【考點全掌握】人教版數(shù)學(xué)九年級上冊-第二十三章-旋轉(zhuǎn)-單元過關(guān)檢測02-同步考點（知識清單+例題講解+課后練習）-試卷下載-教習網(wǎng)

?2022—2023學(xué)年九年級上學(xué)期第三單元過關(guān)檢測（2）
一、選擇題（本題共12小題，每小題4分，共48分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目答案標號涂黑）
1．（4分）下列正多邊形，繞其中心旋轉(zhuǎn)72°后，能和自身重合的是（　?。?br /> A． B． C． D．
【分析】求出各個選項圖形的最小旋轉(zhuǎn)角度，即可做出判斷．
【解答】解：A、正三角形的最小旋轉(zhuǎn)角度為120°，故本選項不符合題意；
B、正方形的最小旋轉(zhuǎn)角度90°，故本選項不符合題意；
C、正五邊形的最小旋轉(zhuǎn)角度為＝72°，故本選項符合題意；
D、正六邊形的最小旋轉(zhuǎn)角度為＝60°，故本選項不符合題意；
故選：C．
2．（4分）在俄羅斯方塊游戲中，若某行被小方格塊填滿，則該行中的所有小方格會自動消失．現(xiàn)在游戲機屏幕下面三行已拼成如圖所示的圖案，屏幕上方又出現(xiàn)一小方格塊正向下運動，為了使屏幕下面三行中的小方格都自動消失，你可以將圖形進行以下的操作（　?。?br /> A．先逆時針旋轉(zhuǎn)90°，再向左平移
B．先順時針旋轉(zhuǎn)90°，再向左平移
C．先逆時針旋轉(zhuǎn)90°，再向右平移
D．先順時針旋轉(zhuǎn)90°，再向右平移
【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)和平移的性質(zhì)即可解答．
【解答】解：屏幕上方又出現(xiàn)一小方格塊正向下運動，為了使屏幕下面三行中的小方格都自動消失，可以先逆時針旋轉(zhuǎn)90°，再向左平移．
故選：A．
3．（4分）如圖，將線段AB先繞原點О按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°，再向下平移4個單位，得到線段CD，則點A的對應(yīng)點C的坐標是（　?。?br />
A．（1，﹣6） B．（﹣1，6） C．（1，﹣2） D．（﹣1，﹣2）
【分析】先求出A點繞O點逆時針旋轉(zhuǎn)90°后的坐標為（﹣1，2），再求向下平移4個單位后的點的坐標即可．
【解答】解：A點繞O點逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到點A'（﹣1，2），
A'向下平移4個單位，得到C（﹣1，﹣2），
故選：D．

4．（4分）如圖，△AOB中，∠B＝25°，將△AOB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)60°，得到△A′OB′，邊A′B′與邊OB交于點C（A′不在OB上），則∠A′CO的度數(shù)為（　?。?br />
A．105° B．95° C．85° D．75°
【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠B＝∠B'＝25°，∠BOB'＝60°，由外角的性質(zhì)可求解．
【解答】解：∵將△AOB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)60°，得到△A′OB′，
∴∠B＝∠B'＝25°，∠BOB'＝60°，
∴∠A'CO＝∠B'+∠BOB'＝85°，
故選：C．
5．（4分）如圖，直線l1∥l2，現(xiàn)將一個含30°角的直角三角板的銳角頂點B放在直線l2上，將三角板繞點B旋轉(zhuǎn)，使直角頂點C落在l1與l2之間的區(qū)域，邊AC與直線l1相交于點D，若∠1＝35°，則圖中的∠2的度數(shù)是（　?。?br />
A．65° B．75° C．85° D．80°
【分析】過A作CE∥l1，得到CE∥l1∥l2，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠3，進而求得∠4，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可求出答案．
【解答】解：過C作CE∥l1，

