午練15　函數(shù)的奇偶性1.已知f(x)＝x5－ax3－bx＋8(a，b是常數(shù))，且f(3)＝－5，則f(－3)＝(　　)　　　　　　　　　　　　　　　A.21   B.－21  C.26   D.26答案　A解析　設(shè)g(x)＝x5－ax3－bx，則g(x)為奇函數(shù).由題設(shè)可得f(3)＝g(3)＋8＝－5，得g(3)＝－13.又g(x)為奇函數(shù)，所以g(－3)＝－g(3)＝13，于是f(－3)＝g(－3)＋8＝13＋8＝21，故選A.2.(多選)設(shè)函數(shù)f(x)，g(x)的定義域都為R，且f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的有(　　)A.f(x)g(x)是偶函數(shù)B.|f(x)|＋g(x)是偶函數(shù)C.f(x)|g(x)|是奇函數(shù)D.|f(x)g(x)|是奇函數(shù)答案　BC解析　∵f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，∴|f(x)|是偶函數(shù)，|g(x)|是偶函數(shù).根據(jù)一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)的積是奇函數(shù)，可得f(x)g(x)為奇函數(shù)，f(x)|g(x)|為奇函數(shù)，所以|f(x)g(x)|為偶函數(shù)，故選項(xiàng)A，D錯(cuò)誤，選項(xiàng)C正確；由兩個(gè)偶函數(shù)的和還是偶函數(shù)得選項(xiàng)B正確.故選BC.3.若奇函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，且f(3)＝0，則不等式＞0的解集為(　　)A.(－3，0)∪(3，＋∞)B.(－3，0)∪(0，3)C.(－∞，－3)∪(3，＋∞)D.(－∞，－3)∪(0，3)答案　A解析　∵f(x)為奇函數(shù)，f(3)＝0，∴f(－3)＝0，＝f(x).∵f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，∴f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞增.當(dāng)x＞0時(shí)，由f(x)＞0，得f(x)＞f(3)，∴x＞3；當(dāng)x＜0時(shí)，由f(x)＞0，得f(x)＞f(－3)，∴－3＜x＜0.∴原不等式的解集為(－3，0)∪(3，＋∞)，故選A.4.已知函數(shù)y＝f(x)與y＝g(x)有相同的定義域，且對(duì)定義域中的任意x，有f(－x)＋f(x)＝0，g(x)·g(－x)＝1，g(x)≠1，則函數(shù)F(x)＝＋f(x)(　　)A.是奇函數(shù)B.是偶函數(shù)C.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)D.既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)答案　B解析　由題意，可知F(x)＝＝，所以F(－x)＝＝＝＝.所以F(－x)＝F(x)，所以函數(shù)F(x)為偶函數(shù)，故選B.5.已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x－4)＝－f(x)，且在區(qū)間[0，2]上單調(diào)遞增，則(　　)A.f(－1)＜f(3)＜f(4)B.f(4)＜f(3)＜f(－1)C.f(3)＜f(4)＜f(－1)D.f(－1)＜f(4)＜f(3)答案　D解析　因?yàn)?/span>f(x)是R上的奇函數(shù)，所以f(0)＝0.又f(x)滿足f(x－4)＝－f(x)，則f(－4)＝－f(0)＝0.所以f(4)＝－f(－4)＝0.又f(x)＝－f(－x)且f(x－4)＝－f(x)，所以f(3)＝－f(－3)＝－f(1－4)＝f(1).又f(x)在區(qū)間[0，2]上單調(diào)遞增，所以f(1)＞f(0)，即f(1)＞0，所以f(－1)＝－f(1)＜0，f(3)＝f(1)＞0，所以f(－1)＜f(4)＜f(3)，故選D.6.若函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是定義在[a－2，2a]上的偶函數(shù)，則a＋b＝________.答案　解析　∵偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，∴a－2＝－2a，∴a＝.易知函數(shù)f(x)＝x2＋bx＋b＋2為二次函數(shù)，結(jié)合偶函數(shù)圖象特點(diǎn)，得b＝0，∴a＋b＝.7.若函數(shù)f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常數(shù)a，b∈R)是偶函數(shù)，且它的值域?yàn)?/span>(－∞，4]，則該函數(shù)的解析式為________.答案　f(x)＝－2x2＋4解析　因?yàn)?/span>f(x)＝bx2＋(2a＋ab)x＋2a2是偶函數(shù)，所以b(－x)2＋(2a＋ab)(－x)＋2a2＝bx2＋(2a＋ab)x＋2a2，所以－(2a＋ab)＝2a＋ab，即2a＋ab＝0，所以a＝0或b＝－2.當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝bx2，因?yàn)?/span>f(x)的值域?yàn)?/span>(－∞，4]，而f(x)＝bx2的值域不可能為(－∞，4]，所以a≠0.當(dāng)b＝－2時(shí)，f(x)＝－2x2＋2a2，值域?yàn)?/span>(－∞，2a2]，所以2a2＝4.所以所求函數(shù)f(x)的解析式為f(x)＝－2x2＋4.8.設(shè)定義在[－3，3]上的偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，3]上單調(diào)遞增，若f(1－m)＜f(m)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為________.答案　解析　由題意?∴＜m≤3，故m的取值范圍為.9.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的不恒為0的函數(shù)，且對(duì)于任意的a，b∈R都滿足f(ab)＝af(b)＋bf(a)，則f(x)是________函數(shù)(填“奇”“偶”或“非奇非偶”).答案　奇解析　由題意，得f(－x)＝f((－1)·x)＝－f(x)＋xf(－1).令a＝b＝1，得f(1)＝f(1)＋f(1)，所以f(1)＝0.令a＝b＝－1，得f(1)＝－f(－1)－f(－1)，所以f(1)＝－2f(－1)，所以f(－1)＝0.所以f(－x)＝－f(x)＋0＝－f(x)，即f(x)為奇函數(shù).10.判斷下列函數(shù)的奇偶性.(1)f(x)＝x3－；(2)f(x)＝(x＋1)；(3)f(x)＝＋；(4)f(x)＝解　(1)f(x)的定義域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，又f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函數(shù).(2)由≥0得－1<x≤1，所以f(x)的定義域?yàn)?/span>(－1，1]，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).(3)由得x＝±，所以f(x)的定義域?yàn)?/span>{－，}，所以f(x)＝0，則f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).(4)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的定義域?yàn)?/span>R，所以函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).①當(dāng)x＝0時(shí)，－x＝0，所以f(－x)＝f(0)＝0，f(x)＝f(0)＝0，所以f(－x)＝－f(x)；②當(dāng)x＞0時(shí)，－x＜0，所以f(－x)＝－(－x)2－2(－x)－3＝－(x2－2x＋3)＝－f(x)；③當(dāng)x＜0時(shí)，－x＞0，所以f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝－(－x2－2x－3)＝－f(x).綜上，可知函數(shù)f(x)為奇函數(shù).

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高中數(shù)學(xué)蘇教版 (2019)必修 第一冊(cè)電子課本

5.4 函數(shù)的奇偶性

版本： 蘇教版 (2019)

年級(jí)： 必修 第一冊(cè)

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