【期末單元復(fù)習(xí)】2022-2023學(xué)年蘇科版數(shù)學(xué) 九年級上學(xué)期-第二章《圓》（過關(guān)測試基礎(chǔ)）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

?圓過關(guān)測試（基礎(chǔ)）
一．選擇題（共12小題）
1．⊙O的半徑為4cm，點(diǎn)P到圓心O的距離為5cm，點(diǎn)P與⊙O的位置關(guān)系是（　　）
A．點(diǎn)P在⊙O內(nèi) B．點(diǎn)P在⊙O上 C．點(diǎn)P在⊙O外 D．無法確定
【分析】根據(jù)點(diǎn)在圓上，則d＝r；點(diǎn)在圓外，d＞r；點(diǎn)在圓內(nèi)，d＜r（d即點(diǎn)到圓心的距離，r即圓的半徑）．
【解答】解：∵OP＝5＞4，
∴點(diǎn)P與⊙O的位置關(guān)系是點(diǎn)在圓外．
故選：C．
【點(diǎn)評】此題主要考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，注意：點(diǎn)和圓的位置關(guān)系與數(shù)量之間的等價(jià)關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．
2．下列關(guān)于三角形外心的說法中，正確的是（　?。?br /> A．三角形的外心是三角形各角平分線的交點(diǎn)
B．三角形的外心是三角形三邊中線的交點(diǎn)
C．三角形的外心是三角形三邊高線的交點(diǎn)
D．三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)
【分析】利用三角形的外心的性質(zhì)分別判斷得出即可．
【解答】解：∵三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)，
∴A、B、C選項(xiàng)錯(cuò)誤，D選項(xiàng)正確，
故選：D．
【點(diǎn)評】此題主要考查了三角形的外心的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
3．如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C、D在⊙O上，且AC＝BC＝2，∠BCD＝30°，則BD的長為（　?。?br />
A．22 B．32 C．2 D．3
【分析】連接AD，根據(jù)題意得出∠ACB＝∠ADB＝90°，根據(jù)勾股定理求出AB＝22，再根據(jù)30°的角的直角三角形的性質(zhì)即可得解．
【解答】解：如圖，連接AD，

∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB＝∠ADB＝90°，
在Rt△ABC中，AC＝BC＝2，
∴AB=AC2+BC2=22+22=22，
∵∠BCD＝30°，
∴∠BAD＝∠BCD＝30°，
在Rt△ABD中，AB＝22，
∴BD=12AB=2．
故選：C．
【點(diǎn)評】此題考查了圓周角定理，熟記圓周角定理并作出合理的輔助線是解題的關(guān)鍵．
4．如圖，⊙O的半徑為5，弦AB＝8，點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)，連接OC，則OC的長為（　?。?br />
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根據(jù)題意和垂徑定理，可以得到OC⊥AB且平方AB，然后根據(jù)勾股定理即可得到OC的長．
【解答】解：∵⊙O的半徑為5，弦AB＝8，點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)，
∴OC⊥AB，AC＝BC＝4，OA＝5，
∴OC=OA2-AC2=52-42=3，
故選：C．
【點(diǎn)評】本題考查垂徑定理、勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是明確垂徑定理的內(nèi)容，求出AC的長，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．
5．如圖，點(diǎn)A、B、C在⊙O上，∠ACB＝43°，則∠AOB的度數(shù)是（　?。?br />
A．83° B．84° C．86° D．87°
【分析】直接根據(jù)圓周角定理即可得出答案．
【解答】解：∵∠ACB＝43°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝86°，
故選：C．
【點(diǎn)評】本題考查了圓周角定理，能根據(jù)圓周角定理得出∠AOB＝2∠ACB是解此題的關(guān)鍵．
6．如圖，AB是⊙O的直徑，直線DA與⊙O相切于點(diǎn)A，DO交⊙O于點(diǎn)C，連接BC．若∠ABC＝21°，則∠D的度數(shù)為（　　）

A．46° B．47° C．48° D．49°
【分析】由等腰三角形的性質(zhì)可得∠ABC＝∠OCB＝21°，由切線的性質(zhì)可得∠OAD＝90°，即可求解．
【解答】解：∵OB＝OC，
∴∠ABC＝∠OCB＝21°，
∴∠AOD＝42°，
∵直線DA與⊙O相切于點(diǎn)A，
∴∠OAD＝90°，
∴∠D＝48°，
故選：C．
【點(diǎn)評】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)，掌握切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
7．如圖，已知在半徑為6的⊙O中，點(diǎn)A，B，C在⊙O上且∠ACB＝60°，則AB的長度為（　?。?br />
A．6π B．4π C．2π D．π
【分析】求出弧AB所對的圓心角度數(shù)，依據(jù)弧長公式進(jìn)行計(jì)算即可．
【解答】解：連接OA、OB，則∠AOB＝2∠ACB＝120°，
∴OA＝OB＝6，
∴AB的長度為120π×6180=4π，
故選：B．

