?第十六講 直線與圓的位置關(guān)系
考點(diǎn)1：直線與圓的位置關(guān)系
分析：直線與圓的位置關(guān)系是比較圓心到直線的距離和半徑的大小.其它的說(shuō)法是不夠準(zhǔn)確的.我們要注意！
例題1：下列判斷正確的是（ ）
①直線上一點(diǎn)到圓心的距離大于半徑，則直線與圓相離；②直線上一點(diǎn)到圓心的距離等于半徑，則直線與圓相切；③直線上一點(diǎn)到圓心的距離小于半徑，則直線與圓相交．
A．①②③ B．①② C．②③ D．③
答案：D；
例題2：已知∠AOB=30°，P是OA上的一點(diǎn)，OP=4cm，以r為半徑作⊙P，若r=cm，則⊙P與OB的位置關(guān)系是　 　，若⊙P與OB相離，則r滿足的條件是　?。?br />
解：相離，0＜r＜2．
例題3：如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，若以C為圓心，r為半徑作圓，那么:
（1）當(dāng)直線AB與⊙C相切時(shí)，求r的取值范圍；
（2）當(dāng)直線AB與⊙C相離時(shí)，求r的取值范圍；
（3）當(dāng)直線AB與⊙C相交時(shí)，求r的取值范圍．
解答：∵∠C=90°，AC=3，AB=5，∴BC=4；過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D；
∵S=×AC×BC=×AB×CD，∴CD==；
（1） ∵直線AB與圓C相切，∴r=CD=；
（2） ∵直線AB與圓C相離，∴r＜CD，即r＜；
（3） ∵直線AB與圓C相交，∴r＞CD，即r＞；

考點(diǎn)2：動(dòng)圓與定線(線段、射線、直線)的位置關(guān)系，
分析：通過圓心所在的軌跡對(duì)切線作垂直，垂線段等于半徑，然后解決問題.
例題1：（2019秋?長(zhǎng)興縣期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，點(diǎn)D在邊BC上，CD＝6，BD＝10．點(diǎn)P是線段AD上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)半徑為4的⊙P與△ABC的一邊相切時(shí)，AP的長(zhǎng)為　?。?br />
答案為：5或或4．
例題2：射線QN與等邊△ABC的兩邊AB，BC分別交于點(diǎn)M，N，且AC∥QN，AM=MB=2cm，QM=4cm．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)Q出發(fā)，沿射線QN以每秒1cm的速度向右移動(dòng)，經(jīng)過t秒，以點(diǎn)P為圓心，cm為半徑的圓與△ABC的邊相切（切點(diǎn)在邊上），請(qǐng)寫出t可取的一切值　 ?。▎挝唬好耄?br />
答案：t=2或3≤t≤7或t=8．
例題3：（2018秋?拱墅區(qū)期末）如圖，已知四邊形ABCD是菱形，BC∥x軸，點(diǎn)B的坐標(biāo)是（1，），坐標(biāo)原點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，動(dòng)圓⊙P的半徑是，圓心P（m，0）在x軸上移動(dòng)，若⊙P在運(yùn)動(dòng)過程中只與菱形ABCD的一邊相切，則m的取值范圍是　　．

答案為﹣5≤m＜﹣3或﹣1＜m≤1或m＝2或m＝﹣6．

例題4：（2018?鎮(zhèn)江）如圖1，平行四邊形ABCD中，AB⊥AC，AB=6，AD=10，點(diǎn)P在邊AD上運(yùn)動(dòng)，以P為圓心，PA為半徑的⊙P與對(duì)角線AC交于A，E兩點(diǎn)．
（1）如圖2，當(dāng)⊙P與邊CD相切于點(diǎn)F時(shí)，求AP的長(zhǎng)；
（2）不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)⊙P與邊CD相切時(shí)，⊙P與平行四邊形ABCD的邊有三個(gè)公共點(diǎn)，隨著AP的變化，⊙P與平行四邊形ABCD的邊的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)也在變化，若公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為4，直接寫出相對(duì)應(yīng)的AP的值的取值范圍　?。?br />
解：（1）如圖2所示，連接PF，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC==8，
設(shè)AP=x，則DP=10﹣x，PF=x，
∵⊙P與邊CD相切于點(diǎn)F，
∴PF⊥CD，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，
∵AB⊥AC，
∴AC⊥CD，
∴AC∥PF，
∴△DPF∽△DAC，
∴，
∴，
∴x=，AP=；
（2）＜AP＜或AP=5．



