析出OD=12OC、∠OCD＝30°是解決問題的關(guān)鍵．
17．若點(diǎn)O是等腰△ABC的外心，且∠BOC＝60°，底邊BC＝8，則S△ABC＝　32+163或32﹣163?。?br /> 【分析】作AD⊥BC于D，如圖，利用等腰三角形的性質(zhì)得BD＝CD＝4，則AD垂直平分BC，根據(jù)外心的定義得點(diǎn)O在AD上，再利用∠BOC＝60°得到△OBC為等邊三角形，則OB＝BC＝8，OD＝43，討論：當(dāng)?shù)妊鰽BC為銳角三角形時，AD＝8+43，當(dāng)?shù)妊鰽′BC為鈍角三角形時，A′D＝8﹣43，然后根據(jù)三角形面積公式分別計算兩種情況下的三角形面積．
【解答】解：作AD⊥BC于D，如圖，
∵AB＝AC，
∴BD＝CD=12BC＝4，
∴AD垂直平分BC，
∴點(diǎn)O在AD上，
∵∠BOC＝60°，
∴△OBC為等邊三角形，
∴OB＝BC＝8，
在△OBD中，OD=82-42=43，
當(dāng)?shù)妊鰽BC為銳角三角形時，AD＝8+43，此時△ABC的面積=12×8×（8+43）＝32+163；
當(dāng)?shù)妊鰽′BC為鈍角三角形時，A′D＝8﹣43，此時△ABC的面積=12×8×（8﹣43）＝32﹣163．
綜上所述，△ABC的面積為32+163或32﹣163．
故答案為32+163或32﹣163．

【點(diǎn)評】本題考查了三角形的外接圓與外心，等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理，分類討論是解題的關(guān)鍵．
18．如圖，在圓內(nèi)接正六邊形ABCDEF中，半徑OC＝4，OG⊥BC，垂足為點(diǎn)G，則正六邊形的中心角＝　60°　，邊長＝　4　，邊心距＝　23　．

【分析】由正六邊形的性質(zhì)得∠COD=360°6=60°，再證△OCD是等邊三角形，得BC＝CD＝OC＝4，再由垂徑定理和含30°角的直角三角形的性質(zhì)求出OG即可．
【解答】解：在圓內(nèi)接正六邊形ABCDEF中，∠COD=360°6=60°，
∵OC＝OD，
∴△OCD是等邊三角形，
∴BC＝CD＝OC＝4，
∵OG⊥BC，
∴CG=12BC＝2，
∵∠COG=12∠COD＝30°，
∴OG=3CG＝23，
故答案為：60°，4，23．
【點(diǎn)評】本題考查了正多邊形和圓、正六邊形的5性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及含30°角的直角三角形的性質(zhì)；熟練掌握正六邊形的性質(zhì)和等邊三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
19．如圖，AB是半圓O的直徑，PB切半圓O于點(diǎn)B，PC切半圓O于點(diǎn)C，若AB＝2，∠CAB＝60°，則圖中陰影部分面積等于　334-π6?。?br />
【分析】連接OC，OP，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠PCO＝∠PBO＝90°，∠CPO＝∠BPO，根據(jù)圓周角定理得到∠COB＝2∠CAB＝120°，求得∠CPB＝60°，然后根據(jù)扇形和三角形的面積公式即可得到結(jié)論．
【解答】解：連接OC，OP，
∵PB切半圓O于點(diǎn)B，PC切半圓O于點(diǎn)C，
∴∠PCO＝∠PBO＝90°，∠CPO＝∠BPO，
∵∠CAB＝60°，
∴∠COB＝2∠CAB＝120°，
∴∠CPB＝60°，
∴∠CPO＝∠BPO＝30°，
∵AB＝2，AB是半圓O的直徑，
∴OC＝OA＝OB＝1，
∴PC＝PB=3OC=3，
∴圖中陰影部分面積＝S四邊形PBOC+S扇形AOC﹣S扇形BOC﹣S△AOC＝1×3+60?π×1360-120?π×1360-12×1×32=334-π6．
故答案為：334-π6．

