課后素養(yǎng)落實(shí)(二十三)　函數(shù)的奇偶性 (建議用時(shí)：40分鐘)一、選擇題1．(多選題)下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在(0，＋∞)上單調(diào)遞增的函數(shù)是(　　)A．y＝x3 B．y＝|x|＋1C．y＝x2＋1 D．y＝－BC　[對于函數(shù)y＝|x|＋1，f(－x)＝|－x|＋1＝|x|＋1＝f(x)，所以y＝|x|＋1是偶函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，y＝x＋1，所以在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．另外函數(shù)y＝x3不是偶函數(shù)，y＝x2＋1在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，y＝－不是偶函數(shù)．]2．已知函數(shù)y＝f(x)為奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝x2－2x＋3，則當(dāng)x<0時(shí)，f(x)的解析式是(　　)A．f(x)＝－x2＋2x－3 B．f(x)＝－x2－2x－3C．f(x)＝x2－2x＋3 D．f(x)＝－x2－2x＋3B　[若x<0，則－x>0，因?yàn)楫?dāng)x>0時(shí)，f(x)＝x2－2x＋3，所以f(－x)＝x2＋2x＋3，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是奇函數(shù)，所以f(－x)＝x2＋2x＋3＝－f(x)，所以f(x)＝－x2－2x－3，所以x<0時(shí)，f(x)＝－x2－2x－3.故選B.]3．已知f(x)是偶函數(shù)，且在區(qū)間[0，＋∞)上是增函數(shù)，則f(－0.5)，f(－1)，f(0)的大小關(guān)系是(　　)A．f(－0.5)<f(0)<f(－1)B．f(－1)<f(－0.5)<f(0)C．f(0)<f(－0.5)<f(－1)D．f(－1)<f(0)<f(－0.5)C　[∵函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，∴f(－0.5)＝f(0.5)，f(－1)＝f(1)．又∵f(x)在區(qū)間[0，＋∞)上是增函數(shù)，∴f(0)<f(0.5)<f(1)，即f(0)<f(－0.5)<f(－1)，故選C.]4．偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，＋∞)上的圖象如圖，則函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(　　)A．[1，＋∞) B．[－1,0]C．[－1，＋∞) D．[－1,0]和[1，＋∞)D　[偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，可知函數(shù)f(x)的增區(qū)間為[－1,0]和[1，＋∞)．]5．已知偶函數(shù)f(x)在區(qū)間　[0，＋∞)上單調(diào)遞增，則滿足f(2x－1)<f(1)的x取值范圍是(　　)A．(－1,0) B．(0,1)C．(1,2) D．(－1,1)B　[首先函數(shù)定義域是R，再者根據(jù)f(2x－1)<f(1)和偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，＋∞)上單調(diào)遞增，可得|2x－1|<1，解得0<x<1，故選B.]二、填空題6．若f(x)＝(x＋a)(x－4)為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)a＝________.4　[f(x)＝x2＋(a－4)x－4a是偶函數(shù)，∴a＝4.]7．已知f(x)，g(x)分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，則f(1)＋g(1)＝________.1　[∵f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，∴f(－x)－g(－x)＝－x3＋x2＋1.∵f(x)是偶函數(shù)，g(x)是奇函數(shù)，∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)．∴f(x)＋g(x)＝－x3＋x2＋1.∴f(1)＋g(1)＝－1＋1＋1＝1.]8．若f(x)＝(m－1)x2＋6mx＋2為偶函數(shù)，則m＝______.f(0)，f(1)，f(－2)從小到大的排列是________．0　f(－2)<f(1)<f(0)　[∵f(x)是偶函數(shù)，∴f(－x)＝f(x)恒成立．即(m－1)x2－6mx＋2＝(m－1)x2＋6mx＋2恒成立．∴m＝0，即f(x)＝－x2＋2.∵f(x)的圖象開口向下，對稱軸為y軸，在[0，＋∞)上單調(diào)遞減，∴f(2)<f(1)<f(0)．]三、解答題9．判斷下列函數(shù)的奇偶性．(1)f(x)＝3，x∈R；(2)f(x)＝5x4－4x2＋7，x∈[－3,3]；(3)f(x)＝|2x－1|－|2x＋1|；(4)f(x)＝(5)f(x)＝ln(－x)．[解]　(1)∵f(－x)＝3＝f(x)，∴f(x)是偶函數(shù)．(2)∵x∈[－3,3]，f(－x)＝5(－x)4－4(－x)2＋7＝5x4－4x2＋7＝f(x)，∴f(x)是偶函數(shù)．(3)∵f(－x)＝|－2x－1|－|－2x＋1|＝－(|2x－1|－|2x＋1|)＝－f(x)，∴f(x)是奇函數(shù)．(4)當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝1－x2，此時(shí)－x<0，∴f(－x)＝(－x)2－1＝x2－1，∴f(－x)＝－f(x)；當(dāng)x<0時(shí)，f(x)＝x2－1，此時(shí)－x>0，f(－x)＝1－(－x)2＝1－x2，∴f(－x)＝－f(x)；當(dāng)x＝0時(shí)，f(－0)＝－f(0)＝0.