考點(diǎn)3：動(dòng)線(線段、射線、直線)與圓位置關(guān)系
分析：抓住動(dòng)直線的特點(diǎn)，是否平行直線束，還是過定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的直線束，畫出與圓相切的直線，然后過圓心對(duì)直線作垂線.注意|k|=tanɑ，ɑ指的是直線與x軸夾的銳角.可能要利用三角函數(shù)或相似解決問題.
例題1：如圖，直線l與以線段AB為直徑的圓相切于點(diǎn)C，AB=6，AC=3，點(diǎn)P是直線l上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)∠APB的度數(shù)最大時(shí)，線段BP的長(zhǎng)度為（　?。?br /> A．6 B． C．9 D．

解：D．
例題2：如圖，在矩形ABCD中，AB=5，BC=4，以CD為直徑作⊙O．將矩形ABCD繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，使所得矩形A′B′CD′的邊A′B′與⊙O相切，切點(diǎn)為E，邊CD′與⊙O相交于點(diǎn)F，則CF的長(zhǎng)為　4?。?br />
解：4．
例題3：如圖，已知直線l：y=﹣x﹣以每秒3個(gè)單位的速度向右平移；同時(shí)以點(diǎn)M（3，3）為圓心，3個(gè)單位長(zhǎng)度為半徑的⊙M以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向右平移，當(dāng)直線l與⊙M相切時(shí)，則它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為　 　秒．

答案：2.5或10．
例題4：如圖1，△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=120°，點(diǎn)P為BC上一點(diǎn)，PA=PB，⊙O是△PAB的外接圓．
（1）求⊙O的直徑；
（2）如圖2，將△ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△A′BC′，使邊BA′與⊙O相切，BC′交⊙O于點(diǎn)M，求此時(shí)的旋轉(zhuǎn)角度及弧AQM的長(zhǎng)度．

解：（1）連接OP，OB，OP交AB于H，如圖1，
∵AB=AC=4，∠BAC=120°，
∴∠ABC=∠C=30°，
∵PA=PB，
∴∠PAB=∠ABP=30°，OP⊥AB，
∴∠BOP=2∠PAB=60°，BH=AH=2，
在Rt△PBH中，PH=BH=，BP=2PH=，
∵OB=OP，
∴△OBP為等邊三角形，
∴OB=BP=，
∴⊙O的直徑為；
（2）連接OB，OM，OA，如圖2，
∵邊BA′與⊙O相切，
∴OB⊥BA′，
∴∠OBA′=90°，
∵∠OBA=60°，
∴∠ABA′=90°+30°=120°，
∵△ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△A′BC′，
∴∠CBC′=∠ABA′=120°，即旋轉(zhuǎn)角度為120°，
∵∠OBP=60°，
∴∠OBM=60°，
∴△OBM為等邊三角形，
∴∠BOM=60°，
∴∠AOM=360°﹣60°﹣120°=180°，
而OB=，
∴弧AQM的長(zhǎng)度==π．

知識(shí)點(diǎn)2：切線的性質(zhì)定理
切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過其切點(diǎn)的半徑；經(jīng)過半徑的非圓心一端，并且垂直于這條半徑的直線，就是這個(gè)圓的一條切線.
切線的性質(zhì)定理的推論：
（1）經(jīng)過切點(diǎn)垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心.
（2）圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑.
注意：對(duì)于切線的性質(zhì)定理的掌握可歸納為三條：（1）過圓心；（2）過切點(diǎn)；（3）垂直于切線.事實(shí)上只要知道其中兩個(gè)性質(zhì)，就可以推出第三個(gè).
考點(diǎn)4：利用垂直
分析：已知切線，那么我們必須要連結(jié)圓心和切點(diǎn)，得出兩個(gè)結(jié)論：①長(zhǎng)度等于半徑，②垂直直線.
例題1：（2020?溫州）如圖，菱形OABC的頂點(diǎn)A，B，C在⊙O上，過點(diǎn)B作⊙O的切線交OA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D．若⊙O的半徑為1，則BD的長(zhǎng)為（　　）

A．1 B．2 C． D．
答案為：D．

例題2：如圖，在直角坐標(biāo)系中，⊙A的圓心A的坐標(biāo)為（﹣1，0），半徑為1，點(diǎn)P為直線y=﹣x+3上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作⊙A的切線，切點(diǎn)為Q，則切線長(zhǎng)PQ的最小值是　 　．