【點(diǎn)評】本題考查了切線的性質(zhì)，扇形的面積的計算，圓周角定理，求得圖中陰影部分面積＝S四邊形PBOC+S扇形AOC﹣S扇形BOC﹣S△AOC是解題的關(guān)鍵．
20．如圖，AC，BD都是⊙O的直徑，過點(diǎn)A作O的切線，與BD的延長線相交于點(diǎn)E．若⊙O的半徑為1，DE＝x，CE＝y(tǒng)，則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為　y=x2+2x+4（x＞0）?。?br />
【分析】由題意知OD＝OA＝1，AC＝2，OE＝x+1，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OA⊥AE，在Rt△AOE中，由勾股定理得到AE2＝x2+2x，在Rt△ACE中，根據(jù)勾股定理列方程即可得到y(tǒng)關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．
【解答】解：∵⊙O的半徑為1，AC，BD都是⊙O的直徑，
∴OD＝OA＝1，AC＝2，
∵DE＝x，
∴OE＝OD+DE＝x+1，
∵AE是⊙O的切線，
∴OA⊥AE，
∴∠OAE＝90°，
在Rt△AOE中，AE2＝OE2﹣OA2＝（x+1）2﹣12＝x2+2x，
在Rt△ACE中，
∵AC＝2，CE＝y(tǒng)，CE2＝AC2+AE2＝22+x2+2x＝x2+2x+4，
∴y=x2+2x+4（x＞0），
故答案為：y=x2+2x+4（x＞0）．

【點(diǎn)評】本題主要考查了切線的性質(zhì)，勾股定理，函數(shù)解析式，根據(jù)勾股定理由含x的代數(shù)式表示出AE2是解決問題的關(guān)鍵．
21．如圖，正方形ABCD的邊長為4，分別以B、D為圓心，正方形的邊長為半徑畫圓，則圖中的陰影部分面積為　8π﹣16　．（結(jié)果保留π）

【分析】由圖可知，陰影部分的面積是兩個圓心角為90°，且半徑為4的扇形的面積與正方形的面積的差，可據(jù)此求出陰影部分的面積．
【解答】解：由題意可得出：S陰影＝2S扇形﹣S正方形＝2×90π?42360-42＝8π﹣16，
故答案為8π﹣16．
【點(diǎn)評】本題考查了扇形的面積，正方形的性質(zhì)，得出S陰影＝2S扇形﹣S正方形是解題關(guān)鍵．
22．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝32°，點(diǎn)B、C在⊙O上，邊AB、AC分別交⊙O于D、E兩點(diǎn)，點(diǎn)B是CD的中點(diǎn)，則∠ABE＝　13°?。?br />
【分析】由∠ABC＝90°，可得CD是⊙O的直徑，由點(diǎn)B是CD的中點(diǎn)以及三角形的內(nèi)角和，可得∠BDC＝∠BCD＝45°，利用三角形的內(nèi)角和求出∠ACB，再根據(jù)角的和差關(guān)系求出∠DCE，由圓周角定理可得∠ABE＝∠DCE得出答案．
【解答】解：如圖，連接DC，
∵∠DBC＝90°，
∴DC是⊙O的直徑，
∵點(diǎn)B是CD的中點(diǎn)，
∴∠BCD＝∠BDC＝45°，
在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝32°，
∴∠ACB＝90°﹣32°＝58°，
∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝58°﹣45°＝13°＝∠ABE，
故答案為：13°．

【點(diǎn)評】本題考查圓周角定理，弦、弧、圓心角之間的關(guān)系以及三角形內(nèi)角和定理，掌握圓周角定理和推論是正確計算的前提．
23．如圖，點(diǎn)A、B、C均在⊙O上，點(diǎn)D在AB的延長線上，若∠AOC＝124°，則∠CBD＝　62°?。?br />
【分析】首先在優(yōu)弧AC上取點(diǎn)E，連接AE，CE，由圓周角定理可求得∠E的度數(shù)，又由圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，可得∠CBD＝∠E．
【解答】解：在優(yōu)弧AC上取點(diǎn)E，連接AE，CE，
∵∠AOC＝124°，
∴∠E=12∠AOC＝62°，
∵∠ABC＝180°﹣∠E，∠ABC＝180°﹣∠CBD，
∴∠CBD＝∠E＝62°．
故答案為：62°．