【點(diǎn)評】本題考查圓周角定理以及弧長的計(jì)算，掌握弧長的計(jì)算方法和圓周角定理是解決問題的關(guān)鍵．
8．如圖，AB為⊙O的切線，點(diǎn)A為切點(diǎn)，OB交⊙O于點(diǎn)C，點(diǎn)D在⊙O上，連接AD、CD、OA，若∠ADC＝30°，則∠ABO的度數(shù)為（　　）

A．25° B．20° C．30° D．35°
【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)和圓周角定理即可得到結(jié)論．
【解答】解：∵AB為圓O的切線，
∴AB⊥OA，即∠OAB＝90°，
∵∠ADC＝30°，
∴∠AOB＝2∠ADC＝60°，
∴∠ABO＝90°﹣60°＝30°．
故選：C．
【點(diǎn)評】此題考查了切線的性質(zhì)，以及圓周角定理，熟練掌握切線的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．
9．如圖，在⊙O中，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，CD為⊙O的直徑，AE∥BC交⊙O于點(diǎn)E．連接CE．若∠ECD＝50°，則∠DCB＝（　　）

A．10° B．15° C．20° D．25°
【分析】連接AD，如圖，利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠EAD＝130°，再利用平行線的性質(zhì)得到∠EAB+∠B＝180°，則可得到∠B﹣∠BAD＝50°，由于點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，根據(jù)圓周角定理得∠BAD＝∠BCD，根據(jù)垂徑定理得到CD⊥AB，則∠B＝90°﹣∠BCD，所以90°﹣∠BCD﹣∠BCD＝50°，從而可求出∠BCD的度數(shù)．
【解答】解：連接AD，如圖，
∵四邊形ADCE為圓的內(nèi)接四邊形，
∴∠EAD+∠ECD＝180°，
∴∠EAD＝180°﹣50°＝130°，即∠EAB+∠BAD＝130°，
∵AE∥BC，
∴∠EAB+∠B＝180°，
∴∠EAB＝180°﹣∠B，
∴180°﹣∠B+∠BAD＝130°，即∠B﹣∠BAD＝50°，
∵點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，CD為直徑，
∴∠BAD＝∠BCD，CD⊥AB，
∴∠B+∠BCD＝90°，即∠B＝90°﹣∠BCD，
∴90°﹣∠BCD﹣∠BCD＝50°，解得∠BCD＝20°．
故選：C．

【點(diǎn)評】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．也考查了平行線的性質(zhì)和垂徑定理．
10．如圖，∠BAC＝36°，點(diǎn)O在邊AB上，⊙O與邊AC相切于點(diǎn)D，交邊AB于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接FD，則∠AFD等于（　　）

A．27° B．29° C．35° D．37°
【分析】連接OD，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠ADO＝90°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到∠AOD＝90°﹣36°＝54°，根據(jù)圓周角定理即可得到結(jié)論．
【解答】解：連接OD，
∵⊙O與邊AC相切于點(diǎn)D，
∴∠ADO＝90°，
∵∠BAC＝36°，
∴∠AOD＝90°﹣36°＝54°，
∴∠AFD=12∠AOD=12×54°＝27°，
故選：A．

