建立反比例函數(shù)模型解實(shí)際問題
1. 在生活與生產(chǎn)中，如果某些問題的兩個(gè)量成反比例關(guān)系，那么可以根據(jù)這種關(guān)系建立反比例函數(shù)模型，再利用反比例函數(shù)的有關(guān)知識(shí)解決實(shí)際問題．
特別提醒利用反比例函數(shù)解決實(shí)際問題時(shí)應(yīng)注意：1.要理清題目中的常量與變量及其基本數(shù)量關(guān)系；2.結(jié)合問題的實(shí)際意義，確定自變量的取值范圍；3.要熟練掌握反比例函數(shù)的意義、圖象和性質(zhì).
運(yùn)用反比例函數(shù)解決實(shí)際問題時(shí)常用的兩種思路：(1)通過問題提供的信息，明確變量之間的函數(shù)關(guān)系，設(shè)出相應(yīng)的函數(shù)解析式，再根據(jù)題目條件確定函數(shù)解析式中的待定系數(shù)的值；(2)已知反比例函數(shù)模型的解析式，運(yùn)用反比例函數(shù)的圖象及性質(zhì)解決問題.
2. 用反比例函數(shù)解決實(shí)際問題的一般步驟(1)審(2)設(shè)(3)列(4)寫(5)解
某地區(qū)上一年度每度電價(jià)格為0.8 元，年用電量為1億度，本年度計(jì)劃將電價(jià)調(diào)到0.55元~0.75元(不包括端點(diǎn)值).經(jīng)測算，若電價(jià)調(diào)至x 元，則本年度新增用電量y(億度)與(x－0.4)(元)成反比例，且當(dāng)x=0.65 時(shí)，y=0.8.
解題秘方：緊扣反比例關(guān)系用待定系數(shù)法設(shè)函數(shù)解析式求解.
(1)求y 與x 之間的函數(shù)解析式．(2)若每度電的成本價(jià)為0.3 元，當(dāng)電價(jià)調(diào)至0.72 元時(shí)，本年度電力部門的收益是多少元？
解：(1)設(shè)y 與x 之間的函數(shù)解析式為y= (k ≠ 0).∵當(dāng)x=0.65 時(shí)，y=0.8，∴ k=(x－0.4)y=(0.65－0.4)×0.8=0.2.∴ y= ，即y= (0.55 ＜ x ＜ 0.75).
解：(2)當(dāng)電價(jià)調(diào)至0.72 元時(shí)，新增用電量為 = 0.625(億度)，則本年度用電量為1+0.625=1.625(億度)，1.625 億度=1.625×108 度.∴(0.72－0.3)×1.625×108=6.825×107(元).∴ 當(dāng)電價(jià)調(diào)至0.72 元時(shí)， 本年度電力部門的收益是6.825×107 元.
1-1. 某戶家庭用購電卡購買了2 000 度電， 若此戶家庭平均每天的用電量為x(單位：度)，這2 000 度電能夠使用的天數(shù)為y(單位：天)，則y 與x 的函數(shù)解析式為y= ____________(不要求寫出自變量的取值范圍).
1-2. 如圖是一蓄水池每小時(shí)的排水量V(m3)與排完蓄水池中的水所用時(shí)間t(h) 之間的函數(shù)關(guān)系圖象， 若要5 h 排完蓄水池中的水， 則每小時(shí)的排水量為_______ m3.
某機(jī)床加工一批機(jī)器零件，如果每小時(shí)加工30 個(gè)，那么12 小時(shí)可以完成.(1)設(shè)每小時(shí)加工x 個(gè)零件，所需時(shí)間為y 小時(shí)，寫出y關(guān)于x 的函數(shù)解析式；(2)若要在一個(gè)工作日(8 小時(shí))內(nèi)完成，每小時(shí)要比原來多加工幾個(gè)零件？
解題秘方：緊扣工程問題中“工作總量、工作時(shí)間與工作效率”間的關(guān)系列式，變形即可求出函數(shù)解析式.
解：(1)由題意得xy=30×12=360，所以y 關(guān)于x 的函數(shù)解析式為y= (x ＞ 0 且x 為整數(shù)).