∵l1∥l2，
∴CE∥l1∥l2，
∴∠3＝∠1＝35°，
∴∠4＝90°﹣∠3＝55°，
∴∠2＝180°﹣∠4﹣∠ABC＝180°﹣55°﹣60°＝65°．
故選：A．
6．（4分）如圖，在△AOB中，AO＝2，BO＝AB＝3．將△AOB繞點O逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到△A′OB′，連接AA′．則線段BB′的長為（　　）

A．2 B．2 C．3 D．3
【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BO＝B'O＝3，∠BOB'＝90°，由勾股定理可求解．
【解答】解：∵將△AOB繞點O逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°，
∴BO＝B'O＝3，∠BOB'＝90°，
∴BB'＝＝＝3，
故選：D．
7．（4分）問題：“如圖1，平面上，正方形內(nèi)有一長為12，寬為6的矩形紙片，它可以在正方形的內(nèi)部及邊界通過移轉(zhuǎn)（即平移或旋轉(zhuǎn)）的方式，自由地從橫放移轉(zhuǎn)到豎放，求正方形邊長的最小整數(shù)n．”甲、乙、丙三名同學(xué)分別作了自認為邊長最小的正方形，求出該正方形的邊長x，再取最小整數(shù)n．
甲：如圖2，思路是當x為矩形對角線長時就可以移轉(zhuǎn)過去；結(jié)果取n＝13．
乙：如圖3，思路是當x為矩形外接圓直徑長時就可以移轉(zhuǎn)過去；結(jié)果取n＝14．
丙：如圖4，思路是當x為矩形的長與寬之和時就可以移轉(zhuǎn)過去；結(jié)果取n＝18．
對甲、乙、丙評價正確的是（　?。?br />
A．甲的思路錯，n值正確
B．乙的思路對，n值正確
C．丙的思路對，n值正確
D．甲、乙的思路都錯，丙的思路對
【分析】根據(jù)矩形長為12寬為6，可得矩形的對角線長為：，由矩形在該正方形的內(nèi)部及邊界通過平移或旋轉(zhuǎn)的方式，自由地從橫放變換到豎放，可得該正方形的邊長不小于6，進而可得正方形邊長的最小整數(shù)n的值．
【解答】解：∵矩形長為12寬為6，
∴矩形的對角線長為：，
∵矩形在該正方形的內(nèi)部及邊界通過平移或旋轉(zhuǎn)的方式，自由地從橫放變換到豎放，
∴該正方形的邊長不小于6，
∵13＜6＜14，
∴該正方形邊長的最小正數(shù)n為14．
∴甲的思路正確，長方形對角線最長，只要對角線能通過就可以，但是計算錯誤，應(yīng)為n＝14；
乙的思路與計算都正確；
丙的思路與計算都錯誤；
故選：B．
8．（4分）如圖，在等邊△ABC中，D是邊AC上一動點，連接BD，將△BCD繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△BAE，連接ED，若BC＝10，則△AED的周長的最小值是（　?。?br />
A．10 B． C． D．20
【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BD＝BE，∠DBE＝60°，CD＝AE，可證△DBE是等邊三角形，可得BD＝DE＝6，當BD⊥AC時，BD的值最?。芍苯侨切蔚男再|(zhì)可得出答案．
【解答】解：∵將△BCD繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△BAE，
∴BD＝BE，∠DBE＝60°，CD＝AE，
∴△DBE是等邊三角形，
∴BD＝DE＝6，
∴△AED的周長＝AE+AD+DE＝CD+AD+DE＝AC+BD，
∴BD的值最小時，△AED的周長有最小值，
當BD⊥AC時，BD的值最?。?br /> ∵∠C＝60°，
∴BD＝5，
∴△AED的周長的最小值是10+5．
故選：C．
9．（4分）如圖，將長方形ABCD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)到長方形AB'C'D'的位置，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜90°），若∠1＝120°，則∠α等于（　?。?br />
A．25° B．30° C．45° D．65°
【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠D'＝∠D＝90°，∠DAD'＝α，由四邊形內(nèi)角和定理可求∠BAD'的度數(shù)，即可求解．
【解答】解：∵將長方形ABCD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)到長方形AB'CD'的位置，
∴∠D'＝∠D＝90°，∠DAD'＝α，
∵∠BAD'＝360°﹣∠ABC﹣∠D'﹣∠1，
∴∠BAD'＝360°﹣90°﹣90°﹣120°＝60°，
∴∠DAD'＝30°，
故選：B．
10．（4分）如圖，點P是等邊三角形ABC內(nèi)一點，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，則∠APB的度數(shù)是（　?。?br />
A．90° B．100° C．120° D．150°
【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得BE＝BP＝4，AE＝PC＝5，∠PBE＝60°，則△BPE為等邊三角形，得到PE＝PB＝4，∠BPE＝60°，根據(jù)勾股定理的逆定理可得到△APE為直角三角形，且∠APE＝90°，即可得到∠APB的度數(shù)
【解答】解：∵△ABC為等邊三角形，
∴BA＝BC，
如圖，將△BPC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得△BEA，連接EP，