【點(diǎn)評】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，正確的作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．
11．如圖，BC為⊙O的直徑，弦AD⊥BC于點(diǎn)E，直線l切⊙O于點(diǎn)C，延長OD交l于點(diǎn)F，若AE＝2，∠ABC＝22.5°，則CF的長度為（　?。?br />
A．2 B．22 C．23 D．4
【分析】根據(jù)垂徑定理求得AC=CD，AE＝DE＝2，即可得到∠COD＝2∠ABC＝45°，則△OED是等腰直角三角形，得出OD=22+22=22，根據(jù)切線的性質(zhì)得到BC⊥CF，得到△OCF是等腰直角三角形，進(jìn)而即可求得CF＝OC＝OD＝22．
【解答】解：∵BC為⊙O的直徑，弦AD⊥BC于點(diǎn)E，
∴AC=CD，AE＝DE＝2，
∴∠COD＝2∠ABC＝45°，
∴△OED是等腰直角三角形，
∴OE＝ED＝2，
∴OD=22+22=22，
∵直線l切⊙O于點(diǎn)C，
∴BC⊥CF，
∴△OCF是等腰直角三角形，
∴CF＝OC，
∵OC＝OD＝22，
∴CF＝22，
故選：B．
【點(diǎn)評】本題考查了垂徑定理，等弧所對的圓心角和圓周角的關(guān)系，切線的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，求得CF＝OC＝OD是解題的關(guān)鍵．
12．如圖，⊙O與正五邊形ABCDE的兩邊AE，CD相切于A，C兩點(diǎn)，則∠AOC的度數(shù)是（　?。?br />
A．144° B．130° C．129° D．108°
【分析】先根據(jù)五邊形的內(nèi)角和求∠E＝∠D＝108°，由切線的性質(zhì)得：∠OAE＝∠OCD＝90°，最后利用五邊形的內(nèi)角和相減可得結(jié)論．
【解答】解：正五邊形的內(nèi)角＝（5﹣2）×180°÷5＝108°，
∴∠E＝∠D＝108°，
∵AE、CD分別與⊙O相切于A、C兩點(diǎn)，
∴∠OAE＝∠OCD＝90°，
∴∠AOC＝540°﹣90°﹣90°﹣108°﹣108°＝144°，
故選：A．
【點(diǎn)評】本題考查了正五邊形的內(nèi)角和、內(nèi)角的度數(shù)、切線的性質(zhì)，本題的五邊形內(nèi)角可通過外角來求：180°﹣360°÷5＝108°．
二．填空題（共12小題）
13．點(diǎn)P是非圓上一點(diǎn)，若點(diǎn)P到⊙O上的點(diǎn)的最小距離是4cm，最大距離是9cm，則⊙O的半徑是　6.5cm或2.5cm?。?br /> 【分析】點(diǎn)應(yīng)分為位于圓的內(nèi)部與外部兩種情況討論：①當(dāng)點(diǎn)P在圓內(nèi)時(shí)，直徑＝最小距離+最大距離；②當(dāng)點(diǎn)P在圓外時(shí)，直徑＝最大距離﹣?zhàn)钚【嚯x．
【解答】解：分為兩種情況：

①當(dāng)點(diǎn)在圓內(nèi)時(shí)，如圖1，
∵點(diǎn)到圓上的最小距離PB＝4cm，最大距離PA＝9cm，
∴直徑AB＝4cm+9cm＝13cm，
∴半徑r＝6.5cm；
②當(dāng)點(diǎn)在圓外時(shí)，如圖2，
∵點(diǎn)到圓上的最小距離PB＝4cm，最大距離PA＝9cm，
∴直徑AB＝9cm﹣4cm＝5cm，
∴半徑r＝2.5cm；
故答案為：6.5cm或2.5cm．
【點(diǎn)評】本題主要考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，注意到分兩種情況進(jìn)行討論是解決本題的關(guān)鍵．
14．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，則其外接圓的直徑為　5?。?br /> 【分析】根據(jù)三角形外心的性質(zhì)可知，直角三角形的外心為斜邊中點(diǎn)，斜邊為直徑，先由勾股定理求出斜邊長，則可得出答案．
【解答】解：在Rt△ABC中，
∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB=AC2+BC2=42+32=5，
∵直角三角形的外心為斜邊中點(diǎn)，
∴Rt△ABC的外接圓的直徑為5．
故答案為：5．
【點(diǎn)評】本題考查了直角三角形的外接圓與外心，勾股定理的運(yùn)用．關(guān)鍵是明確直角三角形的斜邊為三角形外接圓的直徑．
15．如圖，PA，PB是⊙O的切線，A，B是切點(diǎn)．若∠P＝50°，則∠AOB＝　130°?。?br />
【分析】先根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠OAP＝∠OBP＝90°，然后根據(jù)四邊形的內(nèi)角和計(jì)算∠AOB的度數(shù)．
【解答】解：∵PA，PB是⊙O的切線，A，B是切點(diǎn)，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∵∠OAP+∠AOB+∠OBP+∠P＝360°，
∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°．
故答案為130°．
【點(diǎn)評】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．
16．如圖，半圓的半徑AO＝3，C為半圓上一點(diǎn)，連接AC，BC，D為BC上一點(diǎn)，連接OD，交BC于點(diǎn)E，連接AE，若四邊形ACDE為平行四邊形，則AE的長為　23?。?br />
【分析】如圖，連接OC．證明AC＝DE＝2OE，利用勾股定理構(gòu)建關(guān)系式，可得結(jié)論．
【解答】解：如圖，連接OC．