【點(diǎn)評】此題考查了圓的內(nèi)接多邊形的性質(zhì)以及圓周角定理．注意準(zhǔn)確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．
24．如圖，AD、AE、CB均為⊙O的切線，D，E，F(xiàn)分別是切點(diǎn)，AD＝5，則△ABC的周長為　10?。?br />
【分析】由AD、AE、CB均為⊙O的切線，D、E、F分別為切點(diǎn)，根據(jù)切線長定理，可得CE＝CF，BD＝BF，AE＝AD＝5，繼而可求得△ABC的周長為AE+AD．
【解答】解：∵AD，AE、CB均為⊙O的切線，D，E，F(xiàn)分別是切點(diǎn)，
∴EC＝FC，BF＝BD，AD＝AE，
∵△ABC的周長＝AC+BC+AB＝AC+CF+BF+AB，
∴△ABC的周長＝AC+EC+BD+AB＝AE+AD＝2AD，
∵AD＝5，
∴△ABC的周長為10，
故答案為：10．
【點(diǎn)評】本題主要考查了切線長定理，熟練掌握從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等，此題運(yùn)用線段間的等量代換將周長轉(zhuǎn)化為AE+AD是解決問題的關(guān)鍵．
三．解答題（共8小題）
25．如圖，已知AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，過點(diǎn)C的直線與AB的延長線交于點(diǎn)P，連接AC，若CA＝CP，∠A＝30°．
（1）求證：CP是⊙O的切線；
（2）若OA＝1，求弦AC的長．

【分析】（1）連接OC，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠A＝∠ACO＝30°，∠P＝30°，求出∠ACP的度數(shù)，則可求出答案；
（2）連接BC，由勾股定理可求出答案．
【解答】（1）證明：連接OC，如圖，

∵OA＝OC，∠A＝30°，
∴∠A＝∠ACO＝30°，
∵CA＝CP，
∴∠A＝∠P＝30°，
∴∠ACP＝180°﹣∠A﹣∠P＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∴∠OCP＝∠ACP﹣∠ACO＝120°﹣30°＝90°，
∴OC⊥CP，
∴CP是⊙O的切線；
（2）解：如圖，連接BC，

∵OA＝OB＝1，
∴AB＝2，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB＝90°，
∵∠A＝30°，
∴BC=12AB＝1，
∴AC=AB2-BC2=3．
【點(diǎn)評】本題考查了切線的判定，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，圓周角定理，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握切線的判定是解題的關(guān)鍵．
26．如圖，AB是⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)（C不與點(diǎn)A，B重合）連接AC，BC，過點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為點(diǎn)D．將△ACD沿AC翻折，點(diǎn)D落在點(diǎn)E處得△ACE，AE交⊙O于點(diǎn)F．
（1）求證：CE是⊙O的切線；
（2）若∠BAC＝15°，OA＝2，求陰影部分面積．

【分析】（1）連接OC，求得∠ACO＝∠EAC，根據(jù)內(nèi)錯角相等兩直線平行得到OC∥AE，進(jìn)而求得∠ECO＝90°，即可證明CE是⊙O的切線；
（2）根據(jù)銳角三角函數(shù)求出OG、AG、CD、OD，進(jìn)而求得AF、AE，利用S陰影＝S梯形OCEF﹣S扇形OCF即可求得面積．
【解答】（1）證明：連接OC，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∵△ACD沿AC翻折得到△ACE，
∴∠EAC＝∠BAC，∠AEC＝∠ADC＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠BAC，
∴∠ACO＝∠EAC，
∴OC∥AE，
∴∠AEC+∠ECO＝180°，
∴∠ECO＝90°，即OC⊥CE，
∴CE是⊙O的切線；
（2）解：連接OF，過點(diǎn)O作OG⊥AE于點(diǎn)G，
∵∠BAC＝15°，
∴∠BAE＝2∠BAC＝30°，∠COF＝2∠EAC＝2∠BAC＝30°，
∵OA＝2，
∴OG=12OA＝1，AG=3，
∵OA＝OF，
∴AF＝2AG＝23，
∵∠BOC＝2∠BAC＝30°，CD⊥AB，OC＝OA＝2，
∴CD=12OC＝1，OD=3，
∴AE＝AD＝AO+OD＝2+3，
∴EF＝AE﹣AF＝2-3，CE＝CD＝1，
∴S陰影＝S梯形OCEF﹣S扇形OCF
=12×（2-3+2）×1-30360×π×22
＝2-32-13π．