答案：2．
例題3：（2020?臺(tái)州）如圖，在△ABC中，D是邊BC上的一點(diǎn)，以AD為直徑的⊙O交AC于點(diǎn)E，連接DE．若⊙O與BC相切，∠ADE＝55°，則∠C的度數(shù)為　 ．

答案為：55°．
例題4：如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8，M是AB的中點(diǎn)，P是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)PM，以點(diǎn)P為圓心，PM長(zhǎng)為半徑作⊙P．當(dāng)⊙P與正方形ABCD的邊相切時(shí)，BP的長(zhǎng)為　?。?br />
答案：3或4．
例題5：如圖，⊙O與Rt△ABC的直角邊AC和斜邊AB分別相切于點(diǎn)C，D，與邊BC相交于點(diǎn)F，OA與CD相交于點(diǎn)E，連接FE并延長(zhǎng)交AC邊于點(diǎn)G．
（1）求證：DF∥AO；（2）若AC=6，AB=10，求CG的長(zhǎng)．

解答：（1）證明：連接OD．∵AB與⊙O相切于點(diǎn)D，且OC⊥AC，∴CF為直徑，∴∠CDF=90°，
∵AC與⊙O相切于點(diǎn)C，∴AC=AD，．∵OC=OD，∴OA⊥CD，∴∠CDF=∠OEC=90°，∴DF∥AO．
（2）過點(diǎn)作EM⊥OC于M，∵AC=6，AB=10，∴BC==8，∴AD=AC=6，
∴BD=AB﹣AD=4，∵BD2=BF?BC，∴BF=2，∴CF=BC﹣BF=6．OC=CF=3，
∴OA==3，∵OC2=OE?OA，∴OE=，∵EM∥AC，∴===，
∴OM=，EM=，F(xiàn)M=OF+OM=，∴===，∴CG=EM=2．
例題6：（2020?溫州一模）如圖，四邊形ABCD中，∠B＝90°，以AD為直徑的⊙O交AB于點(diǎn)E，與BC相切于點(diǎn)C，連結(jié)CE．
（1）求證：CD＝CE．
（2）若AE＝3，tan∠D＝，求⊙O的半徑．

【解答】解：（1）證明：如圖，連結(jié)DE，OC交于點(diǎn)F．
∵BC切⊙O于點(diǎn)C，
∴∠OCB＝90°，
∵∠B＝90°，
∴OC∥AB，
∵AD是圓的直徑，
∴∠DEA＝∠FEB＝90°，
∴OC⊥DE，
∴＝，
∴CD＝CE；
（2）如圖，連結(jié)AC，
∵四邊形ABCD內(nèi)接于圓，
∴∠CEB＝∠ADC，
∵＝，
∴∠DAC＝∠CAB，
∴∠ADC＝∠ACB
∴tan∠ACB＝tan∠CEB＝tan∠ADC，
設(shè)BE＝3x，則BC＝4x，CE＝5x，
∴＝，
解得：x＝，
∴CD＝，
∴AD＝＝，
∴OA＝．

考點(diǎn)5：切線的判定
分析：判定切線的方法：
（1）直接證明
（2）若切點(diǎn)明確，則“連半徑，證垂直”.
常見手法有：全等轉(zhuǎn)化；平行轉(zhuǎn)化；直徑轉(zhuǎn)化；中線轉(zhuǎn)化等；有時(shí)可通過計(jì)算結(jié)合相似、勾股定理證垂直；
（3）若切點(diǎn)不明確，則“作垂直，證半徑”.
常見手法：角平分線定理；等腰三角形三線合一，隱藏角平分線；
總而言之，要完成兩個(gè)層次的證明：①直線所垂直的是圓的半徑（過圓上一點(diǎn)）；②直線與半徑的關(guān)系是互相垂直.在證明中的關(guān)鍵是要處理好弧、弦、角之間的相互轉(zhuǎn)化,要善于進(jìn)行由此及彼的聯(lián)想、要總結(jié)常添加的輔助線
方法一：直接證明
例題1：（2018?邵陽(yáng)）如圖所示，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C為⊙O上一點(diǎn)，過點(diǎn)B作BD⊥CD，垂足為點(diǎn)D，連結(jié)BC．BC平分∠ABD．
求證：CD為⊙O的切線．

