第5章函數(shù)概念與性質5.3　函數(shù)的單調性第2課時　函數(shù)的最大(小)值課后篇鞏固提升必備知識基礎練1.函數(shù)f(x)=在[1,+∞)上(　　)　　　　　　　　　　　　　　A.有最大值無最小值 B.有最小值無最大值C.有最大值也有最小值 D.無最大值也無最小值答案A解析結合函數(shù)f(x)=在[1,+∞)上的圖象可知函數(shù)有最大值無最小值.2.函數(shù)f(x)=-x2+4x-6,x∈[0,5]的值域為(　　)A.[-6,-2] B.[-11,-2]C.[-11,-6] D.[-11,-1]答案B解析函數(shù)f(x)=-x2+4x-6=-(x-2)2-2,x∈[0,5],所以當x=2時,f(x)取得最大值為-(2-2)2-2=-2;當x=5時,f(x)取得最小值為-(5-2)2-2=-11.所以函數(shù)f(x)的值域是[-11,-2].故選B.3.(2020山西太原五中月考)如圖是函數(shù)y=f(x),x∈[-4,3]的圖象,則下列說法正確的是(　　)A.f(x)在[-4,-1]上是減函數(shù),在[-1,3]上是增函數(shù)B.f(x)在(-1,3)上的最大值為3,最小值為-2C.f(x)在[-4,1]上有最小值-2,有最大值3D.當直線y=t與y=f(x)的圖象有三個交點時-1<t<2答案C解析對于A,由函數(shù)圖象可得,f(x)在[-4,-1]上是減函數(shù),在[-1,1]上是增函數(shù),在[1,3]上是減函數(shù),故A錯誤;對于B,由圖象可得,f(x)在(-1,3)上的最大值為f(1)=3,無最小值,故B錯誤;對于C,由圖象可得,f(x)在[-4,1]上有最小值f(-1)=-2,有最大值f(1)=3,故C正確;對于D,由圖象可得,為使直線y=t與y=f(x)的圖象有三個交點,只需-1≤t≤2,故D錯誤.故選C.4.某公司在甲、乙兩地同時銷售一種品牌車,利潤(單位:萬元)分別為L1=-x2+21x和L2=2x,其中銷售量為x(單位:輛).若該公司在兩地共銷售15輛,則能獲得的最大利潤為(　　)　　　　　　　　　　　　　　A.90萬元 B.120萬元C.120.25萬元 D.60萬元答案B解析設該公司在甲地銷售x輛車,則在乙地銷售(15-x)輛車,根據(jù)題意,總利潤y=-x2+21x+2(15-x)(0≤x≤15,x∈N),整理得y=-x2+19x+30.因為該函數(shù)圖象的對稱軸為直線x=,開口向下,又x∈N,所以當x=9或x=10時,y取得最大值120萬元.5.當0≤x≤2時,a<-x2+2x恒成立,則實數(shù)a的取值范圍是(　　)A.(-∞,1] B.(-∞,0]C.(-∞,0) D.(0,+∞)答案C解析令f(x)=-x2+2x,則f(x)=-x2+2x=-(x-1)2+1.又x∈[0,2],∴f(x)min=f(0)=f(2)=0,∴a<0.6.若函數(shù)f(x)=在區(qū)間[1,a]上的最小值為,則a=　　　　　. 答案4解析∵f(x)=在區(qū)間[1,a]上是減函數(shù),∴函數(shù)f(x)的最小值為f(a)=,∴a=4.7.已知函數(shù)f(x)=-x2+4x+a,x∈[0,1],若f(x)有最小值-2,則f(x)的最大值為　　　　. 答案1解析函數(shù)f(x)=-x2+4x+a=-(x-2)2+4+a,x∈[0,1],且函數(shù)有最小值-2.故當x=0時,函數(shù)有最小值,當x=1時,函數(shù)有最大值.∵當x=0時,f(0)=a=-2,∴f(x)max=f(1)=-1+4-2=1.8.畫出函數(shù)f(x)=的圖象,并寫出函數(shù)的單調區(qū)間,函數(shù)的最小值.解函數(shù)的圖象如圖所示.由圖象可知f(x)的增區(qū)間為(-∞,0)和[0,+∞),無減區(qū)間;函數(shù)的最小值為f(0)=-1.9.已知函數(shù)f(x)=-x2+2x-3.(1)求f(x)在區(qū)間[2a-1,2]上的最小值g(a);(2)求g(a)的最大值.解(1)f(x)=-(x-1)2-2,f(2)=-3,f(0)=-3,當2a-1≤0,即a≤時,f(x)min=f(2a-1)=-4a2+8a-6;當0<2a-1<2,即<a<時,f(x)min=f(2)=-3.