∴BE＝BP＝4，AE＝PC＝5，∠PBE＝60°，
∴△BPE為等邊三角形，
∴PE＝PB＝4，∠BPE＝60°，
在△AEP中，AE＝5，AP＝3，PE＝4，
∴AE2＝PE2+PA2，
∴△APE為直角三角形，且∠APE＝90°，
∴∠APB＝90°+60°＝150°．
故選：D．
11．（4分）如圖Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是斜邊AB的中點，將△ABC繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)，點C落在CD的延長線上的E處，點B落在F處，若AC＝4，BC＝2，則CE的長為（　　）

A．7.5 B．6 C．6.4 D．6.5
【分析】過點A作AH⊥CE于點H，根據(jù)勾股定理可得AB的長，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得CD的長，根據(jù)，可得AH的長，根據(jù)勾股定理可得CH的長，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)進一步可得CE的長．
【解答】解：過點A作AH⊥CE于點H，如圖所示：

∵∠ACB＝90°，AC＝4，
根據(jù)勾股定理，得AB＝10，
∵D是AB的中點，
∴CD＝AB＝5，
∵，
∴，
即，
解得AH＝，
∵AC＝，
根據(jù)勾股定理，可得CH＝3.2，
根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得AC＝AE，
∴點H是CE的中點，
∴CE＝2CH＝6.4，
故選：C．
12．（4分）如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，F(xiàn)為BC中點，P是線段BC上一點，設(shè)BP＝m（0＜m≤4），連結(jié)AP并將它繞點P順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PE，連結(jié)CE、EF，則在點P從點B向點C的運動過程中，有下面四個結(jié)論：①當m≠2時，∠EFP＝135°；②點E到邊BC的距離為m；③直線EF一定經(jīng)過點D；④CE的最小值為．其中結(jié)論正確的是（　?。?br />
A．①② B．②③ C．②③④ D．③④
【分析】分兩種情況討論，由“AAS”可證△BAP≌△HPE，△BAP≌△MPE，可得BP＝EH＝m，AB＝PH＝2，EM＝BP＝m，PM＝AB＝2，可得m≠2時，∠EFP＝45°或135°，點E到BC的距離為m，點D在直線EF上，故①錯誤，②③正確，由等腰直角三角形的性質(zhì)可求CE的最小值為，故④正確，即可求解．
【解答】解：如圖1，當點P在線段BF上時，過點E作EH⊥BC于H，

∵F為BC中點，
∴CF＝BF＝2，
∵將AP繞P順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PE，
∴AP＝PE，∠APE＝90°＝∠ABP＝∠PHE，
∴∠BPA+∠EPH＝90°，∠BAP+∠BPA＝90°，
∴∠BAP＝∠EPH，
在△BAP和△HPE中，
，
∴△BAP≌△HPE（AAS），
∴BP＝EH＝m，AB＝PH＝2，
∴FH＝PH﹣PF＝2﹣（2﹣m）＝m，
∴EH＝FH，
∴∠EFH＝45°，
∴∠EFP＝135°，
∵CD＝CF＝2，
∴∠DFC＝45°，
∴點D在直線EF上，
當點P在點F右邊時，如圖2，