【點(diǎn)評】本題主要考查翻折的性質(zhì)、切線的判定與性質(zhì)和垂徑定理，熟記梯形和扇形的面積公式是解題的關(guān)鍵．
27．如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)O為邊AB上一點(diǎn)，以點(diǎn)O為圓心，OA為半徑的⊙O與對角線AC相交于點(diǎn)E，連接BE，當(dāng)BE為⊙O的切線時．
（1）求證：BC＝BE；
（2）若點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，⊙O的半徑為1，求矩形ABCD的面積．

【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)，切線的性質(zhì)以及等角的余角相等得出∠CEB＝∠ACB，進(jìn)而得出BC＝BE；
（2）根據(jù)直角三角形的斜邊中線等于斜邊一半、直角三角形的邊角關(guān)系以及等腰三角形的性質(zhì)可得∠BAC＝30°，∠ACB＝60°，利用直角三角形的邊角關(guān)系求出OB、BC利用矩形的面積計算方法進(jìn)行計算即可．
【解答】解：（1）連接OE，
∵OA＝OE，
∠EAO＝∠AEO，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∴∠ACB+∠CAB＝90°，
∵BE是⊙O的切線，
∴∠OEB＝90°，
∴∠AEO+∠CEB＝180°﹣90°＝90°，
∴∠CEB＝∠ACB，
∴BC＝BE；
（2）在Rt△ABC中，點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，
∴BE＝CE＝AE＝BC，
∴∠BAC＝30°，∠ACB＝60°，
∴∠EBO＝30°，
在Rt△BOE中，OE＝1，
∴OB＝2OE＝2，BE=3OE=3，
∴AB＝1+2＝3，BC＝BE=3，
∴矩形ABCD的面積為AB?BC＝33．

【點(diǎn)評】本題考查矩形的性質(zhì)、直角三角形的邊角關(guān)系以及特殊銳角三角函數(shù)值，掌握直角三角形的邊角關(guān)系以及矩形、等腰三角形的性質(zhì)是正確解答的前提．
28．已知AB是⊙O的直徑，弦CD與AB相交，∠BAC＝40°．
（1）如圖①，若D為AB的中點(diǎn)，求∠ABC和∠ABD的大?。?br /> （2）如圖②，若D為AB上的點(diǎn)，且∠OCD＝25°，過點(diǎn)D作DP∥AC與AB的延長線交于點(diǎn)P，求證：DP是⊙O的切線．

【分析】（1）根據(jù)圓周角和圓心角的關(guān)系求得∠ABC和∠ABD的大小，于是得到結(jié)論；
（2）如圖②，連接OD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠OCD＝∠ODC＝25°．根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得到∠COD＝180°﹣25°﹣25°＝130°，根據(jù)周角的定義得到∠AOD＝360°﹣∠AOC﹣∠DOC＝130°，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠P＝∠BAC＝40°．根據(jù)切線的判定定理即可得到結(jié)論．
【解答】解：（1）如圖①，連接OD，
∵AB是⊙O的直徑，弦CD與AB相交，∠BAC＝40°，
∴∠ACB＝90°．
∴∠ABC＝∠ACB﹣∠BAC＝90°﹣40°＝50°．
∵D為弧AB的中點(diǎn)，∠AOB＝180°，
∴∠AOD＝90°，
∴∠ABD＝45°；

（2）如圖②，連接OD，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC＝25°．
∴∠COD＝180°﹣25°﹣25°＝130°，
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠A＝40°，
∴∠AOC＝180°﹣∠A﹣∠ACO＝100°，
∴∠AOD＝360°﹣∠AOC﹣∠DOC＝130°，
由DP∥AC，又∠BAC＝40°，
∴∠P＝∠BAC＝40°．
∵∠AOD是△ODP的一個外角，
∴∠AOD＝∠P+∠ODP＝130°．
∴∠ODP＝∠AOD﹣∠P＝90°．
∴DP是⊙O的切線．