證明：∵BC平分∠ABD，
∴∠OBC=∠DBC，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠OCB=∠DBC，
∴OC∥BD，
∵BD⊥CD，
∴OC⊥CD，
∴CD為⊙O的切線．
例題2：（2018?揚(yáng)州一模）如圖，△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D為BC上一點(diǎn)，且AD=DC，過A，B，D三點(diǎn)作⊙O，AE是⊙O的直徑，連結(jié)DE．
（1）求證：AC是⊙O的切線；
（2）若sinC=，AC=6，求⊙O的直徑．

（1）證明：∵AB=AC，AD=DC，
∴∠C=∠B，∠1=∠C，
∴∠1=∠B，
又∵∠E=∠B，
∴∠1=∠E，
∵AE是⊙O的直徑，
∴∠ADE=90°，
∴∠E+∠EAD=90°，
∴∠1+∠EAD=90°，即∠EAC=90°，
∴AE⊥AC，
∴AC是⊙O的切線；
（2）解：過點(diǎn)D作DF⊥AC于點(diǎn)F，如圖，
∵DA=DC，
∴CF=AC=3，
在Rt△CDF中，∵sinC==，
設(shè)DF=4x，DC=5x，
∴CF==3x，
∴3x=3，解得x=1，
∴DC=5，
∴AD=5，
∵∠ADE=∠DFC=90°，∠E=∠C，
∴△ADE∽△DFC，
∴=，即=，解得AE=，
即⊙O的直徑為．

例題3：如圖，已知A，B，C，D，E是⊙O上五點(diǎn)，⊙O的直徑BE=2，∠BCD=120°，A為的中點(diǎn)，延長(zhǎng)BA到點(diǎn)P，使BA=AP，連接PE．
（1）求線段BD的長(zhǎng)；
（2）求證：直線PE是⊙O的切線．

【解答】（1）解：連接DE，如圖，
∵∠BCD+∠DEB=180°，
∴∠DEB=180°﹣120°=60°，
∵BE為直徑，
∴∠BDE=90°，
在Rt△BDE中，DE=BE=×2=，
BD=DE=×=3；
（2）證明：連接EA，如圖，
∵BE為直徑，
∴∠BAE=90°，
∵A為的中點(diǎn)，
∴∠ABE=45°，
∵BA=AP，
而EA⊥BA，
∴△BEP為等腰直角三角形，
∴∠PEB=90°，
∴PE⊥BE，
∴直線PE是⊙O的切線．

方法二：若直線l過⊙O上某一點(diǎn)A，證明l是⊙O的切線，只需連OA，證明OA⊥l就行了，簡(jiǎn)稱“連半徑，證垂直”，難點(diǎn)在于如何證明兩線垂直.
例題1：如圖，AB是⊙O的直徑，CD⊥AB，且OA2=OD·OP.求證：PC是⊙O的切線.

證明：連接OC；∵OA2=OD·OP，且OA=OC=R，∴OC2=OD·OP,即，
∵∠COD=∠POC，∴△OCD∽△OPC，∵CD⊥AB，∴∠ODC=90°=∠OCP，即OC⊥PC；
∵OC為半徑，∴PC是圓O的切線；
例題2：（2018?嘉興一模）如圖，直線l1∥l2，⊙O與l1和l2分別相切于點(diǎn)A和點(diǎn)B，點(diǎn)M和點(diǎn)N分別是l1和l2上的動(dòng)點(diǎn)，MN沿l1和l2平移，若⊙O的半徑為1，∠1=60°，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（　?。?br /> A.MN= B.若MN與⊙O相切，則AM=
C.l1和l2的距離為2 D.若∠MON=90°，則MN與⊙O相切

解：B．

例題3：（2020?湖州模擬）如圖，已知在等腰△ABC中，AC＝BC，以AC為直徑作⊙O交AB于點(diǎn)D．
（1）若AC＝2，∠A＝30°，求的長(zhǎng)．
（2）過點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E，求證：DE是⊙O的切線．

【解答】（1）解：連接OD，如圖所示：
∵∠A＝30°，
∴∠COD＝2∠A＝60°，
∵AC＝2，AC為⊙O的直徑，
∴OA＝OC＝1，
∴的長(zhǎng)＝＝；
（2）證明：∵OD＝OA，
∴∠A＝∠ODA，
∵AC＝BC，
∴∠B＝∠A，
∴∠B＝∠ODA，
∴OD∥BC，
∵DE⊥BC，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切線．

例題4：如圖，AD是∠BAC的平分線，P為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且PA=PD.求證：PA與⊙O相切.

