第5章函數(shù)概念與性質5.4　函數(shù)的奇偶性第1課時　奇偶性的概念　第2課時　奇偶性的應用課后篇鞏固提升必備知識基礎練1.(2020浙江溫州期中)以下函數(shù)為奇函數(shù)的是(　　)　　　　　　　　　　　　　　A.y=-2x B.y=2-xC.y=x2 D.y=,x∈(0,1)答案A解析f(x)=-2x的定義域為R,定義域關于原點對稱,f(-x)=2x=-f(x),y=-2x是奇函數(shù),A符合題意;y=2-x既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù),B不符合題意;y=x2是偶函數(shù),C不符合題意;y=,x∈(0,1),定義域不關于原點對稱,即既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù),D不符合題意.故選A.2.設f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且當x≤0時,f(x)=x2-x,則f(1)=(　　)A.- B.-C. D.答案A解析因為f(x)是定義在R上的奇函數(shù),所以f(1)=-f(-1)=-.3.函數(shù)f(x)=2x-的圖象關于(　　)A.y軸對稱 B.直線y=-x對稱C.直線y=x對稱 D.原點對稱答案D解析函數(shù)的定義域為(-∞,0)∪(0,+∞),則f(-x)=-2x+=-2x-=-f(x),則函數(shù)f(x)是奇函數(shù),則函數(shù)f(x)=2x-的圖象關于原點對稱.故選D.4.若f(x)=(x-a)(x+3)為R上的偶函數(shù),則實數(shù)a的值為(　　)A.-3 B.3 C.-6 D.6答案B解析因為f(x)是定義在R上的偶函數(shù),所以f(-x)=f(x),即(-x-a)(-x+3)=(x-a)(x+3),化簡得(6-2a)x=0.因為x∈R,所以6-2a=0,即a=3.5.設f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當x>0時,f(x)=x2+1,則f(-2)+f(0)=　　　　. 答案-5解析由題意知f(-2)=-f(2)=-(22+1)=-5,f(0)=0,∴f(-2)+f(0)=-5.6.若函數(shù)f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函數(shù),定義域為[a-1,2a],則a=　　　　,b=　　　　. 答案　0解析由題意可知,f(-x)=f(x),即2bx=0,∴7.(2020北京首都師范大學附屬中學期末)函數(shù)y=f(x)是R上的偶函數(shù),且在(-∞,0]上是增函數(shù),若f(a)≤f(3),則實數(shù)a的取值范圍是　　　　　　. 答案(-∞,-3]∪[3,+∞)解析因為函數(shù)y=f(x)是R上的偶函數(shù),且在(-∞,0]上是增函數(shù),所以f(x)在[0,+∞)上是減函數(shù).因為f(a)≤f(3),所以f(|a|)≤f(3),所以|a|≥3,解得a≤-3或a≥3.所以a的取值范圍為(-∞,-3]∪[3,+∞).8.已知f(x)是定義在(-1,1)上的奇函數(shù),且f(x)在(-1,1)上是減函數(shù),解不等式f(1-x)+f(1-2x)<0.解∵f(x)是定義在(-1,1)上的奇函數(shù),∴由f(1-x)+f(1-2x)<0,得f(1-x)<-f(1-2x),∴f(1-x)<f(2x-1).又f(x)在(-1,1)上是減函數(shù),∴解得0<x<,∴原不等式的解集為0,.9.(2020山西太原五中月考)已知函數(shù)y=f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且當x>0時,f(x)=-x2+ax.(1)求f(0);(2)若a=-2,求函數(shù)f(x)的解析式;(3)若函數(shù)f(x)為R上的減函數(shù),求a的取值范圍.解(1)因為y=f(x)是定義在R上的奇函數(shù),所以f(0)=0.(2)當a=-2時,f(x)=-x2-2x,x>0.當x<0時,-x>0,即f(-x)=-f(x)=-x2+2x,即f(x)=x2-2x.當x=0時,f(0)=-02-2×0=0,則f(x)=(3)當x<0時,-x>0,即f(-x)=-f(x)=-x2-ax,所以f(x)=x2+ax,從而f(x)=因為f(x)為R上的減函數(shù),所以x=≤0,解得a≤0.