∵AB是直徑，
∴∠ACB＝90°，
∵四邊形ACDE是平行四邊形，
∴AC＝DE，CD＝AE，AC∥DE，
∴∠ACE＝∠DEC＝90°，
∴OD⊥BC，
∴EC＝EB，
∵OA＝OB，
∴AC＝2OE＝DE，
∵OD＝OC＝3，
∴OE＝1，DE＝2，
∴CE2＝OC2﹣OE2＝CD2﹣DE2，
∴32﹣12＝CD2﹣22，
∴CD＝23或﹣23（舍去）．
故答案為：23．
【點(diǎn)評】本題考查圓周角定理，垂徑定理，勾股定理，平行四邊形的性質(zhì)，三角形中位線定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．
17．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，若∠ABC＝35°，則∠AOC的度數(shù)為　70°?。?br />
【分析】由⊙O是△ABC的外接圓，若∠ABC＝35°，根據(jù)圓周角定理，即可求得答案．
【解答】解：∵⊙O是△ABC的外接圓，∠ABC＝35°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝70°．
故答案為：70°．
【點(diǎn)評】此題考查了圓周角定理．此題比較簡單，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
18．如圖，已知四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，且△ADE是等邊三角形，⊙O的半徑為2，則劣弧BD的長為　43π?。?br />
【分析】連接OB、OD，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出∠C＝∠DAE＝60°，根據(jù)圓周角定理求出∠BOD的度數(shù)，然后根據(jù)弧長公式求解．
【解答】解：連接OB、OD，
∵△ADE是等邊三角形，
∴∠DAE＝60°，
∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，
∴∠C＝∠DAE＝60°，
∴∠BOD＝120°，
則劣弧BD=120π×2180=43π．
故答案為：43π．

【點(diǎn)評】本題考查了弧長的計(jì)算，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)圓周角定理求出∠BOD的度數(shù)，注意掌握弧長公式．
19．如圖，在長方形ABCD中，AB＝5，AD＝3，以點(diǎn)D為圓心，AD長為半徑畫弧，交線段CD延長線于點(diǎn)E，點(diǎn)F為BC邊上一點(diǎn)，若CF＝2BF，連接EF，則圖中陰影部分的面積為　7+9π4　（結(jié)果保留π）．

【分析】用矩形的面積加上扇形的面積減去三角形的面積即可求得陰影部分的面積．
【解答】解：如圖，連接BE，
在長方形ABCD中，AB＝5，AD＝3，
∴S四邊形ABCD＝5×3＝15，
∵∠ADC＝90°，
∴∠ADE＝90°，
∴S扇形ADE=90π×32360=9π4，
∵ED＝AD＝BC＝3，CD＝AB＝5，
∴S△ECF=12×（3+5）×2＝8，
∴S陰影＝S四邊形ABCD+S扇形ADE﹣S△ECF＝15+9π4-8＝7+9π4，
故答案為：7+9π4，

【點(diǎn)評】本題考查了扇形的面積的計(jì)算及矩形的性質(zhì)，明確S陰影＝S四邊形ABCD+S扇形ADE﹣S△ECF是解答本題的關(guān)鍵．
20．如圖，PA、PB分別與⊙O相切于點(diǎn)A、B，∠P＝70°，C為弧AB上一點(diǎn)，則∠ACB的度數(shù)為　125°?。?br />
【分析】由切線的性質(zhì)得出∠OAP＝∠OBP＝90°，利用四邊形內(nèi)角和可求∠AOB＝110°，再利用圓周角定理可求∠ADB＝55°，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)可求∠ACB．
【解答】解：如圖所示，連接OA，OB，在優(yōu)弧AB上取點(diǎn)D，連接AD，BD，

∵AP、BP是⊙O切線，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣70°＝110°，
∴∠ADB=12∠AOB＝55°，
又∵圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)，
∴∠ACB＝180°﹣∠ADB＝180°﹣55°＝125°．
故答案為：125°．
【點(diǎn)評】本題考查了切線的性質(zhì)、圓周角定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是連接OA、OB，求出∠AOB．
21．如圖，A、P、B、C是⊙O上的四點(diǎn)，∠APC＝∠CPB＝60°，過點(diǎn)C作CM∥BP交PA的延長線于點(diǎn)M．其中正確的結(jié)論是　①②③④?。ㄌ钚蛱枺?br /> ①∠MAC＝∠PBC，
②△ABC是等邊三角形，
③PC＝PA+PB，
④若PA＝1，PB＝2，則△PCM的面積=934．