(2)將y=8 代入y= 中，得8= ， 解得x=45.所以每小時(shí)要加工45 個(gè). 45－30=15(個(gè))，所以每小時(shí)要比原來多加工15 個(gè)零件.
2-1. 某工廠生產(chǎn)化肥的總?cè)蝿?wù)一定，平均每天的化肥產(chǎn)量y(噸)與完成總?cè)蝿?wù)所需要的時(shí)間x(天)成反比例關(guān)系，如果平均每天生產(chǎn)化肥125 噸，那么完成總?cè)蝿?wù)需要7 天.
(1)求y 關(guān)于x 的函數(shù)解析式，并指出比例系數(shù).
(2)若要5 天完成總?cè)蝿?wù)，則平均每天的化肥產(chǎn)量應(yīng)達(dá)到多少？
[中考·杭州] 方方駕駛小汽車勻速地從A 地行駛到B地，行駛里程為480 km，設(shè)小汽車的行駛時(shí)間為t(單位：h)，行駛速度為v(單位：km/h)，且全程速度限定為不超過120 km/h.
解題秘方：緊扣行程問題中路程一定時(shí)，速度與時(shí)間之間的關(guān)系，利用反比例函數(shù)的性質(zhì)解決問題.
(1)求v 關(guān)于t 的函數(shù)解析式.(2)方方上午8 點(diǎn)駕駛小汽車從A 地出發(fā).①方方需在當(dāng)天12 點(diǎn)48 分至14 點(diǎn)(含12 點(diǎn)48 分和14 點(diǎn))間到達(dá)B 地，求小汽車行駛速度v 的范圍.②方方能否在當(dāng)天11 點(diǎn)30 分前到達(dá)B 地? 說明理由.
解:(1)∵ vt=480，且v ≤ 120，∴ v 關(guān)于t 的函數(shù)解析式為v= (t ≥ 4).
(2)① 8 點(diǎn)至12 點(diǎn)48 分的時(shí)間長為 h，8 點(diǎn)至14 點(diǎn)的時(shí)間長為6 h，∴ ≤ t ≤ 6.將t=6 代入v= 中，得v=80；將t= 代入v= 中，得v=100. ∴小汽車行駛速度v 的范圍為80 ≤ v ≤ 100.
②方方不能在當(dāng)天11 點(diǎn)30 分前到達(dá)B 地. 理由如下：8 點(diǎn)至11 點(diǎn)30 分的時(shí)間長為 h，將t= 代入v= ，得v= >120，超速.故方方不能在當(dāng)天11 點(diǎn)30 分前到達(dá)B 地.
3-1. 小芳為響應(yīng)“ 綠色出行， 低碳生活”，每天從家騎自行車去學(xué)校， 所需時(shí)間v(min)與騎車速度x(m/min)之間的反比例函數(shù)關(guān)系如圖.
(1)寫出y 關(guān)于x 的函數(shù)解析式.
(2)學(xué)校要求學(xué)生每天最晚7 時(shí)20 分到校，為了安全起見， 小芳的騎車速度最快不超過300 m/min，則她每天最晚什么時(shí)候出發(fā)？
解：當(dāng)x＝300時(shí)，y＝8.　20－8＝12(min)．∴ 她每天最晚7時(shí)12分出發(fā)．
某閉合電路中，其電壓恒定，電流I(A)與電阻R(Ω)成反比例函數(shù)關(guān)系，其圖象如圖26.2-1，根據(jù)圖象回答下列問題.
(1)寫出電流I 與電阻R 之間的函數(shù)解析式.(2)如果一個(gè)用電器的電阻為5 Ω，其允許通過的最大電流是1 A，那么這個(gè)用電器接在這個(gè)閉合電路中，會(huì)不會(huì)被燒毀？請說明理由.(3)若允許通過的電流不超過4 A，那么電阻的取值應(yīng)該控制在什么范圍？
解題秘方：緊扣“電壓恒定，電流與電阻成反比例函數(shù)關(guān)系”，用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，再結(jié)合函數(shù)解析式求解其他問題.
