課后素養(yǎng)落實(二十二)　函數(shù)的最大值、最小值 (建議用時：40分鐘)一、選擇題1．函數(shù)y＝在[2,3]上的最小值為(　　)A．2 B．  C． D．－B　[∵函數(shù)y＝在[2,3]上單調(diào)遞減，∴當(dāng)x＝3時，ymin＝＝.]2．函數(shù)f(x)＝－x2＋4x－6，x∈[0,5]的值域為(　　)A．[－6，－2] B．[－11，－2]C．[－11，－6] D．[－11，－1]B　[函數(shù)f(x)＝－x2＋4x－6＝－(x－2)2－2，x∈[0,5]，所以當(dāng)x＝2時，f(x)取得最大值為－(2－2)2－2＝－2；當(dāng)x＝5時，f(x)取得最小值為－(5－2)2－2＝－11，所以函數(shù)f(x)的值域是[－11，－2]．故選B.]3．(多選題)若函數(shù)y＝ax＋1在[1,2]上的最大值與最小值的差為2，則實數(shù)a的值可能是(　　)A．2 B．0  C．－2 D．1AC　[當(dāng)a>0時，由題意得2a＋1－(a＋1)＝2，即a＝2.當(dāng)a<0時，a＋1－(2a＋1)＝2，所以a＝－2.綜上a＝±2.]4．函數(shù)f(x)＝|1－x|－|x－3|，x∈R的值域為(　　)A．[－2,2] B．(－2,2]C．(－2,2) D．[－2,2)A　[f(x)＝|1－x|－|x－3|＝|x－1|－|x－3|，利用絕對值的幾何意義可知f(x)表示x到1的距離與x到3的距離之差，結(jié)合數(shù)軸(略)可知值域為[－2,2]．]5．當(dāng)0≤x≤2時，a<－x2＋2x恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是(　　)A．a>0 B．a≥0C．a<0 D．a≤0C　[令f(x)＝－x2＋2x(0≤x≤2)＝－(x2－2x＋1)＋1＝－(x－1)2＋1，圖象如圖：  ∴f(x)的最小值為f(0)＝f(2)＝0.而a<－x2＋2x恒成立，∴a<0.]二、填空題6．函數(shù)f(x)＝|x－2|－2在區(qū)間[0,3]上的最小值為________，最大值為________．－2　0　[f(x)＝圖象如圖．由圖可知，x＝2時，f(x)min＝－2；x＝0時，f(x)max＝f(0)＝0.]7．對a，b∈R，記max{a，b}＝函數(shù)f(x)＝max{x＋1,3－x}(x∈R)的最小值是________．2　[畫出函數(shù)f(x)的圖象(圖略)，故f(x)的最小值為2.]8．函數(shù)f(x)＝x2－4x＋5在區(qū)間[0，m]上的最大值為5，最小值為1，則m的取值范圍是________．[2,4]　[f(x)＝x2－4x＋5＝(x－2)2＋1，x∈[0，m]．由最小值為1知m≥2.由最大值為5知f(0)＝5，f(4)＝5.所以2≤m≤4.]三、解答題9．已知函數(shù)f(x)＝2ax＋(a∈R)．(1)當(dāng)a＝時，試判斷f(x)在(0,1]上的單調(diào)性并用定義證明你的結(jié)論；(2)對于任意的x∈(0,1]，使得f(x)≥6恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．[證明]　(1)∵a＝，∴f(x)＝x＋，取任意的x1，x2，且0<x1<x2≤1，f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－＝x1－x2＋＝(x1－x2).  (*)∵0<x1<x2≤1，∴x1－x2<0,0<x1x2<1，得(*)式大于0，即f(x1)－f(x2)>0，所以f(x)在(0,1]上的單調(diào)遞減．(2)由f(x)≥6在(0,1]上恒成立，得2ax＋≥6 恒成立，即2a≥6－2，∈[1，＋∞)?max＝9?2a≥9，即a≥.10．已知二次函數(shù)y＝f(x)＝x2－2x＋2.(1)當(dāng)x∈[0,4]時，求f(x)的最值；(2)當(dāng)x∈[2,3]時，求f(x)的最值；(3)當(dāng)x∈[t，t＋1]時，求f(x)的最小值g(t)．[解]　y＝f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1.(1)∵對稱軸x＝1∈[0,4]，∴當(dāng)x＝1時，y有最小值，ymin＝f(1)＝1.∵f(0)＝2<f(4)＝10，∴當(dāng)x＝4時，y有最大值，ymax＝f(4)＝10.