【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和平角的定義即可得到∠MAC＝∠PBC；故①正確；根據(jù)圓周角定理得到∠ABC＝∠BAC＝60°，推出△ABC是等邊三角形，故②正確；根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠MAC＝∠PBC，∠ACB+∠APB＝180°；根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠M+∠APB＝180°，求得∠M＝∠ACB；根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠ACB＝∠BAC＝60°，AC＝BC；而∠BPC＝∠BAC＝60°，求得∠M＝∠BPC；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到PB＝AM，PA+PB＝PA+AM＝PM；根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到PC＝PA+PB，故③正確；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AM＝PB＝2，求得PM＝PA+AM＝1+2＝3，由三角形的面積公式得到△PCM的面積=34CM2=934，故④正確．
【解答】解：∵A、P、B、C是⊙O上的四點(diǎn)，
∴∠PBC+∠PAC＝180°，
∵∠PAC+∠MAC＝180°，
∴∠MAC＝∠PBC；故①正確；
∵∠APC＝∠CPB＝60°，
∴∠ABC＝∠APC＝60°，∠BAC＝∠BPC＝60°，
∴∠ABC＝∠BAC＝60°，
∴△ABC是等邊三角形，故②正確；
∵四邊形APBC是⊙O的內(nèi)接四邊形，
∴∠MAC＝∠PBC，∠ACB+∠APB＝180°；
∵CM∥BP，
∴∠M+∠APB＝180°，
∴∠M＝∠ACB；
又∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ACB＝∠BAC＝60°，AC＝BC；而∠BPC＝∠BAC＝60°，
∴∠M＝∠BPC；
在△ACM與△BCP中，
∠MAC=∠PBC∠M=∠BPCAC=BC，
∴△ACM≌△BCP（AAS）．
∴PB＝AM，PA+PB＝PA+AM＝PM；
∵∠M＝∠BPC＝60°，∠APC＝∠ABC＝60°，
∴△MPC為等邊三角形，
∴PC＝PM，
∴PC＝PA+PB，故③正確；
∵△ACM≌△BCP，
∴AM＝PB＝2，
∴PM＝PA+AM＝1+2＝3，
∵△PCM是等邊三角形，
∴△PCM的面積=34CM2=934，故④正確，
故答案為：①②③④．

【點(diǎn)評】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．
22．如圖，在等邊三角形ABC中，D為BC的中點(diǎn)，ADB交AC于點(diǎn)E，若AB＝2，則DE的長為　π3　．

【分析】如圖，取AB的中點(diǎn)O，連接OE，OD．證明∠DOE＝60°，利用弧長公式求解即可．
【解答】解：如圖，取AB的中點(diǎn)O，連接OE，OD．
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠A＝∠B＝60°，
∵OA＝OE＝OB＝OD，
∴△AOE，△BOD都是等邊三角形，
∴∠AOE＝∠BOD＝60°，
∴∠DOE＝180°﹣2×60°＝60°，
∴DE的長=60π?1180=π3，
故答案為：π3．

【點(diǎn)評】本題考查弧長公式，等邊三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考常考題型．
23．如圖，△ABC內(nèi)接于半徑為2的⊙O，∠ABC、∠ACB的平分線交于點(diǎn)I，∠BIC＝110°，則劣弧BC的長為　89π?。?br />
【分析】連接OB，OC，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理、角平分線的定義求出∠A，根據(jù)圓周角定理求出∠BOC，根據(jù)弧長公式計(jì)算，得到答案．
【解答】解：連接OB，OC，
∵∠BIC＝110°，
∴∠IBC+∠ICB＝180°﹣∠BIC＝70°，
∵BI，CI分別為∠ABC、∠ACB的平分線，
∴∠IBC=12∠ABC，∠ICB=12∠ACB，
∴∠ABC+∠ACB＝2×（∠IBC+∠ICB）＝140°，
∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝40°，
由圓周角定理得：∠BOC＝2∠A＝80°，
∴劣弧BC的長=80π×2180=89π，
故答案為：89π．

【點(diǎn)評】本題考查的是三角形的外接圓與外心、弧長的計(jì)算、三角形內(nèi)角和定理，掌握圓周角定理、弧長公式是解題的關(guān)鍵．
24．如圖，AB是⊙的直徑，半徑OA的垂直平分線交⊙O于C，D兩點(diǎn)，∠C＝30°，CD＝23，則陰影部分的面積是　23π?。?br />
【分析】連接OC，AD，根據(jù)圓周角定理得到∠AOD＝60°，即可得到△AOD是等邊三角形，根據(jù)垂徑定理得出OA垂直平分CD，即可證得四邊形ACOD是菱形，解直角三角形求得AC＝2，即可求得陰影部分面積＝扇形OAD的面積．
【解答】解：連接OC、AD，