解答：連接AO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)E，連接BE，∵AE為⊙O的直徑，∴∠EBA=90°，
∵PA=PD，∴∠PAD=∠2，即∠1+∠CAD=∠2，∵AD是∠BAC的平分線，∴∠BAD=∠DAC，
∵∠ABD+∠BAD=∠2，∴∠1=∠ABC，∵∠CBE=∠EAC，∠ABC+∠CBE=90°，∴∠CAE+∠1=90°，∴PA與⊙O相切．
例題5：（2018?萊蕪）如圖，已知A，B是⊙O上兩點(diǎn)，△OAB外角的平分線交⊙O于另一點(diǎn)C，CD⊥AB交AB的延長(zhǎng)線于D．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）E為的中點(diǎn)，F(xiàn)為⊙O上一點(diǎn)，EF交AB于G，若tan∠AFE=，BE=BG，EG=3，求⊙O的半徑．

（1）證明：連接OC，如圖，
∵BC平分∠OBD，
∴∠OBD=∠CBD，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠OCB=∠CBD，
∴OC∥AD，
而CD⊥AB，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切線；
（2）解：連接OE交AB于H，如圖，
∵E為的中點(diǎn)，
∴OE⊥AB，
∵∠ABE=∠AFE，
∴tan∠ABE=tan∠AFE=，
∴在Rt△BEH中，tan∠HBE==
設(shè)EH=3x，BH=4x，
∴BE=5x，
∵BG=BE=5x，
∴GH=x，
在Rt△EHG中，x2+（3x）2=（3）2，解得x=3，
∴EH=9，BH=12，
設(shè)⊙O的半徑為r，則OH=r﹣9，
在Rt△OHB中，（r﹣9）2+122=r2，解得r=，
即⊙O的半徑為．

方法三：若直線l與⊙O沒有已知的公共點(diǎn)，又要證明l是⊙O的切線，只需作OA⊥l，A為垂足，證明OA是⊙O的半徑就行了，簡(jiǎn)稱：“作垂直；證半徑”(一般用于函數(shù)與幾何綜合題）
例題1：已知：如圖，AC，BD與⊙O切于A，B，且AC∥BD，若∠COD=900.求證：CD是⊙O的切線.

證明：延長(zhǎng)DO與CA的延長(zhǎng)線相交于F，過O作OE⊥CD于E，∵AC，BD是⊙O的切線，∴OA⊥AC，OB⊥BD，∵AD∥BC，∴A，O，B三點(diǎn)共線，∠F=∠BDO，在△BDO與△AFO中，，∴△BDO≌△AFO，∴OD=OF，∵∠COD=90°，∴∠COF=90°，∴CF=CD，∴∠OCA=∠ECO，
∴OE=OA，∴CD是⊙O的切線．

例題2：（2019秋?鎮(zhèn)海區(qū)期末）如圖，O為∠MBN角平分線上一點(diǎn)，⊙O與BN相切于點(diǎn)C，連結(jié)CO并延長(zhǎng)交BM于點(diǎn)A，過點(diǎn)A作AD⊥BO于點(diǎn)D．
（1）求證：AB為⊙O的切線；
（2）若BC＝6，tan∠ABC＝，求AD的長(zhǎng)．

【解答】解：（1）過點(diǎn)O作OE⊥AB于點(diǎn)E，

∵O為∠MBN角平分線上一點(diǎn)，
∴∠ABD＝∠CBD，
又∵BC為⊙O的切線，
∴AC⊥BC，
∵AD⊥BO于點(diǎn)D，
∴∠D＝90°，
∴∠BCO＝∠D＝90°，
在△BOC和△BOE中，
∵，
∴△BOC≌△BOE（AAS），
∴OE＝OC，
∵OE⊥AB，
∴AB是⊙O的切線；

（2）∵∠ABC+∠BAC＝90°，∠EOA+∠BAC＝90°，
∴∠EOA＝∠ABC，
∵tan∠ABC＝、BC＝6，
∴AC＝BC?tan∠ABC＝8，
則AB＝10，
由（1）知BE＝BC＝6，
∴AE＝4，
∵tan∠EOA＝tan∠ABC＝，
∴，
∴OE＝3，OB＝＝3，
∵∠ABD＝∠OBC，∠D＝∠ACB＝90°，
∴△ABD∽△OBC，
∴，即＝，
∴AD＝2．
考點(diǎn)6：與坐標(biāo)和網(wǎng)格的結(jié)合
分析：坐標(biāo)內(nèi)一般輔助線均為對(duì)坐標(biāo)軸作垂線.
例題1：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，⊙M與y軸相切于原點(diǎn)O，平行于x軸的直線交⊙M于P，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)P在點(diǎn)Q的右邊，若P點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣1，2），則Q點(diǎn)的坐標(biāo)是（　?。?br />
A．（﹣4，2） B．（﹣4.5，2） C．（﹣5，2） D．（﹣5.5，2 ）
故選：A．