解：(1)設(shè)I= (k ≠ 0)，由圖象過點(diǎn)(3，2)，得2= ， 解得k=6.所以電流I 與電阻R 之間的函數(shù)解析式為I= .
(2)會(huì)被燒毀. 理由：由(1)知，閉合電路的電壓恒為6 V，該用電器接在這個(gè)閉合電路中，通過的電流為 =1.2(A)，大于此用電器允許通過的最大電流1 A，所以該用電器接在這個(gè)閉合電路中，會(huì)被燒毀.
(3)由I= ，可知當(dāng)I=4 時(shí)，R=1.5.所以電阻應(yīng)大于或等于1.5 Ω.
也可由 ≤4，即4R ≥ 6，解得R≥1.5，所以電阻應(yīng)大于或等于1.5 Ω.
4-1. 一人站在平放在濕地上的木板上，當(dāng)人和木板對濕地的壓力一定時(shí)，隨著木板面積S(m2)的變化，人和木板對濕地的壓強(qiáng)p(Pa) 與木板的面積S(m2)成反比例函數(shù)關(guān)系，如果人和木板對濕地的壓力為600 N，回答下列問題：
(1)寫出p 與S 之間的函數(shù)解析式.
(2)當(dāng)木板面積為0.2 m2時(shí)，人和木板對濕地的壓強(qiáng)是多少？
(3)如果要求壓強(qiáng)不超過6 000 Pa，木板面積至少要多大？
(4)畫出相應(yīng)的函數(shù)圖象.
解：函數(shù)圖象如圖所示．
某商場出售一批進(jìn)價(jià)為2 元的賀卡，在市場銷售中發(fā)現(xiàn)，此賀卡的日銷售單價(jià)x(單位：元)與日銷售量y(單位：張)之間有如下關(guān)系：
解題秘方：緊扣“兩個(gè)變量的對應(yīng)值的乘積為同一常數(shù)，則這兩個(gè)變量成反比例”求函數(shù)解析式；
(1)確定y 與x 之間的函數(shù)解析式；
解：根據(jù)每組數(shù)據(jù)之積均為60，猜測y 與x 成反比例函數(shù)關(guān)系. 設(shè)y= (k ≠ 0)，把x=3，y=20 代入y= 中，得k=60，∴ y= (x ≥ 2).把x=4，y=15；x=5，y=12；x=6，y=10 代入上式均成立.∴ y 與x 之間的函數(shù)解析式為y= (x ≥ 2).
解題秘方：緊扣“被除數(shù)一定，除數(shù)越大、商越小及被減數(shù)一定，減數(shù)越小、差越大”進(jìn)行解答.
(2)設(shè)銷售此賀卡的日銷售利潤為w 元，試求w 與x 之間的函數(shù)解析式. 若物價(jià)局規(guī)定該賀卡售價(jià)每張最高不超過10 元，請你求出日銷售單價(jià)定為多少時(shí)，才能獲得最大日銷售利潤.
解：w=(x－2)y=(x－2)· =60－ (2 ≤ x ≤ 10).當(dāng)x=10 時(shí)，w 有最大值.即當(dāng)日銷售單價(jià)定為10 元時(shí)，才能獲得最大日銷售利潤.
5-1. 新能源汽車節(jié)能、環(huán)保，越來越受消費(fèi)者喜愛，某汽車銷售商推出分期付款購車促銷活動(dòng)，支付首付款后，余款要在30個(gè)月內(nèi)結(jié)清， 不計(jì)算利息. 王先生在活動(dòng)期間購買了價(jià)格為12 萬元的汽車，交了首付款后平均每個(gè)月付款y 萬元，x 個(gè)月結(jié)清. y 與x 的函數(shù)圖象如圖所示，根據(jù)圖象回答下列問題.
(1)確定y 與x 的函數(shù)解析式，并求出首付款的數(shù)目.
(2)王先生若用20 個(gè)月結(jié)清，平均每個(gè)月應(yīng)付多少萬元？
(3)如果打算每個(gè)月付款不超過4 000 元，王先生至少要幾個(gè)月才能結(jié)清余款？

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26.2 實(shí)際問題與反比例函數(shù)

版本： 人教版

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