所以g(a)=(2)當a≤時,g(a)=-4a2+8a-6是增函數(shù),所以g(a)≤g=-3.又當<a<時,g(a)=-3,所以g(a)的最大值為-3.關鍵能力提升練10.(2020河南鄭州高一期中)已知函數(shù)f(x)=,其定義域是[-4,-2),則(　　)A.f(x)有最大值-,最小值-B.f(x)有最大值-,無最小值C.f(x)有最大值-,最小值-D.f(x)有最小值-,無最大值答案D解析函數(shù)f(x)==-3+.因為x∈[-4,-2),所以-x∈(2,4],所以1-x∈(3,5];所以∈,所以-3+∈-,-,所以f(x)∈-,-,所以f(x)有最小值-,無最大值.故選D.11.(2020四川成都七中高一月考)已知函數(shù)f(x)=kx2-4x+8在[5,10]上是減函數(shù),且f(x)在[5,10]上的最小值為-32,則實數(shù)k的值為(　　)A.- B.0C.0或- D.0或答案B解析由函數(shù)f(x)=kx2-4kx+8在[5,10]上是減函數(shù)可知,當x=10時,函數(shù)取最小值,即100k-40+8=-32,解得k=0.當k=0時,f(x)=-4x+8,函數(shù)是減函數(shù),滿足題意.故選B.12.(2020云南昆明一中期中)已知f(x)=x2-ax+在區(qū)間[0,1]上的最大值為g(a),則g(a)的最小值為(　　)A.0 B. C.1 D.2答案B解析f(x)=x2-ax+的開口向上,對稱軸為直線x=,①當,即a≤1時,此時函數(shù)取得最大值g(a)=f(1)=1-;②當,即a>1時,此時函數(shù)取得最大值g(a)=f(0)=.故g(a)=故當a=1時,g(a)取得最小值.故選B.13.(多選)若函數(shù)y=ax+1在區(qū)間[1,2]上的最大值與最小值的差為2,則實數(shù)a的值是(　　)A.2 B.-2 C.1 D.0答案AB解析由題意a≠0,當a>0時,有(2a+1)-(a+1)=2,解得a=2;當a<0時,有(a+1)-(2a+1)=2,解得a=-2.綜上知a=±2.14.(多選)(2020山東濰坊高一檢測)已知函數(shù)f(x)=x2-2x+2,關于f(x)的最大(小)值有如下結論,其中正確的是(　　)A.f(x)在區(qū)間[-1,0]上的最小值為1B.f(x)在區(qū)間[-1,2]上既有最小值,又有最大值C.f(x)在區(qū)間[2,3]上有最小值2,最大值5D.當0<a<1時,f(x)在區(qū)間[0,a]上的最小值為f(a),當a>1時,f(x)在區(qū)間[0,a]上的最小值為1答案BCD解析函數(shù)f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1的圖象開口向上,對稱軸為直線x=1.對于A,因為f(x)在區(qū)間[-1,0]上是減函數(shù),所以f(x)在區(qū)間[-1,0]上的最小值為f(0)=2,故A錯誤;對于B,因為f(x)在區(qū)間[-1,1]上是減函數(shù),在[1,2]上是增函數(shù),所以f(x)在區(qū)間[-1,2]上的最小值為f(1)=1,又因為f(-1)=5,f(2)=2,f(-1)>f(2),所以f(x)在區(qū)間[-1,2]上的最大值為f(-1)=5,故B正確;對于C,因為f(x)在區(qū)間[2,3]上是增函數(shù),所以f(x)在區(qū)間[2,3]上的最小值為f(2)=2,最大值為f(3)=5,故C正確;對于D,當0<a<1時,f(x)在區(qū)間[0,a]上是減函數(shù),f(x)的最小值為f(a),當a>1時,由圖象知f(x)在區(qū)間[0,a]上的最小值為f(1)=1,故D正確.故選BCD.15.