?蘇教版（2019） 必修第一冊(cè) 同步檢測(cè) 第5章 5.4 函數(shù)的奇偶性
一、單選題
1．已知，分別是定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且，則（ ）
A． B．2 C．1 D．3
2．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，若且為偶函數(shù)，則
A． B．1 C．6 D．4
3．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞減的函數(shù)為．
A． B． C． D．
4．設(shè)f，g都是由集合A到A的映射，其對(duì)應(yīng)法則如下表（從上到下）：

則的值為
A． B． C． D．
5．已知函數(shù)滿足和,且當(dāng)時(shí),則
A．0 B．2 C．4 D．5
6．已知是定義在上的奇函數(shù)，且在上是增函數(shù)，設(shè)，，，則、、的大小關(guān)系是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知符號(hào)函數(shù)sgnxf（x）是定義在R上的減函數(shù)，g（x）＝f（x）﹣f（ax）（a＞1），則（ ）
A．sgn[g（x）]＝sgn x B．sgn[g（x）]＝﹣sgnx
C．sgn[g（x）]＝sgn[f（x）] D．sgn[g（x）]＝﹣sgn[f（x）]
8．設(shè)函數(shù)，則不等式的解集是
A． B． C． D．
9．下列函數(shù)既是偶函數(shù)又在上單調(diào)遞減的函數(shù)是（ ）
A． B． C． D．
10．函數(shù)的圖象大致為（ ）
A． B．
C． D．
11．已知是上的偶函數(shù)，且，則（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
12．設(shè)是R上的偶函數(shù)，且在上遞增，若，，那么的取值范圍是
A． B． C． D．或
13．已知，若定義在上的函數(shù)滿足對(duì)、，都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
14．函數(shù)是定義域?yàn)榈姆浅Ｖ岛瘮?shù)，且對(duì)任意，有，，則是（ ）
A．奇函數(shù)但非偶函數(shù) B．偶函數(shù)但非奇函數(shù)
C．奇函數(shù)又是偶函數(shù) D．非奇非偶函數(shù)
15．下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又在定義域內(nèi)為減函數(shù)的是（ ）
A． B． C． D．
16．設(shè)函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（ ）
A． B． C． D．
二、雙空題
17．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)_______成中心對(duì)稱，記函數(shù)的最大值為，最小值為，則_______．
三、填空題
18．奇函數(shù)在上滿足，且，則不等式的解集為__________ .
19．某同學(xué)在研究函數(shù)?f（x）=（x∈R）?時(shí)，分別給出下面幾個(gè)結(jié)論：
①等式f（-x）=-f（x）在x∈R時(shí)恒成立；
②函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋?1，1）；
③若x1≠x2，則一定有f（x1）≠f（x2）；
④方程f（x）=x在R上有三個(gè)根．
其中正確結(jié)論的序號(hào)有______．（請(qǐng)將你認(rèn)為正確的結(jié)論的序號(hào)都填上）
20．函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)時(shí),,則當(dāng)時(shí),______.
21．已知為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，；則當(dāng)，的解析式為___________.
22．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，有下列結(jié)論：
①；②；③；④．
其中正確的是______．（填寫所有正確結(jié)論的編號(hào)）
四、解答題
23．.函數(shù)是R上的奇函數(shù)，m、n是常數(shù).
（1）求m，n的值；
（2）判斷的單調(diào)性并證明；
（3）不等式對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
24．已知函數(shù)，存在不等于1的實(shí)數(shù)使得.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并用單調(diào)性定義證明；
（Ⅲ）直接寫出與的大小關(guān)系.
25．已知函數(shù)，判斷的奇偶性并證明．
26．判斷下列各函數(shù)是否具有奇偶性
（1）、；（2）、；
（3）、；（4）、， ；
（5）、；（6）、.
27．函數(shù)的定義域，且滿足對(duì)于任意,有
(1) 求的值
(2) 判斷的奇偶性，并證明．
(3)如果，且在上是增函數(shù)，求的取值范圍
28．已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn).
(1)求該函數(shù)的表達(dá)式；
(2)證明該冪函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱；
(3)證明該冪函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù).
29．已知函數(shù)y＝f（x）的圖象（如圖所示）過點(diǎn)（0，2）、（1.5，2）和點(diǎn)（2，0），且函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)（2，0）對(duì)稱；直線x＝1和x＝3及y＝0是它的漸近線．現(xiàn)要求根據(jù)給出的函數(shù)圖象研究函數(shù)g（x）＝的相關(guān)性質(zhì)與圖象．
（1）寫出函數(shù)y＝g（x）的定義域、值域及單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）作函數(shù)y＝g（x）的大致圖象（要充分反映由圖象及條件給出的信息）；
（3）試寫出y＝f（x）的一個(gè)解析式，并簡(jiǎn)述選擇這個(gè)式子的理由（按給出理由的完整性及表達(dá)式的合理、簡(jiǎn)潔程度分層給分）．