過點E作EM⊥BC，交BC的延長線于點M，
在△BAP和△MPE中，
，
∴△BAP≌△MPE（AAS），
∴EM＝BP＝m，PM＝AB＝2，
∴FM＝FP+PM＝（m﹣2）+2＝m，
∴EM＝FM，
∴∠EFM＝45°，
∵∠DFC＝45°，
∴點D在直線EF上，
綜上所述：m≠2時，∠EFP＝45°或135°，點E到BC的距離為m，點D在直線EF上，故①錯誤，②③正確，
∵點E在DF上運動，
∴當CE⊥DF時，CE有最小值，如圖3，

∵CD＝CF，∠DCF＝90°，CE⊥DF，
∴DF＝CD＝2，CE＝DE＝EF＝，
∴CE的最小值為，故④正確，
故選：C．
二、填空題（本題共4個小題，每小題4分，共16分，答題請用黑色墨水筆或簽字筆直接答在答題卡相應(yīng)的位置上）
13．（4分）如圖，邊長為2的等邊△ABO在平面直角坐標系的位置如圖所示，點O為坐標原點，點A在x軸上，以點O為旋轉(zhuǎn)中心，將△ABO按順時針方向旋轉(zhuǎn)120°，得到△OA'B′，則點A′的坐標為　?。?br />
【分析】首先根據(jù)旋轉(zhuǎn)確定OB′在x軸上，然后利用等邊三角形的性質(zhì)與勾股定理即可確定B的坐標．
【解答】解：∵△ABC為等邊三角形，
∴∠AOB＝60°，
而以點O為旋轉(zhuǎn)中心，將△ABO按順時針方向旋轉(zhuǎn)120°，得到△OA'B′，
∴OB′在x軸上，
如圖，過A′作A′M⊥OB′于M，
∴∠OA′M＝30°，OM＝MB′，
又OB′＝2，
∴OM＝1，
根據(jù)勾股定理得A′M＝，
則點A′的坐標為（1，）．
故答案為：（1，）．

14．（4分）如圖，在矩形ABCD中，AC是對角線．將矩形ABCD繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°到矩形GBEF位置，H是EG的中點．若AB＝6，BC＝8，則線段CH的長為　　．

【分析】首先過點H作HM⊥BC于點M，由將ABCD繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°到GBEF位置，AB＝6，BC＝8，可得BE＝BC＝8，∠CBE＝90°，BG＝AB＝6，又由H是EG的中點，易得HM是△BEG的中位線，繼而求得HM與CM的長，由勾股定理即可求得線段CH的長．
【解答】解：過點H作HM⊥BC于點M，
∵將ABCD繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°到GBEF位置，AB＝6，BC＝8，
∴BE＝BC＝8，∠CBE＝90°，BG＝AB＝6，
∴HM∥BE，
∵H是EG的中點，
∴MH＝BE＝4，BM＝GM＝BG＝3，
∴CM＝BC﹣BM＝8﹣3＝5，
在Rt△CHM中，CH＝＝＝．
故答案為：．

15．（4分）如圖，邊長為2的等邊三角形ABC中，E是對稱軸AD上的一個動點，連接CE將線段CE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到CF，連接DF，則在點E運動過程中，DF的最小值是　 ?。?br />
【分析】取AC的中點G，則CG＝CD，利用SAS證明△CDE≌△CGF，得∠FGC＝∠EDC＝90°，則點F在直線BG上運動，根據(jù)垂線段最短從而解決問題．
【解答】解：取AC的中點G，則CG＝CD，