綜上，對任意x∈R，總有f(－x)＝－f(x)，∴f(x)為R上的奇函數(shù)．(5)因?yàn)閷τ谌我?/span>x∈R，－x>|x|－x≥0，所以函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?/span>R，又f(－x)＝ln(＋x)＝ln＝－ln(－x)＝－f(x)，所以函數(shù)f(x)是奇函數(shù)．10．已知函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，且當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝x2－2x＋3.(1)試求f(x)在R上的解析式；(2)畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象寫出它的單調(diào)區(qū)間．[解]　(1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以f(x)為奇函數(shù)，則f(0)＝0.設(shè)x<0，則－x>0，因?yàn)楫?dāng)x>0時(shí)，f(x)＝x2－2x＋3.所以當(dāng)x<0時(shí)，f(x)＝－f(－x)＝－(x2＋2x＋3)＝－x2－2x－3.于是有f(x)＝(2)先畫出函數(shù)在y軸右側(cè)的圖象，再根據(jù)對稱性畫出y軸左側(cè)的圖象，如圖．由圖象可知函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(－∞，－1]，[1，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間是(－1,0)，(0,1)．1．(多選題)設(shè)函數(shù)f(x)，g(x)的定義域都為R，且f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是(　　)A．f(x)g(x)是奇函數(shù) B．|f(x)|g(x)是奇函數(shù)C．f(x)|g(x)|是奇函數(shù) D．|f(x)g(x)|是奇函數(shù)AC　[∵f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，∴|f(x)|為偶函數(shù)，|g(x)|為偶函數(shù)．再根據(jù)兩個(gè)奇函數(shù)的積是偶函數(shù)、兩個(gè)偶函數(shù)的積還是偶函數(shù)、一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)的積是奇函數(shù)，可得f(x)|g(x)|為奇函數(shù)，故選AC.]2．設(shè)奇函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上為減函數(shù)，且f(1)＝0，則不等式<0的解集為(　　)A．(－1,0)∪(1，＋∞) B．(－∞，－1)∪(0,1)C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－1,0)∪(0,1)C　[∵f(x)為奇函數(shù)，<0，即<0，∵f(x)在(0，＋∞)上為減函數(shù)且f(1)＝0，∴當(dāng)x>1時(shí)，f(x)<0.∵奇函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，∴在(－∞，0)上f(x)為減函數(shù)且f(－1)＝0，即x<－1時(shí)，f(x)>0.綜上使<0的解集為(－∞，－1)∪(1，＋∞)．]3．已知y＝f(x)＋x2是奇函數(shù)且f(1)＝1，若g(x)＝f(x)＋2，則g(－1)＝________.－1　[∵y＝f(x)＋x2是奇函數(shù)，∴f(－x)＋(－x)2＝－f(x)－x2，∴f(x)＋f(－x)＋2x2＝0，∴f(1)＋f(－1)＋2＝0.∵f(1)＝1，∴f(－1)＝－3.∵g(x)＝f(x)＋2，∴g(－1)＝f(－1)＋2＝－3＋2＝－1.]4．已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(1－x)＝f(1＋x)，且f(x)在[1，＋∞)上為單調(diào)減函數(shù)，則當(dāng)x＝________時(shí)，f(x)取得最大值；若不等式f(0)<f(m)成立，則m的取值范圍是________．1　(0,2)　[由f(1－x)＝f(1＋x)知，f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，又f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，則f(x)在(－∞，1]上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x＝1時(shí)f(x)取到最大值．由對稱性可知f(0)＝f(2)，所以f(0)<f(m)，得0<m<2，即m的取值范圍為(0,2)．]已知f(x)為奇函數(shù)，且當(dāng)x＜0時(shí)，f(x)＝x2＋3x＋2.若當(dāng)x∈[1,3]時(shí)，n≤f(x)≤m恒成立，求m－n的最小值．[解]　當(dāng)x＜0時(shí)，f(x)＝x2＋3x＋2＝2－，∴當(dāng)x∈[－3，－1]時(shí)，f(x)min＝f ＝－，f(x)max＝f(－3)＝2.又∵函數(shù)為奇函數(shù)，∴函數(shù)在x∈[1,3]時(shí)的最小值和最大值分別是－2，，∴m的最小值為，n的最大值為－2，∴(m－n)min＝－(－2)＝，即m－n的最小值為.  

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高中數(shù)學(xué)蘇教版 (2019)必修 第一冊電子課本

5.4 函數(shù)的奇偶性

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