30．已知函數(shù)其中．
（1）求函數(shù)的定義域；
（2）判斷的奇偶性，并說明理由；
（3）求使成立的的集合．
31．設(shè)定義域?yàn)榈暮瘮?shù)
（1）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)直接作出函數(shù)的圖象，并寫出的單調(diào)區(qū)間（不需證明）；
（2）設(shè)定義為的函數(shù)為奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，求的解析式.

32．已知，其中a為實(shí)數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，證明函數(shù)在上是嚴(yán)格增函數(shù)；
（2）根據(jù)a的不同取值，判斷函數(shù)的奇偶性，并說明理由.

參考答案：
1．B
【解析】
【分析】
先構(gòu)造出的解析式,然后根據(jù)奇偶性得到的解析式,最后聯(lián)立方程組求解解析式,即可計(jì)算的值.
【詳解】
因?yàn)?所以,
又因?yàn)榉謩e是偶函數(shù)和奇函數(shù)，所以,
所以,所以,
所以,
故選B.
【點(diǎn)睛】
利用函數(shù)的奇偶性求解函數(shù)解析式時(shí),要充分考慮到與的聯(lián)系;若是單個(gè)函數(shù)已知奇偶性,則可直接求解函數(shù)解析式;若是兩個(gè)函數(shù)已知奇偶性,可通過聯(lián)立方程組求解函數(shù)解析式.
2．D
【解析】
【分析】
由題意首先確定函數(shù)的周期性，然后結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)求解函數(shù)值即可.
【詳解】
我們有如下結(jié)論：
若函數(shù)是奇函數(shù)，且是偶函數(shù)，則函數(shù)是周期函數(shù)，它的一個(gè)周期.
證明如下：
函數(shù)為奇函數(shù)，則，
是偶函數(shù)，則，據(jù)此可得：