例題2：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在第一象限，⊙A與x軸相切于B，與y軸交于C（0，1），D（0，4）兩點(diǎn)，則點(diǎn)A的坐標(biāo)是 .

答案：（2，）．
例題3：（2019秋?江北區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，過格點(diǎn)A，B，C畫圓弧，則點(diǎn)B與下列格點(diǎn)連線所得的直線中，能夠與該圓弧相切的格點(diǎn)坐標(biāo)是（　?。?br />
A．（5，2） B．（2，4） C．（1，4） D．（6，2）
故選：D．
例題4：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，半徑為2的⊙P的圓心P的坐標(biāo)為（3，0），將⊙P沿x軸左平移，使⊙P與y軸相切，則平移的距離為（　?。?br /> A．1 B．3 C．5 D．1 或 5

故選：D．

考點(diǎn)6：切線長(zhǎng)定理考察長(zhǎng)度相等
分析：切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，圓心和這一點(diǎn)的連線，平分兩條切線的夾角.這里有幾個(gè)結(jié)論，一，長(zhǎng)度相等，二，角平分線.
例題1：（2019?杭州）如圖，P為圓O外一點(diǎn)，PA，PB分別切圓O于A，B兩點(diǎn)，若PA＝3，則PB＝（　?。?br /> A．2 B．3 C．4 D．5

故選：B．
例題2：如圖，⊙O與正方形ABCD是兩邊AB，AD相切，DE與⊙O相切于點(diǎn)E，若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為5，DE=3，則tan∠ODE為（　?。?br /> A． B． C． D．

選：B．
例題3：如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC為直徑的⊙O與AB邊交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作⊙O的切線，交BC于點(diǎn)E；
（1）求證：BE=CE；
（2）若以O(shè)，D，E，C為頂點(diǎn)的四邊形是正方形，⊙O的半徑為r，求△ABC的面積；
（3）若EC=4，BD=，求⊙O的半徑OC的長(zhǎng)．

解答：（1）證明：連接CD，由AC是直徑知CD⊥AB；DE，CE都是切線，所以DE=CE，∠EDC=∠ECD；又∠B+∠ECD=90°，∠BDE+∠EDC=90°；所以∠B=∠BDE，所以BE=DE，從而BE=CE；
（2）解：連接OD，當(dāng)以O(shè)，D，E，C為頂點(diǎn)的四邊形是正方形時(shí)，DE=EC=OC=OD=r；
從而BE=r，即△ABC是一個(gè)等腰直角三角形；AC=AB=2r，S△ABC=2r2；
（3）解：若EC=4，BD=4，則BC=8；在Rt△BDC中，cos∠CBD==；所以∠CBD=30°；
在Rt△ABC中，=tan30°，即AC=BCtan30°=8×=，OC==；
另解：設(shè)OC=r，AD=x；由EC=4，BD=4得BC=8，DC=4；則：，解得；即OC=．
例題4：（2020?浙江自主招生）如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，AD，AB，BC分別與⊙O相切于E，F(xiàn)，G三點(diǎn)，過點(diǎn)D作⊙O的切線交BC于點(diǎn)M，切點(diǎn)為N，則DM的長(zhǎng)為　?。?br />
【解答】解：連接OE，OF，ON，OG，
在矩形ABCD中，
∵∠A＝∠B＝90°，CD＝AB＝4，
∵AD，AB，BC分別與⊙O相切于E，F(xiàn)，G三點(diǎn)，
∴∠AEO＝∠AFO＝∠OFB＝∠BGO＝90°，
∴四邊形AFOE，F(xiàn)BGO是正方形，
∴AF＝BF＝AE＝BG＝2，
∴DE＝3，
∵DM是⊙O的切線，
∴DN＝DE＝3，MN＝MG，
∴CM＝5﹣2﹣MN＝3﹣MN，
在Rt△DMC中，DM2＝CD2+CM2，
∴（3+NM）2＝（3﹣NM）2+42，
∴NM＝，
∴DM＝3+＝．
故答案為．