故a的取值范圍為(-∞,0].關鍵能力提升練10.已知一個奇函數(shù)的定義域為{-1,2,a,b},則a+b等于 (　　)A.-1 B.1 C.0 D.2答案A解析因為一個奇函數(shù)的定義域為{-1,2,a,b},根據(jù)奇函數(shù)的定義域關于原點對稱,所以a與b有一個等于1,一個等于-2,所以a+b=1+(-2)=-1.11.已知f(x)=x5+ax3+bx-8(a,b是常數(shù)),且f(-3)=5,則f(3)=(　　)A.21 B.-21C.26 D.-26答案B解析設g(x)=x5+ax3+bx,則g(x)為奇函數(shù),由題設可得f(-3)=g(-3)-8=5,求得g(-3)=13.又g(x)為奇函數(shù),所以g(3)=-g(-3)=-13,于是f(3)=g(3)-8=-13-8=-21.12.(2020甘肅蘭州一中月考)函數(shù)f(x)的定義域為R,對任意的x1,x2∈[1,+∞)(x1≠x2),有<0,且函數(shù)f(x+1)為偶函數(shù),則(　　)A.f(1)<f(-2)<f(3) B.f(3)<f(-2)<f(1)C.f(-2)<f(3)<f(1) D.f(-2)<f(1)<f(3)答案C解析因為對任意的x1,x2∈[1,+∞)(x1≠x2),有<0,所以對任意的x1,x2∈[1,+∞)(x1≠x2),x2-x1與f(x2)-f(x1)均為異號,所以f(x)在[1,+∞)上是減函數(shù).又函數(shù)f(x+1)為偶函數(shù),即f(x+1)=f(1-x),所以f(-2)=f(4).所以f(-2)=f(4)<f(3)<f(1).故選C.13.若函數(shù)f(x)=ax2+(2+a)x+1是偶函數(shù),則函數(shù)f(x)的增區(qū)間為(　　)A.(-∞,0] B.[0,+∞)C.(-∞,+∞) D.[1,+∞)答案A解析因為函數(shù)為偶函數(shù),所以a+2=0,a=-2,即該函數(shù)f(x)=-2x2+1,所以函數(shù)在(-∞,0]上是增函數(shù).14.(2020江蘇華羅庚中學月考)若函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),在(-∞,0]上是減函數(shù),且f(-1)=0,則使得(x2-4)f(x)>0的x的取值范圍是(　　)A.?B.(-∞,-2)∪(-1,1)∪(2,+∞)C.(-1,1)D.(-∞,-2)∪(2,+∞)答案B解析因為函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),在(-∞,0]上是減函數(shù),且f(-1)=0,所以f(1)=0,函數(shù)f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù).由題意可知,x2-4=0不滿足條件.①當x≤0時,若x2-4<0,可得-2<x≤0,則由(x2-4)f(x)>0得f(x)<0=f(-1),可得-1<x≤0;若x2-4>0,可得x<-2,則由(x2-4)f(x)>0得f(x)>0=f(-1),可得x<-1,所以x<-2.②當x>0時,若x2-4<0,可得0<x<2,則由(x2-4)f(x)>0得f(x)<0=f(1),可得0<x<1;若x2-4>0,可得x>2,則由(x2-4)f(x)>0得f(x)>0=f(1),可得x>1,所以x>2.綜上所述,x的取值范圍為(-∞,-2)∪(-1,1)∪(2,+∞).故選B.15.(多選)(2020江蘇無錫期中)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),當x≥0時,f(x)=x-x2,則下列說法正確的是(　　)A.f(x)的最大值為B.f(x)在-1,-是增函數(shù)C.f(x)>0的解集為(-1,1)D.f(x)+2x≥0的解集為[0,3]答案ABD解析∵f(x)是偶函數(shù),當x≥0時,f(x)=-x2+x=-x-2+,f(x)最大值是,∴當x≤0時,f(x)最大值也是,故A正確;f(x)在,1上是減函數(shù),因此f(x)在-1,-上是增函數(shù),故B正確;f(0)=0,故C錯誤;當x≥0時,f(x)+2x=3x-x2≥0,解得0≤x≤3,當x≤0時,-x≥0,f(x)=f(-x)=(-x)-(-x)2=-x-x2,f(x)+2x=x-x2≥0,解得0≤x≤1.綜上,f(x)+2x≥0的解集是[0,3],故D正確.