.
據(jù)此即可證得上述結(jié)論.
據(jù)此結(jié)論可知題中所給函數(shù)的周期為，
則，，，
據(jù)此可得：4.
本題選擇D選項(xiàng).
【點(diǎn)睛】
本題主要考查函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的周期性等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.
3．C
【解析】
【詳解】
解：因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以排除A,B，然后在(0,1)上遞減，則排除D，選C
4．A
【解析】
【詳解】
試題分析：，，所以，故選．
考點(diǎn)：函數(shù)的定義
5．C
【解析】
【分析】
函數(shù)滿足和,可函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，且關(guān)于對(duì)稱，進(jìn)而可求解答案．
【詳解】
函數(shù)滿足和,
可函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，且關(guān)于對(duì)稱，
又由當(dāng)時(shí),，
所以，故選C．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了函數(shù)的對(duì)稱性與函數(shù)的周期性的應(yīng)用問題，其中解答中根據(jù)題設(shè)條件，得到函數(shù)的圖象以為周期的周期函數(shù)，且關(guān)于對(duì)稱是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力．
6．A
【解析】
【分析】
分析出函數(shù)為上的增函數(shù)，然后比較、、的大小，由此可得出、、的大小關(guān)系.
【詳解】
由于函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且在上是增函數(shù)，
則函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，函數(shù)為上的增函數(shù)，
函數(shù)為上的增函數(shù)，則；
函數(shù)為上的減函數(shù)，則；
函數(shù)為上的減函數(shù)，則.
，因此，.
故選：A.
【點(diǎn)睛】
本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值的大小，同時(shí)也考查了利用中間值法比較指數(shù)式和對(duì)數(shù)式的大小關(guān)系，考查推理能力，屬于中等題.
7．A
【解析】
【分析】
根據(jù)符號(hào)函數(shù)的解析式，結(jié)合f（x）的單調(diào)性分析即可得解.
【詳解】
根據(jù)題意，g（x）＝f（x）﹣f（ax），而f（x）是R上的減函數(shù)，
當(dāng)x＞0時(shí)，x＜ax，則有f（x）＞f（ax），則g（x）＝f（x）﹣f（ax）＞0，此時(shí)sgn[g （ x）]＝1，
當(dāng)x＝0時(shí)，x＝ax，則有f（x）＝f（ax），則g（x）＝f（x）﹣f（ax）＝0，此時(shí)sgn[g （ x）]＝0，
當(dāng)x＜0時(shí)，x＞ax，則有f（x）＜f（ax），則g（x）＝f（x）﹣f（ax）＜0，此時(shí)sgn[g （ x）]＝﹣1，
綜合有：sgn[g （ x）]＝sgn（x）；
故選：A．
【點(diǎn)睛】
此題考查函數(shù)新定義問題，涉及函數(shù)單調(diào)性辨析，關(guān)鍵在于讀懂定義，根據(jù)自變量的取值范圍分類討論.
8．A
【解析】
【分析】
判斷出的奇偶性與單調(diào)性，然后將不等式轉(zhuǎn)化為，通過單調(diào)性變成自變量的比較，從而得到關(guān)于的不等式，求得最終結(jié)果.
【詳解】

為上的奇函數(shù)
又
可知與在上都單調(diào)遞增，即與在上都單調(diào)遞增
當(dāng)時(shí)，，；假設(shè)
則
即：在上單調(diào)遞增
又為奇函數(shù)，則在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增
由可得：
即