考點(diǎn)7：切線長(zhǎng)定理考察角度
分析：
切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，圓心和這一點(diǎn)的連線，平分兩條切線的夾角.這里有幾個(gè)結(jié)論，一，長(zhǎng)度相等；二，角平分線.要算角度得利用角平分線的性質(zhì)，還有垂直.
例題1：如圖，過⊙O外一點(diǎn)P引⊙O的兩條切線PA，PB，切點(diǎn)分別是A，B，OP交⊙O于點(diǎn)C，點(diǎn)D是上不與點(diǎn)A、點(diǎn)C重合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AD，CD，若∠APB=80°，則∠ADC的度數(shù)是（　?。?br />
A．15° B．20° C．25° D．30°
答案：C；
例題2：如圖，∠APB=52°，PA，PB，DE都為⊙O的切線，切點(diǎn)分別為A，B，F(xiàn)，且PA=6．
（1）求△PDE的周長(zhǎng)；
（2）求∠DOE的度數(shù)．

解答：（1）∵PA，PB，DE都為⊙O的切線，∴DA=DF，EB=EF，PA=PB=6，
∴DE=DA+EB，∴PE+PD+DE=PA+PB=12，即△PDE的周長(zhǎng)為12；
（2）連接OF，∵PA，PB，DE分別切⊙O于A，B，F(xiàn)三點(diǎn)，∴OB⊥PB，OA⊥PA，∠BOE=∠FOD=∠BOF，∠FOD=∠AOD=∠AOF，∵∠APB=52°，∴∠AOB=360°﹣90°﹣90°﹣52°=128°，
∴∠DOE=∠FOE+∠FOD=（∠BOF+∠AOF）=∠BOA=64°．
考點(diǎn)8：弦切角定理
分析：弦切角等于它所夾的弧所對(duì)的圓周角.如圖，∠PAB=∠C.

例題1：（2020春?紹興月考）如圖，AB是⊙O的直徑，DB，DE分別切⊙O于點(diǎn)B，C，若∠ACE＝20°，則∠D的度數(shù)是（　　）

A．40° B．50° C．60° D．70°
【解答】解：連OC，如圖，

∵DB、DE分別切⊙O于點(diǎn)B、C，
∴∠OBD＝∠OCD＝∠OCE＝90°，
∵∠ACE＝20°，
∴∠OCA＝90°﹣20°＝70°，
∵OC＝OA，
∴∠OAC＝∠OCA＝70°，
∴∠BOC＝2×70°＝140°，
∴∠D＝360°﹣90°﹣90°﹣140°＝40°．
故選：A．
例題2：點(diǎn)P是⊙O外一點(diǎn)，PA，PB分別切⊙O于點(diǎn)A，B，∠P=70°，點(diǎn)C是⊙O上的點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），則∠ACB等于（　?。?br /> A．70° B．55° C．70°或110° D．55°或125°
答案：D
例題3：如圖，已知AB是⊙O的直徑，PC切⊙O于點(diǎn)C，∠PCB=35°，則∠B等于　 　度．

答案：55°；
例題4：（2018?馬邊縣模擬）已知，如圖，半徑為1的⊙M經(jīng)過直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O，且與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A，B，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（，0），⊙M的切線OC與直線AB交于點(diǎn)C．則∠ACO=　 　度．

答案：30．
考點(diǎn)9：切割線定理
分析：我們偉大的相似可以推導(dǎo)出很多定理，現(xiàn)在切割定理也是相似推導(dǎo)出來(lái)的.如圖：PA2=PB×PC

例題1：如圖，A，B，C，D為⊙O上的點(diǎn)，直線BA與DC相交于點(diǎn)P，PA=2，PC=CD=3，則PB=（　?。?br />
A．6 B．7 C．8 D．9
答案：D；
例題2：如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，O為AB上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OA為半徑作圓O與BC相切于點(diǎn)D，分別交AC，AB于E，F(xiàn)，若CD=2CE=4，則⊙O的直徑為（　?。?br />
A．10 B． C．5 D．12
答案：A；
例題3：（2020?浙江自主招生）如圖，在?ABCD中，過A，B，C三點(diǎn)的圓交AD于E，且與CD相切．若AB＝4，BE＝5，則DE的長(zhǎng)為（　　）