∵將線段CE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到CF，
∴CE＝CF，∠ECF＝60°，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ACB＝60°，
∴∠DCE＝∠ACF，
∴△CDE≌△CGF（SAS），
∴∠FGC＝∠EDC＝90°，
∴點F在直線BG上運動，
過點D作DH⊥BG，此時DF的最小值即為DH，
∵BD＝BC＝1，
∴DH＝，
故答案為：．
16．（4分）如圖，在平面直角坐標系中，點A，B，C的坐標分別為（1，1），（3，0），（2，﹣1）．點M從坐標原點O出發(fā)，第一次跳躍到點M1，使得點M1與點O關(guān)于點A成中心對稱；第二次跳躍到點M2，使得點M2與點M1關(guān)于點B成中心對稱；第三次跳躍到點M3，使得點M3與點M2關(guān)于點C成中心對稱；第四次跳躍到點M4，使得點M4與點M3關(guān)于點A成中心對稱；…，依此方式跳躍，點M2022的坐標是　 ?。?br />
【分析】畫出圖形，探究規(guī)律，利用規(guī)律解決問題即可．
【解答】解：如圖，由題意，M1（2，2），M2（4，﹣2），M3（0，0），

發(fā)現(xiàn)3次應(yīng)該循環(huán)，
∵2022÷3＝674，
∴M2022的坐標與M3的坐標相同，即M2022（0，0）．
故答案為：（0，0）．
三、解答題（本題共8個小題，共86分，答題請用黑色墨水筆或簽字筆直接答在答題卡相應(yīng)的位置上，解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明步驟或演算步驟.）
17．（8分）如圖，在邊長為1的正方形組成的網(wǎng)格中建立直角坐標系，△AOB的頂點均在格點上，點O為原點，點A、B的坐標分別是A（3，2）、B（1，3）．
（1）將△AOB向下平移4個單位，則點B的對應(yīng)點坐標為　 ?。?br /> （2）將△AOB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°后得到△A1OB1，請在圖中作出△A1OB1；
（3）求△A1OB1的面積．

【分析】（1）利用平移變換的性質(zhì)作出圖形，可得結(jié)論；
（2）利用旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)作出圖形即可；
（3）把三角形的面積看成矩形的面積減去周圍的三個三角形面積即可．
【解答】解：（1）如圖，△A′B′C′即為所求，B′（1，﹣1）．
故答案為：（1，﹣1）；
（2）如圖，△A1OB1即為所求；
（3）△A1OB1的面積＝3×3﹣×1×2﹣×2×3﹣×1×3＝3.5．

18．（8分）如圖，將等邊△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°，得到△ADC，分別過點A、點C作BC、AD邊上的高，交BC、AD于點E、F．
（1）求證：四邊形AECF是矩形；
（2）連接BD，若AB＝3，求BD的長．

【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AB＝AC＝BC，∠ACB＝60°，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到AC＝CD，∠ACD＝60°，得到△ACD是等邊三角形，得到∠DAC＝60°，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到EA⊥AD，根據(jù)矩形的判定定理即可得到結(jié)論；
（2）連接BD交AC于O，由（1）知，△ACD是等邊三角形，推出四邊形ABCD是菱形，得到AC⊥BD，∠ABO＝∠ABC＝30°，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．
【解答】（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠ACB＝60°，
∵將等邊△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°，得到△ADC，
∴AC＝CD，∠ACD＝60°，
∴△ACD是等邊三角形，
∴∠DAC＝60°，
∴∠DAC＝∠ACB，
∴AD∥BC，
∵AE⊥BC，CF⊥AD，
∴EA⊥AD，
∴∠AEC＝∠EAF＝∠AFC＝90°，
∴四邊形AECF是矩形；
（2）解：連接BD交AC于O，
由（1）知，△ACD是等邊三角形，
∴AD＝CD＝AC＝AB＝BC，
∴四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∠ABO＝∠ABC＝30°，
∴AO＝AB＝，
∴BD＝2BO＝2×＝3．

19．（10分）如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，先把△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°至△EDC后，再把△ABC沿射線BC平移至△GFE，DE、FG相交于點H．
（1）判斷線段DE、FG的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）連結(jié)AG，求證：四邊形ACEG是正方形．