本題正確選項(xiàng)：
【點(diǎn)睛】
本題考查利用函數(shù)單調(diào)性與奇偶性求解函數(shù)不等式的問題，解題關(guān)鍵在于將不等式轉(zhuǎn)化為符合單調(diào)性定義的形式，利用單調(diào)性轉(zhuǎn)變?yōu)樽宰兞康谋容^.
9．D
【解析】
【分析】
逐項(xiàng)分析函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，然后作出判斷.
【詳解】
A．定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，
所以為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，不符合；
B．定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，
所以為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，不符合；
C．定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，
所以為奇函數(shù)，不符合；
D．定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，
所以為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，符合；
故選：D.
10．B
【解析】
【詳解】
【分析】
∵
∴為奇函數(shù)，排除A，C
，，且
排除D，
故選B
點(diǎn)睛：識(shí)圖常用的方法
(1)定性分析法：通過對(duì)問題進(jìn)行定性的分析，從而得出圖象的上升(或下降)的趨勢(shì)，利用這一特征分析解決問題；
(2)定量計(jì)算法：通過定量的計(jì)算來分析解決問題；
(3)函數(shù)模型法：由所提供的圖象特征，聯(lián)想相關(guān)函數(shù)模型，利用這一函數(shù)模型來分析解決問題．
11．C
【解析】
【分析】
根據(jù)是上的偶函數(shù)得關(guān)于對(duì)稱，
再由函數(shù)的平移變換可得關(guān)于對(duì)稱，根據(jù)對(duì)稱性即可求解.
【詳解】
因?yàn)槭巧系呐己瘮?shù)，所以關(guān)于對(duì)稱，
把向右平移一個(gè)單位可得，則關(guān)于對(duì)稱，
所以
故選C
【點(diǎn)睛】
本題主要考查函數(shù)奇偶性的運(yùn)用以及函數(shù)的平移變換，屬于基礎(chǔ)題.
12．A
【解析】
【詳解】
試題分析：由是R上的偶函數(shù)，得，則；由，，得，即；因?yàn)楹瘮?shù)在上遞增，所以，解得.故選A.
考點(diǎn)：函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性.
13．D
【解析】
【分析】
由題意可知，函數(shù)是上的減函數(shù)，則函數(shù)的兩支函數(shù)均為減函數(shù)，且有，由此可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，解出即可.
【詳解】
定義在上的函數(shù)滿足對(duì)、，都有，
所以，函數(shù)是上的減函數(shù)，
則函數(shù)和均為減函數(shù)，且有，
即，解得，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故選D.
【點(diǎn)睛】
本題考查利用分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍，求解時(shí)不僅要求分段函數(shù)的每支函數(shù)都保持原函數(shù)的單調(diào)性外，還應(yīng)注意各支函數(shù)在分界點(diǎn)處函數(shù)的值的大小關(guān)系，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.
14．B
【解析】
【分析】
根據(jù)，可以確定函數(shù)額對(duì)稱性，再根據(jù)，可以確定函數(shù)的周期，結(jié)合函數(shù)的奇偶性的定義，即可判斷得到答案．
【詳解】
由題意，因?yàn)?，所以函?shù)的對(duì)稱軸為，
又，所以，所以函數(shù)的周期為，
∴是函數(shù)的對(duì)稱軸，所以為偶函數(shù)，
又∵在R上不是常數(shù)函數(shù)，所以不恒為0，
所以是偶函數(shù)但不是奇函數(shù)，故選B．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了抽象函數(shù)的應(yīng)用，以及函數(shù)的奇偶性與對(duì)稱性、周期性的關(guān)系，函數(shù)的奇偶性可以利用定義判定，也可以利用函數(shù)的圖象的對(duì)稱性進(jìn)行判定，同時(shí)主語既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)必為函數(shù)，著重考查了推理與論證能力，屬于基礎(chǔ)題．
15．C
【解析】
【分析】
先根據(jù)函數(shù)的奇偶性排除，然后再判斷其是否在定義域?yàn)闇p函數(shù)，即可得出．
【詳解】
顯然可知，函數(shù)，不是奇函數(shù)，而是偶函數(shù)，只有是奇函數(shù)，且在定義域內(nèi)為減函數(shù)．
故選：C．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查基本初等函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．
16．B
【解析】
【分析】
分別求出選項(xiàng)的函數(shù)解析式，再利用奇函數(shù)的定義即可.
【詳解】
由題意可得，
對(duì)于A，不是奇函數(shù)；
對(duì)于B，是奇函數(shù)；
對(duì)于C，，定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，不是奇函數(shù)；
對(duì)于D，，定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，不是奇函數(shù).
故選：B
【點(diǎn)睛】
本題主要考查奇函數(shù)定義，考查學(xué)生對(duì)概念的理解，是一道容易題.
17．
【解析】
【分析】
先將分離常數(shù)，找到與奇函數(shù)的關(guān)系，再利用平移求出對(duì)稱中心及最大值與最小值之和.
【詳解】
，記，