(多選)已知函數(shù)f(x)=-2x+1(x∈[-2,2]),g(x)=x2-2x(x∈[0,3]),下列結論正確的是(　　)A.?x∈[-2,2],f(x)>a恒成立,則a<-3B.?x∈[0,3],g(x)=a,則-1≤a≤3C.?x∈[-2,2],?t∈[0,3],f(x)=g(t)D.?x∈[-2,2],?t∈[0,3],f(x)=g(t)答案ABD解析對于A,因為f(x)=-2x+1(x∈[-2,2])是減函數(shù),所以當x=2時,函數(shù)的最小值為-3,因此a<-3,故A正確;對于B,函數(shù)g(x)=x2-2x=(x-1)2-1,x∈[0,3],當x=1時,函數(shù)g(x)取得最小值-1,當x=3時,函數(shù)g(x)取得最大值3,故函數(shù)的值域為[-1,3],由g(x)=a有解,知a∈g(x)的值域,即-1≤a≤3,故B正確;對于C,?x∈[-2,2],?t∈[0,3],f(x)=g(t)等價于f(x)的值域是g(t)的值域的子集,而f(x)的值域是[-3,5],g(t)的值域是[-1,3],故C錯誤;對于D,?x∈[-2,2],?t∈[0,3],f(x)=g(t)等價于g(t)的值域是f(x)的值域的子集,而f(x)的值域是[-3,5],g(t)的值域是[-1,3],故D正確.故選ABD.16.函數(shù)g(x)=2x-的值域為　　　　. 答案-,+∞解析設=t(t≥0),則x+1=t2,即x=t2-1,∴y=2t2-t-2=2t-2-,t≥0,∴當t=時,ymin=-,∴函數(shù)g(x)的值域為-,+∞.17.(2020山東菏澤高一月考)設f(x)=x2-2ax+a2,x∈[0,2],當a=-1時,f(x)的最小值是　　　　;若f(0)是f(x)的最小值,則a的取值范圍為　　　　. 答案1　(-∞,0]解析當a=-1時,f(x)=x2+2x+1的圖象開口向上,對稱軸為直線x=-1,所以函數(shù)f(x)=x2+2x+1在[0,2]上是增函數(shù),所以函數(shù)的最小值f(x)min=f(0)=1.若f(0)是f(x)的最小值,說明對稱軸x=a≤0,則a≤0,所以a的取值范圍為(-∞,0].18.函數(shù)f(x)=2x-的定義域為(0,1](a為實數(shù)).(1)若函數(shù)y=f(x)在定義域上是減函數(shù),求a的取值范圍;(2)若f(x)>5在定義域上恒成立,求a的取值范圍.解(1)?x1,x2∈(0,1],且x1<x2,則有f(x1)-f(x2)=(x1-x2)>0,即a<-2x1x2恒成立,∴a≤-2.故a的取值范圍為(-∞,-2].(2)由2x->5(x∈(0,1]),得a<2x2-5x(x∈(0,1])恒成立.∵2x2-5x=2,∴函數(shù)y=2x2-5x在(0,1]上是減函數(shù),∴當x=1時,函數(shù)取得最小值-3,即a<-3.故a的取值范圍為(-∞,-3).19.(2020河南南陽高一月考)已知二次函數(shù)f(x)的圖象過點(0,4),對任意x滿足f(3-x)=f(x),且有最小值是.(1)求f(x)的解析式;(2)在區(qū)間[-1,3]上,y=f(x)的圖象恒在函數(shù)y=2x+m的圖象上方,試確定實數(shù)m的取值范圍.解(1)由題知二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線x=,又最小值是,∴可設f(x)=ax-2+(a≠0).又圖象過點(0,4),則a0-2+=4,解得a=1,∴f(x)=x-2+=x2-3x+4.(2)由已知,f(x)>2x+m對x∈[-1,3]恒成立,∴m<x2-5x+4對x∈[-1,3]恒成立,∴m<(x2-5x+4)min(x∈[-1,3]).∵g(x)=x2-5x+4在x∈[-1,3]上的最小值為-,∴m<-.故實數(shù)m的取值范圍為-∞,-.學科素養(yǎng)創(chuàng)新練20.(2020浙江臺州中學月考)已知函數(shù)f(x)=ax2-2ax+1+b(a>0)在區(qū)間[2,3]上有最大值4和最小值1.(1)求a,b的值;(2)若不等式f(x)-kx≤0在x∈[2,3]上恒成立,求實數(shù)k的取值范圍.解(1)∵f(x)=ax2-2ax+1+b(a>0)的圖象開口向上,且對稱軸為直線x=1,∴f(x)在[2,3]上是增函數(shù),∴解得(2)由(1)得f(x)=x2-2x+1,∴不等式f(x)-kx≤0,即x2-(2+k)x+1≤0在x∈[2,3]上恒成立.令g(x)=x2-(2+k)x+1,g(x)的圖象開口向上,則要使g(x)≤0在x∈[2,3]上恒成立,需滿足解得k≥,∴實數(shù)k的取值范圍為,+∞.

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5.3 函數(shù)的單調性

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