∵∠ACD＝30°，
∴∠AOD＝60°，
∵OA＝OD，
∴△AOD是等邊三角形，
∵AB⊥CD，
∴OA平分CD，
∴CE＝DE=12CD=3，
∵CD垂直平分OA，
∴四邊形ACOD是菱形，
在Rt△ACE中，AC=CEcos30°=2，
∴陰影部分面積=60?π?22360=23π．
故答案為：23π．
【點(diǎn)評】本題考查了圓周角定理，垂徑定理，菱形的判定，等邊三角形的判定和性質(zhì)，扇形的面積公式，垂徑定理，證得陰影部分面積＝扇形OAD的面積是解題的關(guān)鍵．
三．解答題（共8小題）
25．如圖，圓O中兩條互相垂直的弦AB，CD交于點(diǎn)E．
（1）M是CD的中點(diǎn)，OM＝3，CD＝12，求圓O的半徑長；
（2）點(diǎn)F在CD上，且CE＝EF，求證：AF⊥BD．

【分析】（1）連接OD，由垂徑定理推論可得∠OMD＝90°，在Rt△OMD中用勾股定理即可得半徑；
（2）連接AC，延長AF交BD于G，由已知可證△ACF是等腰三角形，∠FAE＝∠CAE，又弧BC＝弧BC，有∠CAE＝∠CDB，故∠FAE＝∠CDB，即可由∠CDB+∠B＝90°，得∠AGB＝90°，從而得證AF⊥BD．
【解答】解：（1）連接OD，如圖：

∵M(jìn)是CD的中點(diǎn)，CD＝12，
∴DM=12CD＝6，OM⊥CD，∠OMD＝90°，
Rt△OMD中，OD=OM2+DM2，且OM＝3，
∴OD=32+62=35，即圓O的半徑長為35；
（2）連接AC，延長AF交BD于G，如圖：

∵AB⊥CD，CE＝EF，
∴AB是CF的垂直平分線，
∴AF＝AC，即△ACF是等腰三角形，
∵CE＝EF，
∴∠FAE＝∠CAE，
∵BC=BC，
∴∠CAE＝∠CDB，
∴∠FAE＝∠CDB，
Rt△BDE中，∠CDB+∠B＝90°，
∴∠FAE+∠B＝90°，
∴∠AGB＝90°，
∴AG⊥BD，即AF⊥BD．
【點(diǎn)評】本題考查垂徑定理及推論，涉及勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)及判定，解題的關(guān)鍵是證明∠FAE＝∠CDB．
26．如圖，AB是半圓O的直徑，D是AC的中點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)E，AC交DE于點(diǎn)F．
（1）求證：∠DAF＝∠ADF；
（2）若CD＝25，半圓O的半徑為5，求BC的長．

【分析】（1）連接BD，根據(jù)AD=CD求出∠DAC＝∠ABD，根據(jù)∠ADF+∠DAE＝∠DAE+∠ABD＝90°求出∠ADF＝∠ABD，再去求答案即可；
（2）連接OD交AC于H，求出AD，根據(jù)勾股定理得出52﹣OH2＝（25）2﹣（5﹣OH）2，求出OH，再根據(jù)三角形的中位線求出BC即可．
【解答】（1）證明：連接BD，

∵D為AC的中點(diǎn)，
∴AD=CD，
∴∠DAC＝∠ABD，
∵AB為半圓O的直徑，DE⊥AB，
∴∠DEA＝∠ADB＝90°，
∴∠ADF+∠DAE＝∠DAE+∠ABD＝90°，
∴∠ADF＝∠ABD，
∴∠DAF＝∠ADF；

（2）解：連接OD交AC于H，

∵CD=AD，OD過O，
∴OD⊥AC，AD＝CD＝25，
在Rt△AOH中，AH2＝OA2﹣OH2，
在Rt△ADH中，AH2＝AD2﹣DH2，
∴OA2﹣OH2＝AD2﹣DH2，
即52﹣OH2＝（25）2﹣（5﹣OH）2，
解得：OH＝3，
∵D為AC的中點(diǎn)，OD過O，
∴AH＝CH，
∵AO＝BO，
∴OH=12BC，
∴BC＝2OH＝6．
【點(diǎn)評】本題考查了圓周角定理，勾股定理，三角形的中位線，垂徑定理等知識(shí)點(diǎn)，能綜合運(yùn)用知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行推理和計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．
27．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝54°，以AB為直徑的⊙O分別交AC、BC于點(diǎn)D、E，過點(diǎn)B作直線BF，交AC的延長線于點(diǎn)F．
（1）求證：BE＝CE；
（2）若AB＝6，求弧DE的長；
（3）當(dāng)∠F的度數(shù)是多少時(shí)，BF與⊙O相切，證明你的結(jié)論．