是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)中心對(duì)稱.
則的最大值和最小值之和為，
把的圖象向上平移一個(gè)單位得到的圖象，即的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且．
故答案為：；.
【點(diǎn)睛】
具有對(duì)稱中心的函數(shù)最大最小值之和問題，可從兩個(gè)角度理解，一是從形的角度，理解所求函數(shù)與奇函數(shù)圖象的平移關(guān)系；二是從數(shù)的角度，理解函數(shù)關(guān)于對(duì)稱的等量關(guān)系. 即：的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.
18．
【解析】
【分析】
由函數(shù)f（x）在（0，+∞）上滿足，
故函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；結(jié)合f（2）=0，函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，可得函數(shù)的圖象和性質(zhì)，進(jìn)而得到不等式的解集．
【詳解】
：∵函數(shù)f（x）在（0，+∞）上滿足，
故函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
又由f（2）=0，函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，
故函數(shù)f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞增，且f（-2）=0，
故當(dāng)x∈（-∞，-2）∪（0，2）時(shí)，f（x）＜0，
當(dāng)x∈（-2，0）∪（2，+∞）時(shí)，f（x）＞0，
∵
故x∈（-2，0）∪（0，2），
即答案為．
【點(diǎn)睛】
本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的奇偶性，是函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，難度中檔．
19．①②③
【解析】
【分析】
由奇偶性的定義判斷①正確，由分類討論結(jié)合反比例函數(shù)的單調(diào)性求解②；根據(jù)單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)區(qū)間上的值域說明③正確；由只有一個(gè)根說明④錯(cuò)誤．
【詳解】
對(duì)于①，任取，都有，∴①正確；
對(duì)于②，當(dāng)時(shí)，，
根據(jù)函數(shù)的奇偶性知時(shí)，，
且時(shí)，，②正確；
對(duì)于③，則當(dāng)時(shí)，，
由反比例函數(shù)的單調(diào)性以及復(fù)合函數(shù)知，在上是增函數(shù)，且；
再由的奇偶性知，在上也是增函數(shù)，且
時(shí)，一定有，③正確；
對(duì)于④，因?yàn)橹挥幸粋€(gè)根，
∴方程在上有一個(gè)根，④錯(cuò)誤．
正確結(jié)論的序號(hào)是①②③． 故答案為：①②③．
【點(diǎn)睛】
本題通過對(duì)多個(gè)命題真假的判斷，綜合考查函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的奇偶性、函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于難題.這種題型綜合性較強(qiáng)，也是高考的命題熱點(diǎn)，同學(xué)們往往因?yàn)槟骋惶幹R(shí)點(diǎn)掌握不好而導(dǎo)致“全盤皆輸”，因此做這類題目更要細(xì)心、多讀題，盡量挖掘出題目中的隱含條件，另外，要注意從簡(jiǎn)單的自己已經(jīng)掌握的知識(shí)點(diǎn)入手，然后集中精力突破較難的命題.
20．
【解析】
設(shè)時(shí)，，則，再化簡(jiǎn)即得解.
【詳解】
設(shè)時(shí)，，則，
所以.
故答案為：
【點(diǎn)睛】
本題主要考查利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)的解析式，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.
21．
【解析】
【分析】
當(dāng)時(shí)，，由可得結(jié)果.
【詳解】
當(dāng)時(shí)，，.
故答案為：.
22．②④
【解析】
【分析】
構(gòu)造函數(shù)，可知是奇函數(shù)，且是上的增函數(shù)，由，，可得，且，再結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)可判斷
【詳解】
令函數(shù)，因?yàn)椋允瞧婧瘮?shù)，且是上的增函數(shù)．
由題可知，，，
所以，且，即，，所以①錯(cuò)誤，②正確，
因?yàn)?，，所以，所以?br /> 因?yàn)?，，所以，所以，所以④正確，
又因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，
所以，，所以③錯(cuò)誤．
故答案為：②④
23．（1）；（2）在上遞增；證明見解析；（3）.
【解析】
（1）由是上的奇函數(shù)，可得，即可求解；
（2）在上遞增，用定義法可證；
（3）由題意得：對(duì)任意恒成立又是R上的增函數(shù)，所以即對(duì)任意恒成立，令，即，對(duì)恒成立，構(gòu)造函數(shù)，求的最小即可得解.
【詳解】
（1）∵是上的奇函數(shù)，
∴∴
∴.
（2）在上遞增
證明：設(shè)，且，則