(2)∵1?[2,3]，且1<2，∴f(x)在[2,3]上是單調(diào)增函數(shù)，∴當(dāng)x＝2時，f(x)min＝f(2)＝2，當(dāng)x＝3時，f(x)max＝f(3)＝5.(3)f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，頂點坐標為(1,1)，當(dāng)t＋1<1，即t<0時，函數(shù)在[t，t＋1]上為減函數(shù)，g(t)＝f(t＋1)＝t2＋1；當(dāng)t＋1≥1且t<1，即0≤t<1時，g(t)＝f(1)＝1；當(dāng)t≥1時，函數(shù)在[t，t＋1]上為增函數(shù)，g(t)＝f(t)＝t2－2t＋2.∴g(t)＝1．若函數(shù)f(x)＝在區(qū)間[2,4]上的最小值為5，則k的值為(　　)A．10 B．10或20C．20 D．無法確定C　[當(dāng)k＝0時，不滿足．當(dāng)k>0時，y＝f(x)＝在[2,4]上是減函數(shù)，∴f(x)min＝f(4)＝＝5，∴k＝20滿足條件，k<0時，y＝f(x)＝在[2,4]上是增函數(shù)，f(x)min＝f(2)＝＝5，∴k＝10，又∵k<0，∴k＝10舍去，綜上有k＝20.]2．(多選題)已知函數(shù)f(x)＝4x2－kx－8在區(qū)間(5,20)上既沒有最大值也沒有最小值，則實數(shù)k的取值可能是(　　)A．30 B．40C．80 D．180ABD　[由于二次函數(shù)f(x)＝4x2－kx－8在區(qū)間(5,20)上既沒有最大值也沒有最小值，因此函數(shù)f(x)＝4x2－kx－8在區(qū)間(5,20)上是單調(diào)函數(shù)．二次函數(shù)f(x)＝4x2－kx－8圖象的對稱軸方程為x＝，因此≤5或≥20，所以k≤40或k≥160.]3．函數(shù)g(x)＝2x＋的最小值為________，f(x)＝2x－的值域為________． －2　　[g(x)＝2x＋在[－1，＋∞)上為增函數(shù)，所以g(x)min＝g(－1)＝－2.設(shè)＝t(t≥0)，則x＋1＝t2，即x＝t2－1，∴y＝2t2－t－2＝22－(t≥0)，∴當(dāng)t＝時，ymin＝－.∴f(x)的值域為.]4．對任意的兩個實數(shù)a，b，定義min(a，b)＝若f(x)＝4－x2，g(x)＝3x，則min(f(x)，g(x))的最大值為________．3　[f(x)－g(x)＝4－x2－3x，當(dāng)4－x2－3x＝－(x－1)(x＋4)≥0，即－4≤x≤1時，f(x)≥g(x)．當(dāng)4－x2－3x＝－(x－1)(x＋4)＜0，即x＞1或x＜－4時，f(x)＜g(x)，所以min(f(x)，g(x))＝作出大致圖象如圖所示，由圖象可知函數(shù)的最大值在點A處取得，最大值為f(1)＝3.] 已知定義在區(qū)間(0，＋∞)上的函數(shù)f(x)滿足f ＝f(x1)－f(x2)，且當(dāng)x>1時，f(x)<0.(1)求f(1)的值；(2)證明：f(x)為單調(diào)遞減函數(shù)；(3)若f(3)＝－1，求f(x)在[2,9]上的最小值．[解]　(1)令x1＝x2>0，代入得f(1)＝f(x1)－f(x1)＝0，故f(1)＝0.(2)證明：任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1>x2，則>1，當(dāng)x>1時，f(x)<0，∴f <0，即f(x1)－f(x2)<0，因此f(x1)<f(x2)，∴函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上是單調(diào)遞減函數(shù)．(3)∵f(x)在(0，＋∞)上是單調(diào)遞減函數(shù)，∴f(x)在[2,9]上的最小值為f(9)．由f ＝f(x1)－f(x2)，得f ＝f(9)－f(3)，而f(3)＝－1，∴f(9)＝－2.∴f(x)在[2,9]上的最小值為－2.  

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高中數(shù)學(xué)蘇教版 (2019)必修 第一冊電子課本

8.2 函數(shù)與數(shù)學(xué)模型

版本： 蘇教版 (2019)

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