【點(diǎn)評】本題考查切線的判定、圓周角定理，平行線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，周角的定義，求得∠AOD＝130°是解題的關(guān)鍵．
29．如圖，已知AB是⊙O的直徑，點(diǎn)D，C是圓上的兩個點(diǎn)，且AC=BD，直線CD⊥BF于點(diǎn)E．
（1）求證：BF是⊙O的切線；
（2）若∠BAD＝30°，AB＝4，求陰影部分的面積．

【分析】（1）根據(jù)圓周角定理得出AB∥CD，進(jìn)而利用平行線的性質(zhì)得出AB⊥BF，進(jìn)而得出結(jié)論；
（2）根據(jù)S陰影部分＝S△BOD+S△BDE﹣S扇形OBD，求出S△BOD與S△BDE以及S扇形OBD即可．
【解答】解：（1）∵AC=BD，
∴∠BAD＝∠ADC，
∴AB∥CD，
∵CE⊥BF，
∴AB⊥BF，且AB是直徑，
∴BF是⊙O的切線；
（2）連接OD、BD，
∵∠BAD＝30°，AB＝4，
∴∠BOD＝60°，
∵OB＝OD，
∴△OBD是等邊三角形，
∴OB＝OD＝BD＝2，
∵BF是⊙O的切線，
∴∠ABF＝90°，
∴∠DBF＝30°，
∵CE⊥BF，
∴DE＝1，BE=3，
∴S陰影部分＝S△BOD+S△BDE﹣S扇形OBD
=12×2×3+12×1×3-60π×22360
=332-2π3．

【點(diǎn)評】本題考查切線的判定和性質(zhì)，扇形面積的計算以及圓周角定理，掌握切線的判定方法以及扇形面積的計算方法是正確解答的關(guān)鍵．
30．如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，∠BCA＝75°，∠ABC＝45°，連接CO并延長，交⊙O于D，連接BD，過A作AE∥CD，與BC的延長線交于E．
（1）求證：AE與⊙O相切．
（2）若BD=2，求⊙O的半徑的長．

【分析】（1）如圖，連接OA，根據(jù)圓周角定理得到∠AOC＝90°，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠OAE＝180°﹣∠AOC＝90°，于是得到結(jié)論．
（2）根據(jù)已知條件得到∠BDC＝60°，根據(jù)圓周角定理得到∠DBC＝90°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到CD＝2BD＝22，于是得到⊙O的半徑的長為2．
【解答】（1）證明：如圖，連接OA，
∵∠ABC＝45°，
∴∠AOC＝90°，
∵CD∥AE，
∴∠OAE＝180°﹣∠AOC＝90°，
∴AE與⊙O相切．
（2）解：∵∠CAB＝180°﹣∠BCA﹣∠ABC＝180°﹣75°﹣45°＝60°，
∴∠BDC＝60°，
∵CD是⊙O的直徑，
∴∠DBC＝90°，
∴∠DCB＝90°﹣∠BDC＝90°﹣60°＝30°，
∴CD＝2BD＝22，
∴⊙O的半徑的長為2．

【點(diǎn)評】本題考查了切線的判定，圓周角定理，銳角三角函數(shù)，正方形的判定和性質(zhì)，熟練運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是本題的關(guān)鍵．
31．如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C、D在⊙O上，且BD=CD，過點(diǎn)D作DE⊥AC，交AC的延長線于點(diǎn)E，連接AD．
（1）求證：ED是⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為3，AC＝2，求CD的長．

【分析】（1）連接OD．根據(jù)圓周角定理可得∠CAD＝∠DAB，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可結(jié)論；可以兩種方法證明；
（2）連接BC，交OD于點(diǎn)F，根據(jù)直徑所對圓周角是直角，利用勾股定理即可求出結(jié)果．
【解答】解法一：（1）如圖，連接OD．
∵BD=CD，
∴∠CAD＝∠DAB，
∵OA＝OD，
∴∠DAB＝∠ODA．
∴∠CAD＝∠ODA，
∴AE∥OD．
∵DE⊥AE，
∴DE⊥OD，
∵OD為⊙O的半徑，
∴ED是⊙O的切線；