【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)和平移的性質(zhì)可得∠BAC＝∠CED，∠ABC＝∠GFE，由余角的性質(zhì)可得結(jié)論；
（2）由旋轉(zhuǎn)和平移的性質(zhì)可得AC＝GE，AC∥GE，AC＝CE，∠ACE＝90°，可得結(jié)論．
【解答】（1）解：DE⊥FG，理由如下：
∵把△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°至△EDC，
∴∠BAC＝∠CED，
∵把△ABC沿射線BC平移至△GFE，
∴∠ABC＝∠GFE，
∵∠BAC+∠ABC＝90°，
∴∠CED+∠GFE＝90°，
∴∠FHE＝90°，
∴DE⊥GF；
（2）∵把△ABC沿射線BC平移至△GFE，
∴AC＝GE，AC∥GE，
∴四邊形ACEG是平行四邊形，
∵把△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°至△EDC，
∴AC＝CE，∠ACE＝90°，
∴四邊形ACEG是正方形．
20．（10分）如圖，△ABC與△ACD為正三角形，點O為射線CA上的動點，作射線OM與射線BC相交于點E，將射線OM繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到射線ON，射線ON與射線CD相交于點F．
（1）如圖1，點O與點A重合時，點E，F(xiàn)分別在線段BC，CD上，求證：△AEC≌△AFD；
（2）如圖2，當點O在CA的延長線上時，E，F(xiàn)分別在線段BC的延長線和線段CD的延長線上，請寫出CE、CF、CO三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

【分析】（1）利用SAS證明△AEC≌△AFD即可得出結(jié)論；
（2）過點O作OH∥BC，交CF于H，可知△COH是等邊三角形，再利用ASA證明△OHF≌△OCE，從而解決問題．
【解答】（1）證明：∵△ABC與△ACD為正三角形，
∴AB＝AC＝BC＝AD＝CD，∠BAC＝∠BCA＝∠ADC＝∠DAC＝60°，
∵將射線OM繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)60°，
∴AE＝AF，∠EAF＝60°，
∴∠BAC＝∠CAD＝∠EAF＝60°，
∴∠EAC＝∠DAF，且AC＝AD，AE＝AF，
在△AEC與△AFD中，
，
∴△AEC≌△AFD（SAS），
（2）解：CE+CO＝CF，
理由：如圖，過點O作OH∥BC，交CF于H，

∴∠HOC＝∠BCA＝60°，∠OHC＝∠HCE＝60°，
∴△COH是等邊三角形，
∴OC＝CH＝OH，
∵∠EOF＝∠COH＝∠CHO＝∠BCA＝60°，
∴∠COE＝∠FOH，∠OCE＝∠OHF＝120°，OH＝OC，
在△OHF與△OCE中，
，
∴△OHF≌△OCE（ASA），
∴CE＝FH，
∵CF＝CH+FH，
∴CF＝CO+CE．
21．（12分）如圖所示，點P的坐標為（1，3），把點P繞坐標原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°后得到點Q．
（1）寫出點Q的坐標是　 ??；
（2）若把點Q向右平移a個單位長度，向下平移a個單位長度后，得到的點M（m，n）落在第四象限，求a的取值范圍；
（3）在（2）條件下，當a取何值，代數(shù)式m2+2n+5取得最小值．

【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)即可解決問題．
（2）根據(jù)不等式組即可解決問題．
（3）利用配方法解決問題即可．
【解答】解：（1）由題意：Q（﹣3，1）．
故答案為（﹣3，1）．