【分析】（1）連接AE，如圖，根據(jù)圓周角定理得∠AEB＝90°，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到BE＝CE；
（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到得到∠CAE=12∠BAC＝27°，再利用圓周角定理得到∠DOE＝54°，然后根據(jù)弧長公式可計(jì)算出弧DE的長；
（3）當(dāng)∠F的度數(shù)是36°時(shí)可得到∠ABF＝90°，則AB⊥BF，然后根據(jù)切線的性質(zhì)可判斷BF為⊙O的切線．
【解答】（1）證明：連接AE，如圖，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠AEB＝90°，
∴AE⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BE＝CE；
（2）解：∵AB＝AC，AE⊥BC，
∴AE平分∠BAC，
∴∠CAE=12∠BAC=12×54°＝27°，
∴∠DOE＝2∠CAE＝2×27°＝54°，
∴弧DE的長=54?π?3180=910π；
（3）解：當(dāng)∠F的度數(shù)是36°時(shí)，BF與⊙O相切．
理由如下：∵∠BAC＝54°，
∴當(dāng)∠F＝36°時(shí)，∠ABF＝90°，
∴AB⊥BF，
∴BF為⊙O的切線．

【點(diǎn)評】本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．也考查了圓周角定理．
28．如圖，C是以AB為直徑的⊙O上一點(diǎn)，過O作OE⊥AC于點(diǎn)E，過點(diǎn)A作⊙O的切線交OE的延長線于點(diǎn)F，連接CF并延長交BA的延長線于點(diǎn)P．
（1）求證：PC是⊙O的切線；
（2）若AB＝4，AP：PC＝1：2，求CF的長．

【分析】（1）連接OC，證明△AOF≌△COF，得到∠OCF＝∠OAF＝90°，根據(jù)切線的判定定理證明PC是⊙O的切線；
（2）根據(jù)切線長定理求出PC的長，根據(jù)平行線分線段成比例定理得到PF與FC之比，計(jì)算得到答案．
【解答】（1）證明：連接OC，
∵AB為⊙O的直徑，∠ACB＝90°，又OE⊥AC，
∴BC∥OF，
∴∠AOF＝∠OBC，∠FOC＝∠OCB，
∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠AOF＝∠COF，
在△AOF和△COF中，
OA=OC∠AOF=∠COFOF=OF，
∴△AOF≌△COF，
∴∠OCF＝∠OAF＝90°，
∴PC是⊙O的切線；
（2）設(shè)AP＝x，則PC＝2x，
由切割線定理得，PC2＝PA?PB，
即4x2＝x（x+4），
解得x=43，
∵BC∥OF，
∴PFFC=POOB，即83-CFCF=1032，
解得，F(xiàn)C＝1．

【點(diǎn)評】本題考查的是切線的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握相關(guān)的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
29．如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是△ABC的平分線，交AC于點(diǎn)D，以點(diǎn)D為圓心、DC為半徑作⊙D．
（1）求證：⊙D與AB相切．
（2）若⊙D與AB的切點(diǎn)為E，BD與⊙D交于點(diǎn)F，且DE∥CF，判斷四邊形CDEF的形狀并說明理由．

【分析】（1）如圖1，過D作DE⊥AB于E，根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）如圖2，連接DE，EF，CF，根據(jù)切線的性質(zhì)得到BC＝BE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CF＝EF，∠CFB＝∠EFB，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠CFD＝∠EDF，等量代換得到∠EDF＝∠EFD，得到DE＝EF，于是得到結(jié)論．
【解答】（1）證明：如圖1，過D作DE⊥AB于E，