（2）解：如圖，連接BC，交OD于點(diǎn)F，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB＝90°，
∵⊙O的半徑為3，
∴AB＝6．
∵AC＝2，
∴BC=AB2-AC2=42，
∵AE∥OD，OA＝OB，
∴BF＝CF＝22，OF=12AC＝1，∠BFO＝∠ACB＝90°，
∴FD＝OD﹣OF＝3﹣1＝2，
在Rt△CFD中，CD=CF2+DF2=8+4=23．
解法二：（1）如圖，連接OD．
∵BD=CD，
∴∠DAB＝∠CAD．∠DOB＝2∠DAB，
∵∠EAB＝∠DAB+∠CAD＝2∠DAB，
∴∠DOB＝∠EAB，
∴AE∥OD，
∵DE⊥AE，
∴DE⊥OD．
∵OD為⊙O的半徑，
∴ED是⊙O的切線，
（2）解：同解法一．
【點(diǎn)評】本題考查了切線的判定與性質(zhì)，圓周角定理，解決本題的關(guān)鍵是掌握切線的判定與性質(zhì)，圓周角定理．
32．如圖，點(diǎn)A和動點(diǎn)P在直線l上，點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)A的對稱點(diǎn)為Q，以AQ為邊作Rt△ABQ，使∠BAQ＝90°，AQ：AB＝3：4，作△ABQ的外接圓O．點(diǎn)C在點(diǎn)P右側(cè)，PC＝4，過點(diǎn)C作直線m⊥l，過點(diǎn)O作OD⊥m于點(diǎn)D，交AB右側(cè)的圓弧于點(diǎn)E．在射線CD上取點(diǎn)F，使DF=32CD，以DE，DF為鄰邊作矩形DEGF．設(shè)AQ＝3x．
（1）用關(guān)于x的代數(shù)式表示BQ＝　5x　，DF＝　3x?。?br /> （2）當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A右側(cè)時，若矩形DEGF的面積等于90，求AP的長．
（3）當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A右側(cè)時，作直線BG交⊙O于點(diǎn)N，若BN的弦心距為1，求AP的長．

【分析】（1）由AQ：AB＝3：4，AQ＝3x，易得AB＝4x，由勾股定理得BQ，再由中位線的性質(zhì)得AH＝BH=12AB，求得CD，F(xiàn)D；
（2）利用（1）的結(jié)論，易得CQ的長，作OM⊥AQ于點(diǎn)M，則OM∥AB，由垂徑定理得QM＝AM=32x，由矩形性質(zhì)得OD＝MC，利用矩形面積，求得x，得出結(jié)論；
（3）連接NQ，由點(diǎn)O到BN的弦心距為1，得NQ＝2，過點(diǎn)B作BM⊥EG于點(diǎn)M，GM＝x，BM＝x，易得∠GBM＝45°，BM∥AQ，易得AI＝AB，求得IQ，由NQ得AP．
【解答】解：（1）在Rt△ABQ中，
∵AQ：AB＝3：4，AQ＝3x，
∴AB＝4x，
∴BQ＝5x，
∵OD⊥m，m⊥l，
∴OD∥l，
∵OB＝OQ，
∴AH＝BH=12AB＝2x，
∴CD＝2x，
∴FD=32CD＝3x，
故答案為：5x，3x；
（2）∵AP＝AQ＝3x，PC＝4，
∴CQ＝6x+4，
作OM⊥AQ于點(diǎn)M，如圖1，

∴OM∥AB，
∵⊙O是△ABQ的外接圓，∠BAQ＝90°，
∴點(diǎn)O是BQ的中點(diǎn)，
∴QM＝AM=32x
∴OD＝MC=92x+4，
∴OE=12BQ=52x，
∴ED＝2x+4，
S矩形DEGF＝DF?DE＝3x（2x+4）＝90，
解得：x1＝﹣5（舍去），x2＝3，
∴AP＝3x＝9；
（3）連接NQ，由點(diǎn)O到BN的弦心距為1，得NQ＝2，如圖2，

過點(diǎn)B作BM⊥EG于點(diǎn)M，
∵GM＝x，BM＝x
∴∠GBM＝45°，
∴BM∥AQ，
∴AI＝AB＝4x，
∴IQ＝x，
∴NQ=x2=2，
∴x＝22，
∴AP＝62．
【點(diǎn)評】本題主要考查了勾股定理，垂徑定理，正方形的性質(zhì)，中位線的性質(zhì)等，結(jié)合圖形，分類討論是解答此題的關(guān)鍵．

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