（2）把點Q（﹣3，1）向右平移a個單位長度，向下平移a個單位長度后，
得到的點M的坐標為（﹣3+a，1﹣a），而M在第四象限，則有，
解得a＞3，
即a的范圍為a＞3．
（3）由（2）得，m＝﹣3+a，n＝1﹣a
∴m2+2n+5＝（a﹣3）2+2（1﹣a）+5
＝a2﹣6a+9+2﹣2a+5
＝a2﹣8a+16
＝（a﹣4）2
∵（a﹣4）2≥0，
∴當a＝4時，代數(shù)式m2+2n+5的最小值為0．
22．（12分）如圖，平行四邊形ABCD中，AB⊥AC，AB＝1，BC＝．對角線AC，BD
相交于點O，將直線AC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，分別交BC，AD于點E，F(xiàn)．
（1）證明：當旋轉(zhuǎn)角為90°時，四邊形ABEF是平行四邊形；
（2）證明：在旋轉(zhuǎn)過程中，線段AF與EC總保持相等；
（3）在旋轉(zhuǎn)過程中，當AC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)多少度時，四邊形BEDF是菱形，請給出證明．

【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的判定定理證明．
（2）通過三角形全等證明．
（3）根據(jù)菱形的性質(zhì)和判定求解．
【解答】（1）證明：如圖：

∵平行四邊形ABCD中，AD∥BC，
∴AF∥BE，
∵旋轉(zhuǎn)角為90°時，∠AOF＝90°，
∵AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
∴∠BAC＝∠AOF，
∴AB∥EF，
∴四邊形ABEF是平行四邊形．
（2）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OA＝OC，AD∥BC，
∴∠OAF＝∠OCE，
∵∠AOF＝∠COE，
∴△AOF≌△COE（ASA）．
∴AF＝CE．
∴在旋轉(zhuǎn)過程中，線段AF與EC總保持相等．
（3）當AC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)45度時，四邊形BEDF是菱形．
理由如下：
由（2）知：AF＝CE，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴DF＝BE，DF∥BE，
∴四邊形BEDF是平行四邊形．
如圖：

∵AB⊥AC，AB＝1，BC＝，
∴AC＝＝2，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AO＝AC＝1，
∴AO＝AB，
∵AB⊥AC，
∴∠AOB＝45°
∵AC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)45度，
∴∠AOF＝45°，
∴∠BOF＝90°，
∴EF⊥BD．
∴四邊形BEDF是菱形．
23．（12分）如圖，已知正方形ABCD的面積為S．
（1）求作：四邊形A1B1C1D1，使得點A1和點A關(guān)于點B對稱，點B1和點B關(guān)于點C對稱，點C1和點C關(guān)于點D對稱，點D1和點D關(guān)于點A對稱；（只要求畫出圖形，不要求寫作法）
（2）用S表示（1）中作出的四邊形A1B1C1D1的面積S1；
（3）若將已知條件中的正方形改為任意四邊形，面積仍為S，并按（1）的要求作出一個新的四個邊形，面積為S2，則S1與S2是否相等，為什么？