故選ABD.16.(多選)(2020安徽寧國中學月考)已知函數(shù)y=f(x+2)是偶函數(shù),且y=f(x)在(0,2)上是增函數(shù),則下列結論一定正確的有(　　)A.函數(shù)y=f(x-2)是偶函數(shù)B.y=f(x)的圖象關于直線x=2對稱C.f<f(1)<fD.y=f(2x)在(1,2)上單調(diào)遞減答案BCD解析y=f(x+2)是偶函數(shù),x=0是其對稱軸,把它的圖象向右平移4個單位長度得y=f(x-2)的圖象,其對稱軸為x=4,不能判斷它是偶函數(shù),故A錯誤;把y=f(x+2)的圖象向右平移2個單位長度得y=f(x)的圖象,因此x=2是y=f(x)圖象的對稱軸,故B正確;由B可得f(1)=f(3),f(x)在(2,4)上是減函數(shù),∴f>f(3)>f,故C正確;y=f(x)在(2,4)上是減函數(shù),由2<2x<4得1<x<2,∴y=f(2x)在(1,2)上是減函數(shù),D正確.故選BCD.17.設函數(shù)f(x)=為奇函數(shù),則a=　　　　. 答案-1解析∵f(x)為奇函數(shù),∴f(-x)=-f(x),即=-.顯然x≠0,整理得x2-(a+1)x+a=x2+(a+1)x+a,故a+1=0,得a=-1.18.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且當x>0時,f(x)=x2-x,則當x<0時,f(x)=　　　　. 答案-x2-x解析當x<0時,-x>0,f(x)=-f(-x)=-[(-x)2-(-x)]=-x2-x.19.設定義在[-2,2]上的奇函數(shù)f(x)=x5+x3+b.(1)求b的值;(2)若f(x)在[0,2]上是增函數(shù),且f(m)+f(m-1)>0,求實數(shù)m的取值范圍.解(1)因為函數(shù)f(x)是定義在[-2,2]上的奇函數(shù),所以f(0)=0,解得b=0.(2)因為函數(shù)f(x)在[0,2]上是增函數(shù),又因為f(x)是奇函數(shù),所以f(x)在[-2,2]上是增函數(shù).因為f(m)+f(m-1)>0,所以f(m-1)>-f(m)=f(-m),所以解得<m≤2,所以m的取值范圍為,2.20.(2020江蘇高一月考)已知定義在[-3,3]上的函數(shù)y=f(x)是增函數(shù).(1)若f(m+1)>f(2m-1),求m的取值范圍;(2)若函數(shù)f(x)是奇函數(shù),且f(2)=1,解不等式f(x+1)+1>0.解(1)由題意可得解得-1≤m<2,即m的取值范圍是[-1,2).(2)∵函數(shù)f(x)是奇函數(shù),且f(2)=1,∴f(-2)=-f(2)=-1,∵f(x+1)+1>0,∴f(x+1)>-1,∴f(x+1)>f(-2),∴∴-3<x≤2.∴原不等式的解集為(-3,2].學科素養(yǎng)創(chuàng)新練21.(2020江蘇常熟中學月考)已知函數(shù)f(x)=x2+|x-a|+1,a∈R.(1)討論f(x)的奇偶性;(2)當f(x)為偶函數(shù)時,求使得不等式f(x)≥k|x|恒成立的實數(shù)k的取值范圍.解(1)當a=0時,f(x)=x2+|x|+1,f(-x)=(-x)2+|-x|+1=x2+|x|+1=f(x),∴f(x)為偶函數(shù);當a≠0時,f(-x)=(-x)2+|-x-a|+1=x2+|x+a|+1,∴f(-x)≠f(x)且f(-x)≠-f(x),∴f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).綜上,當a=0時,f(x)為偶函數(shù),當a≠0時,f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).(2)由(1)知,若f(x)為偶函數(shù),則a=0,則f(x)=x2+|x|+1,∴f(x)≥k|x|等價于x2+|x|+1≥k|x|,當x=0時,不等式化為1≥0,恒成立,滿足題意;當x≠0時,不等式等價于k≤|x|++1,又|x|++1≥2+1=3,當且僅當|x|=,即x=±1時,等號成立,∴k≤3.故實數(shù)k的取值范圍為(-∞,3].

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5.4 函數(shù)的奇偶性

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