∵∴又，，∴，即，∴是上的增函數(shù).
（3）由題意得：對(duì)任意恒成立又是R上的增函數(shù)，
∴即對(duì)任意恒成立，
令，即，對(duì)恒成立，令，對(duì)稱軸為，當(dāng)即時(shí)，在為增函數(shù)，
∴成立，∴符合，
當(dāng)即時(shí)，在為減，為增，
∴
解得，
∴.
綜上.
【點(diǎn)睛】
本題考查了函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，考查了利用單調(diào)性解不等式，同時(shí)考查了恒成立問題和轉(zhuǎn)化思想以及分類討論思想，有一定的計(jì)算量，屬于中檔題.
24．（Ⅰ）（Ⅱ）見證明；（Ⅲ）
【解析】
【分析】
Ⅰ根據(jù)題意，分析可得，變形可得，分析可得b的值；
Ⅱ根據(jù)題意，任取，由作差法分析可得答案；
Ⅲ根據(jù)題意，對(duì)c的值分2種情況討論，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性分析可得答案．
【詳解】
（Ⅰ）因?yàn)閷?shí)數(shù)使得，
所以 ，
即.
因?yàn)?，
所以 ，即.
經(jīng)檢驗(yàn)，滿足題意，所以 .
（Ⅱ）函數(shù)在上單調(diào)遞增，證明如下：
任取， ，當(dāng)時(shí)，.
所以 .
所以
，即.
所以 函數(shù)在上單調(diào)遞增.
（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，.
【點(diǎn)睛】
本題考查函數(shù)單調(diào)的判定以及應(yīng)用，涉及函數(shù)解析式的計(jì)算，關(guān)鍵是求出b的值．
25．偶函數(shù)，證明見解析.
【解析】
【分析】
先求出定義域，求出，得出與的關(guān)系得出答案.
【詳解】
函數(shù)是偶函數(shù);
證明：由知的定義域?yàn)椋x域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
又，
∴為偶函數(shù)．
26．（1）為奇函數(shù)；（2）為偶函數(shù)；（3）為非奇非偶函數(shù)；（4）為非奇非偶函數(shù)；（5）為非奇非偶函數(shù)；（6）既是奇函數(shù)也是偶函數(shù).
【解析】
【分析】
（1）判斷函數(shù)的定義域?yàn)镽，再說明總有，結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義即可得解；
（2）判斷函數(shù)的定義域?yàn)镽，再說明總有，結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義即可得解；
（3）判斷函數(shù)的定義域?yàn)?，結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義即可得解；
（4）由函數(shù)的定義域?yàn)?，結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義即可得解；
（5）由函數(shù)的定義域?yàn)椋Y(jié)合函數(shù)奇偶性的定義即可得解；
（6）由函數(shù)的定義域?yàn)椋Y(jié)合函數(shù)奇偶性的定義即可得解.
【詳解】
（1）由題意函數(shù)的定義域?yàn)镽，
且對(duì)任意的，有，
所以函數(shù)是奇函數(shù)；
（2）由題意函數(shù)的定義域?yàn)镽，
且對(duì)任意的，有，
所以函數(shù)為偶函數(shù)；
（3）由題意函數(shù)的定義域?yàn)?，定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
所以函數(shù)為非奇非偶函數(shù)；
（4）由題意函數(shù)的定義域?yàn)?，定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
所以函數(shù)，為非奇非偶函數(shù)；
（5）由可得函數(shù)的定義域?yàn)椋?br /> 定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
所以函數(shù)為非奇非偶函數(shù)；
（6）由可得函數(shù)的定義域?yàn)椋?br /> 且，，所以且，
所以函數(shù)既是奇函數(shù)也是偶函數(shù).
【點(diǎn)睛】
本題考查了函數(shù)奇偶性的判斷，考查了運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.
27．（1）0；（2）偶函數(shù)；（3）見解析
【解析】
【分析】
(1)令，代入，即可求出結(jié)果；
(2)先求出，再由，即可判斷出結(jié)果；
(3)先由，求出，將不等式化為，根據(jù)函數(shù)在上是增函數(shù)，分和兩種情況討論，即可得出結(jié)果.
【詳解】
(1)因?yàn)閷?duì)于任意,有，令，
則，所以；
(2)令，則，所以，
令，則，所以函數(shù)為偶函數(shù)；
(3)因?yàn)?，所以?br /> 所以不等式可化為；
又因?yàn)樵谏鲜窃龊瘮?shù)，而函數(shù)為偶函數(shù)，
所以或；
當(dāng)時(shí)，或；
當(dāng)時(shí)，或；
綜上，當(dāng)時(shí)，的取值范圍為或；
當(dāng)時(shí)，的取值范圍為或.
【點(diǎn)睛】
本題主要考查函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合，以及抽象函數(shù)及其應(yīng)用，常用賦值法求函數(shù)值，屬于常考題型.
28．(1)
(2)證明見解析
(3)證明見解析
【解析】
【分析】
（1）把點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)的解析式即得解；
（2）利用函數(shù)的奇偶性定義證明；
（3）利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明.
(1)
解：由題得.
所以函數(shù)的表達(dá)式為.
(2)
證明：設(shè)，
所以函數(shù)是奇函數(shù)，所以該冪函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱.
(3)
證明：設(shè)
所以，
因?yàn)樗裕?br /> 所以，
所以該冪函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù).
29．（1）定義域?yàn)椋簕x|x≠1，x≠2，且x≠3}，值域?yàn)椋海ī仭蓿?）∪（0，+∞），函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為：（1，2），（2，3）；（2）見解析；（3）見解析
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)函數(shù)f（x）的圖象及g（x）＝，即可寫出y＝g（x）的定義域，值域及單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）根據(jù)（1）寫出的y＝g（x）的定義域、值域及單調(diào)性即可畫出y＝g（x）的大致圖象；
（3）根據(jù)y＝f（x）的圖象即可寫出一個(gè)y＝f（x）的解析式．
【詳解】
（1）由f（x）的圖象知g（x）的定義域?yàn)椋簕x|x≠1，x≠2，且x≠3}，
值域?yàn)椋海ī仭蓿?）∪（0，+∞）； 函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為：（1，2），（2，3）；
（2）函數(shù)g（x）的大致圖象如下：