【分析】（1）根據(jù)對稱的性質(zhì)可知．使得點A1和點A關(guān)于點B對稱，即是連接AB并延長相同的長度找到對應(yīng)點A′，其它三點同樣的方法找到對應(yīng)點，順次連接．
（2）設(shè)正方形ABCD的邊長為a，根據(jù)兩個正方形邊長的比值，利用面積比等于相似比，來求小正方形的面積．
（3）相等．因為一個四邊形可以分成兩個三角形，根據(jù)三角形的面積公式，等底等高的三角形面積相等．
【解答】解：（1）如圖①所示．
（2）設(shè)正方形ABCD的邊長為a，
則AA1＝2a，S△AA1D1＝?AA1?AD1＝a2，
同理，S△BB1A1＝S△CC1B1＝S△DD1C1＝a2，
∴S1＝S△AA1D1+S△BB1A1+S△CC1B1+S△DD1C1+S正方形ABCD＝5a2＝5S．
（本問也可以先證明四邊形A1B1C1D1是正方形，再求出其邊長為a，從而算出S四邊形A1B1C1D1＝5S）
（3）S1＝S2
理由如下：
首先畫出圖形②，連接BD、BD1，
∵△BDD1中，AB是中線，
∴S△ABD1＝S△ABD．
又∵△AA1D1中，BD1是中線，
∴S△ABD1＝S△A1BD1
∴S△AA1D1＝2S△ABD
同理，得S△CC1B1＝2S△CBD
∴S△AA1D1+S△CC1B1＝2（S△ABD+S△CBD）＝2S．
同理，得S△BA1B1+S△DD1C1＝2S，
∴S2＝S△AA1D1+S△BB1A1+S△CC1B1+S△DD1C1+S四邊形ABCD＝5S．
由（2）得，S1＝5S．
∴S1＝S2．
24．（14分）如圖，有一副直角三角板如圖1放置（其中∠D＝45°，∠C＝30°），PA，PB與直線MN重合，且三角板PAC，三角板PBD均可以繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)．
（1）在圖1中，∠DPC＝　 ??；
（2）①如圖2，若三角板PBD保持不動，三角板PAC繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速為10°/秒，轉(zhuǎn)動一周三角板PAC就停止轉(zhuǎn)動，在旋轉(zhuǎn)的過程中，當旋轉(zhuǎn)時間為多少時，有PC∥DB成立；
②如圖3，在圖1基礎(chǔ)上，若三角板PAC的邊PA從PN處開始繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速為3°/秒，同時三角板PBD的邊PB從PM處開始繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速為2°/秒，當PC轉(zhuǎn)到與PA重合時，兩三角板都停止轉(zhuǎn)動，在旋轉(zhuǎn)過程中，當∠CPD＝∠BPM時，求旋轉(zhuǎn)的時間是多少？

【分析】（1）根據(jù)平角的定義即可得到結(jié)論；
（2）①如圖1，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠CPN＝∠DBP＝90°，求得∠APN＝30°，于是得到結(jié)論；如圖2，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠CPB＝∠DBP＝90°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到∠CPA＝60°，求得∠APM＝30°，于是得到結(jié)論；
②設(shè)旋轉(zhuǎn)的時間為t秒，由題知，∠APN＝3t°，∠BPM＝2t°，根據(jù)周角的定義得到∠CPD＝360°﹣∠BPD﹣∠BPN﹣∠APN﹣∠APC＝360°﹣45°﹣（180°﹣2t°）﹣（3t°）﹣60°＝75°﹣t°，列方程即可得到結(jié)論．
【解答】解：（1）∵∠BPD＝∠D＝45°，∠APC＝60°，
∴∠DPC＝180°﹣45°﹣60°＝75°，
故答案為：75°；
（2）①如圖1，此時，BD∥PC成立，
∵PC∥BD，∠DBP＝90°，
∴∠CPN＝∠DBP＝90°，
∵∠C＝30°，
∴∠CPA＝60°，
∴∠APN＝30°，
∵轉(zhuǎn)速為10°/秒，
∴旋轉(zhuǎn)時間為3秒；
如圖2，PC∥BD，
∵PC∥BD，∠PBD＝90°，
∴∠CPB＝∠DBP＝90°，
∵∠C＝30°，
∴∠CPA＝60°，
∴∠APM＝30°，
∵三角板PAC繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)D的角度為180°+30°＝210°，
∵轉(zhuǎn)速為10°/秒，
∴旋轉(zhuǎn)時間為21秒，
綜上所述，當旋轉(zhuǎn)時間為3或21秒時，PC∥DB成立；
②設(shè)旋轉(zhuǎn)的時間為t秒，由題知，∠APN＝3t°，∠BPM＝2t°，
∴∠BPN＝180°﹣∠BPM＝180°﹣2t°，
∴∠CPD＝360°﹣∠BPD﹣∠BPN﹣∠APN﹣∠APC＝360°﹣45°﹣（180°﹣2t°）﹣（3t°）﹣60°＝75°﹣t°，
當∠CPD＝∠BPM，即2t°＝75°﹣t°，
解得：t＝25，
∴當∠CPD＝∠BPM，求旋轉(zhuǎn)的時間是25秒．

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