A．3 B．4 C． D．
【解答】解：連接CE；
∵，
∴∠BAE＝∠EBC+∠BEC；
∵∠DCB＝∠DCE+∠BCE，
由弦切角定理知：∠DCE＝∠EBC，
由平行四邊形的性質(zhì)知：∠DCB＝∠BAE，
∴∠BEC＝∠BCE，即BC＝BE＝5，
∴AD＝5；
由切割線定理知：DE＝DC2÷DA＝，
故選：D．

例題4：如圖，PA，PB是⊙O的兩條切線，PEC是一條割線，D是AB與PC的交點(diǎn)，若PE=2，CD=1，求DE的長(zhǎng)．

解答：連接PO交AB于H，由切線長(zhǎng)定理可知，OP平分∠APB，而PA=PB，
∴PO⊥AB，設(shè)DE=x，則PA2=PE?PC=2（x+3）．
在Rt△APH中，AP2=AH2+PH2，即AH2+PH2=2（x+3）①，
在Rt△PHD中，PH2+DH2=（x+2）2②，
又AD?DB=ED?DC，而AD?DB=（AH﹣DH）（AH+DH）=AH2﹣DH2，
∴AH2﹣DH2=x?1③，由①②③得（x+2）2+x=2（x+3），解得DE=x=．


例題5：已知：AB是⊙O的直徑，C是AB上一點(diǎn)，PC⊥AB，交⊙O于F，PDE是割線，交⊙O于D，E．求證：PC2=PD?PE+AC?CB．

證明：延長(zhǎng)PC交⊙O于G，由割線定理，得PD?PE=PF?PG．由相交弦定理，得AB?BC=CF?CG．
∵直徑AB⊥FG，∴CF=CG，∴AB?BC=CF2，∴PD?PE=PF?PG=（PC﹣CF）（PC+CG）=（PC﹣CF）（PC+DF）=PC2﹣CF2，∴PD?PE+AC?CB=PC2﹣CF2+CF2=PC2，即 PC2=PD?PE+AC?CB．

相關(guān)試卷

數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè)2.1 直線和圓的位置關(guān)系課堂檢測(cè)：

這是一份數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè)2.1 直線和圓的位置關(guān)系課堂檢測(cè)，共3頁(yè)。試卷主要包含了下列結(jié)論中，正確的是等內(nèi)容，歡迎下載使用。

初中數(shù)學(xué)2.1 直線和圓的位置關(guān)系練習(xí)：

這是一份初中數(shù)學(xué)2.1 直線和圓的位置關(guān)系練習(xí)，共3頁(yè)。試卷主要包含了下列直線中，一定是圓的切線的是等內(nèi)容，歡迎下載使用。

初中數(shù)學(xué)浙教版九年級(jí)下冊(cè)2.1 直線和圓的位置關(guān)系同步測(cè)試題：

這是一份初中數(shù)學(xué)浙教版九年級(jí)下冊(cè)2.1 直線和圓的位置關(guān)系同步測(cè)試題，共3頁(yè)。

英語(yǔ)朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

初中數(shù)學(xué)浙教版九年級(jí)下冊(cè)2.1 直線和圓的位置關(guān)系鞏固練習(xí)

初中數(shù)學(xué)浙教版九年級(jí)下冊(cè)2.1 直線和圓的位置關(guān)系鞏固練習(xí)
數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè)2.1 直線和圓的位置關(guān)系同步測(cè)試題

數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè)2.1 直線和圓的位置關(guān)系同步測(cè)試題
初中數(shù)學(xué)浙教版九年級(jí)下冊(cè)2.1 直線和圓的位置關(guān)系當(dāng)堂檢測(cè)題

初中數(shù)學(xué)浙教版九年級(jí)下冊(cè)2.1 直線和圓的位置關(guān)系當(dāng)堂檢測(cè)題
2021學(xué)年2.1 直線和圓的位置關(guān)系課時(shí)練習(xí)

2021學(xué)年2.1 直線和圓的位置關(guān)系課時(shí)練習(xí)
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
初中數(shù)學(xué)浙教版九年級(jí)下冊(cè)電子課本

2.1 直線和圓的位置關(guān)系

版本： 浙教版

年級(jí)： 九年級(jí)下冊(cè)

切換課文
  • 課件
  • 教案
  • 試卷
  • 學(xué)案
  • 更多
所有DOC左下方推薦
歡迎來(lái)到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬(wàn)優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬(wàn)優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬(wàn)教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

返回
頂部