∵∠C＝90°，BD是∠ABC的平分線，
∴CD＝DE，
∴⊙D與AB相切；
（2）四邊形CDEF是菱形，
理由：如圖2，連接DE，EF，CF，

∵∠ACB＝90°，CD是⊙D 半徑，
∴BC是⊙D 的切線，
∵AB是⊙D的切線，
∴BC＝BE，
在△CBF與△EBF中，BC=BE∠CBF=∠EBFBF=BF，
∴△CBF≌△EBF，
∴CF＝EF，∠CFB＝∠EFB，
∴∠CFD＝∠DFE，
∵CF∥DE，
∴∠CFD＝∠EDF，
∴∠EDF＝∠EFD，
∴DE＝EF，
∴DE＝CF，
∴四邊形CDEF是菱形．
【點(diǎn)評】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，菱形的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
30．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)O為BC邊上一點(diǎn)，以O(shè)B為半徑的⊙O與邊AB、BC交于點(diǎn)D、E，連接DC、DE，且CD為⊙O的切線．
（1）求證：AC＝DC；
（2）若∠B＝30°，⊙O的半徑為1，求陰影部分的面積．

【分析】（1）連接OD，如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠ODC＝90°，然后證明∠A＝∠CDA，從而得到AC＝DC；
（2）根據(jù)圓周角定理得到∠DOE＝60°，利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到CD=3，然后根據(jù)扇形的面積公式，利用陰影部分的面積＝S△ODC﹣S扇形DOE進(jìn)行計(jì)算．
【解答】（1）證明：連接OD，如圖，
∵CD為⊙O的切線，
∴OD⊥CD，
∴∠ODC＝90°，
∴∠CDA+∠ODB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠B，
∴∠A＝∠CDA，
∴AC＝DC；
（2）解：∵∠DOE＝2∠B＝2×30°＝60°，
而∠ODC＝90°，
∴CD=3OD=3，
∴陰影部分的面積＝S△ODC﹣S扇形DOE
=12×1×3-60×π×12360
=32-π6．

【點(diǎn)評】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．也考查了圓周角定理和扇形的面積計(jì)算．
31．如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的半⊙O交邊BC于點(diǎn)D，切線DE交邊AC于點(diǎn)E，CF∥AB交AD延長線于點(diǎn)F，連接BF交⊙O于點(diǎn)G，連接DG．求證：
（1）DE⊥AC；
（2）四邊形ABFC為菱形．

【分析】（1）連接OD，根據(jù)切線的性質(zhì)得到DE⊥OD，證明OD∥AC，根據(jù)平行線的性質(zhì)定理證明結(jié)論；
（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到DB＝DC，證明△ABD≌△FCD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AB＝CF，進(jìn)而證明四邊形ABFC為平行四邊形．根據(jù)菱形的判定定理證明即可．
【解答】證明：（1）連接OD，
∵DE是⊙O的切線，
∴DE⊥OD，
∵OB＝OD，
∴∠ODB＝∠OBD，
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠OBD，
∴∠ODB＝∠ACB，
∴OD∥AC，
∴DE⊥AC；
（2）∵OD∥AC，OA＝OB，
∴DB＝DC．
∵CF∥AB，
∴∠BAD＝∠CFD，∠ABD＝∠FCD．
∴△ABD≌△FCD（AAS）．
∴AB＝CF，
∴四邊形ABFC為平行四邊形．
∵AB＝AC，
∴平行四邊形ABFC為菱形．

【點(diǎn)評】本題考查的是切線的性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑是解題的關(guān)鍵．
32．如圖1，△ABC內(nèi)接于⊙O，直線MN與⊙O相切于點(diǎn)D，OD與BC相交于點(diǎn)E，BC∥MN．
（1）求證：∠BAC＝∠DOC；
（2）如圖2，若AC是⊙O的直徑，E是OD的中點(diǎn)，⊙O的半徑為4，求AE的長．

【分析】（1）連接OB，如圖1，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OD⊥MN，則OD⊥BC，利用垂徑定理得到BD=CD，然后根據(jù)圓周角定理得到結(jié)論；
（2）先計(jì)算出CE＝23，根據(jù)垂徑定理得到BE＝CE＝23，接著利用勾股定理計(jì)算出AB，然后計(jì)算AE的長．
【解答】（1）證明：連接OB，如圖1，
∵直線MN與⊙O相切于點(diǎn)D，
∴OD⊥MN，
∵BC∥MN，
∴OD⊥BC，
∴BD=CD，
∴∠BOD＝∠COD，
∵∠BAC=12∠BOC，
∴∠BAC＝∠COD；
（2）∵E是OD的中點(diǎn)，
∴OE＝DE＝2，
在Rt△OCE中，CE=OC2-OE2=42-22=23，
∵OE⊥BC，
∴BE＝CE＝23，
∵AC是⊙O的直徑，
∴∠ABC＝90°，
∴AB=AC2-BC2=82-(43)2=4，
在Rt△ABE中，AE=AB2+BE2=42+(23)2=27．

【點(diǎn)評】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．也考查了垂徑定理、圓周角定理．

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