（3）f（x）＝；解析式滿足在（﹣∞，1），（3，+∞）上單調(diào)遞增，在（1，3）上單調(diào)遞減，
過（0，2），（1.5，2），（2，0）；并且其圖象關(guān)于（2，0）對(duì)稱；即該解析式可作為y＝f（x）的一個(gè)解析式．
【點(diǎn)睛】
本題考查函數(shù)的定義域、值域及單調(diào)區(qū)間，畫出函數(shù)的大致圖象的能力，以及根據(jù)函數(shù)圖象能夠?qū)懗鏊囊粋€(gè)解析式，屬于中檔題．
30．（1）（2）奇函數(shù)，證明見解析（3）時(shí)，不等式解集為；當(dāng)時(shí)，不等式解集為.
【解析】
【分析】
（1），若要式子有意義，則，解不等式組即可得定義域（2）設(shè)，利用奇函數(shù)的定義即可判斷出結(jié)論（3），即，分類討論，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解.
【詳解】
（1），
若要式子有意義，則，
解得，
所以函數(shù)定義域?yàn)?
（2）設(shè)，其定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

，
是奇函數(shù),
即是奇函數(shù).
（3），即，且定義域?yàn)?br /> 當(dāng)時(shí)，得：，
解得，
，
當(dāng)時(shí)，得：,
解得，
，
綜上，時(shí)，不等式解集為；當(dāng)時(shí)，不等式解集為.
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了函數(shù)的定義域，奇偶性，對(duì)數(shù)不等式，分類討論，屬于中檔題.
31．(1) 單增區(qū)間：，,單減區(qū)間，
(2)
【解析】
【詳解】
試題分析：的圖象就是把的圖象向左平移1個(gè)單位，而的圖象就是頂點(diǎn)在開口向上的拋物線，根據(jù)解析式畫出圖象，第二步當(dāng)x為正時(shí)，g(x)=
f(x),由于g(x)為奇函數(shù)，則時(shí)，，利用g(x)=-g(-x)求出相應(yīng)的解析式，從而求出g(x).
試題解析：
如圖.

單增區(qū)間：，
單減區(qū)間，
（2）當(dāng)時(shí)，
，
因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，
且，所以
32．（1）證明見解析；（2）當(dāng)時(shí)，奇函數(shù)；當(dāng)時(shí)，非奇非偶函數(shù)，理由見解析.
【解析】
（1）當(dāng)時(shí)，得到函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性的定義，即可作出證明；
（2）分和兩種情況，結(jié)合函數(shù)的奇偶性的定義，即可得出結(jié)論.
【詳解】
（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，
設(shè)且，
則
，
因?yàn)?，可?br /> 又由，可得，所以
所以，即，
所以函數(shù)是上是嚴(yán)格增函數(shù).
（2）由函數(shù)的定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)，可得，此時(shí)函數(shù)為奇函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)且，
所以時(shí)，函數(shù)為非奇非偶函數(shù).

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