1探索勾股定理【學習目標】1．  體驗勾股定理的探索過程并理解勾股定理反映的直角三角形的三邊之間的數(shù)量關(guān)系，會初步運用勾股定理進行簡單的計算和實際運用．2．掌握勾股定理及其驗證，并能應用勾股定理解決一些實際問題.3．通過對幾種常見的勾股定理驗證方法的分析和欣賞，理解數(shù)學知識之間的內(nèi)在聯(lián)系；4.經(jīng)歷綜合運用已有知識解決問題的過程，加深對勾股定理、整式運算、面積等的認識。【學習策略】情景創(chuàng)設激發(fā)興趣，再通過幾個探究活動引導學生從探究等腰直角三角形這一特殊情形入手，自然過渡到探究一般直角三角形，學生通過觀察圖形，計算面積，分析數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)直角三角形三邊的關(guān)系，進而得到勾股定理．學習過程 一情境導入：2002年世界數(shù)學家大會在我國北京召開，投影顯示本屆世界數(shù)學家大會的會標：會標中央的圖案是一個與“勾股定理”有關(guān)的圖形，數(shù)學家曾建議用“勾股定理”的圖來作為與“外星人”聯(lián)系的信號．今天我們就來一同探索勾股定理．  二.新課學習：1、你能發(fā)現(xiàn)各圖中三個正方形的面積之間有何關(guān)系嗎？圖中的較小的兩個正方形面積分別記為，較大那個正方形的面積記為；則有：                     （1）          （2）                      圖（1）中，=     =     =  ，   圖（2）中，=      =     =     。學生通過觀察，歸納發(fā)現(xiàn)：結(jié)論1  以等腰直角三角形兩直角邊為邊長的小正方形的面積的和，等于          的正方形的面積．2、由結(jié)論1我們自然產(chǎn)生聯(lián)想：一般的直角三角形是否也具有該性質(zhì)呢？（1）觀察下面兩幅圖：   第①個圖中，=      ，=       ，=        。第②個圖中，=      ，=       ，=        。（2）你是怎樣得到正方形C的面積的？與同伴交流。你發(fā)現(xiàn)了什么？ 學生通過分析數(shù)據(jù)，歸納出：結(jié)論2  以直角三角形兩直角邊為邊長的小正方形的面積的和，等于             的正方形的面積．3、（1）你能用直角三角形的邊長、、來表示上圖中正方形的面積嗎？（2）你能發(fā)現(xiàn)直角三角形三邊長度之間存在什么關(guān)系嗎？勾股定理：如果直角三角形兩直角邊長分別為、，斜邊長為，那么                  即直角三角形             的平方和等于      的平方。利用拼圖的方法驗證勾股定理，請你利用自己準備的四個全等的直角三角形，拼出一個以斜邊為邊長的正方形.（請每位同學用2分鐘時間獨立拼圖，然后再4人小組討論.）小組討論得到兩個圖形：   （1）如圖1你能表示大正方形的面積嗎？能用兩種方法嗎？（學生先獨立思考，再4人小組交流）；（2）你能由此得到勾股定理嗎？為什么？ 例題：飛機在空中水平飛行，某一時刻剛好飛到一個男孩子頭頂上方4000米處，過了20秒，飛機距離這個男孩子頭頂5000米，飛機每小時飛行多少千米？三.嘗試應用：1、在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝13，BC＝5，則AC的長為（     ）A.5          B.12        C.13          D.182、已知Rt△ABC中，∠C＝90°，若cm，cm，則Rt△ABC的面積為（　?。?/span>A.24cm2　　　  B.36cm2　　　　C.48cm2　　　　D.60cm23、若△ABC中，∠C=90°，（1）若a=5，b=12，則c=        ；（2）若a=6，c=10，則b=       ；（3）若a∶b=3∶4，c=10，則a=       ，b=       。4、如圖，陰影部分是一個半圓，則陰影部分的面積為　　　　　。（不取近似值）5、一個直角三角形的斜邊為20cm ,且兩直角邊長度比為3:4，求兩直角邊的長。6、一個長為10m為梯子斜靠在墻上，梯子的頂端距地面的垂直高度為8m，梯子的頂端下滑2m后，底端向外滑動了多少米？五.達標測試一、選擇題1．已知一個直角三角形的兩邊長分別為3和4，則第三邊長的平方是（　　）A．25  B．7  C．5和7  D．25或72．已知x、y為正數(shù)，且|x2﹣4|+（y2﹣3）2=0，如果以x、y的長為直角邊作一個直角三角形，那么以這個直角三角形的斜邊為邊長的正方形的面積為（　?。〢．5 B．25 C．7 D．153．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，分別以點A和點B為圓心，以相同的長（大于AB）為半徑作弧，兩弧相交于點M和點N，作直線MN交AB于點D，交BC于點E．若AC=3，AB=5，則DE等于（　?。?/span>A．2  B．  C．   D．二、填空題4．已知等腰三角形的腰長為5，一腰上的高為3，則以底邊為邊長的正方形的面積為　  　．5．如圖，Rt△ABC的周長為，以AB、AC為邊向外作正方形ABPQ和正方形ACMN．若這兩個正方形的面積之和為25 cm2，則△ABC的面積是　　cm2．6. 將一根24cm的筷子，置于底面直徑為15cm，高8cm的圓柱形水杯中，如圖所示，設筷子露在杯子外面的長度為hcm，則h的取值范圍是　         　． 　三、解答題7．一游泳池長48m，小方和小朱進行游泳比賽，小方平均速度為3m/秒，小朱為3.1m/秒．但小朱一心想快，不看方向沿斜線游，而小方直游，倆人到達終點的位置相距14m．按各人的平均速度計算，誰先到達終點？8. 如圖，四邊形ABCD中∠A=60°，∠B=∠D=90°，AB=2，CD=1，求四邊形ABCD的面積．9. 如圖，O為數(shù)軸原點，A，B兩點分別對應﹣3，3，作腰長為4的等腰△ABC，連接OC，以O為圓心，CO長為半徑畫弧交數(shù)軸于點M，求點M對應的實數(shù)．        參考答案達標測試答案：一、選擇題1．【解析】選D．分兩種情況：①當3和4為直角邊長時，由勾股定理得：第三邊長的平方，即斜邊長的平方=32+42=25；②4為斜邊長時，由勾股定理得：第三邊長的平方=42﹣32=7；綜上所述：第三邊長的平方是25或7.【點評】本題考查了勾股定理；熟練掌握勾股定理，并能進行推理計算是解決問題的關(guān)鍵，注意分類討論，避免漏解. 2. 【解析】選C．依題意得：x2﹣4=0，y2﹣3=0，∴x=2，y=，斜邊長==，所以正方形的面積=（）2=7．【點評】本題考查勾股定理與非負數(shù)，解這類題的關(guān)鍵是利用直角三角形，用勾股定理來尋求未知系數(shù)的等量關(guān)系. 3. 【解析】選C．在Rt△ACB中，由勾股定理得：BC==4，連接AE，從作法可知：DE是AB的垂直平分線，根據(jù)性質(zhì)得出AE=BE，在Rt△ACE中，由勾股定理得：AC2+CE2=AE2，即32+（4﹣AE）2=AE2，解得：AE=，在Rt△ADE中，AD=AB=，由勾股定理得：DE2+（）2=（）2，解得：DE=．【點評】本題考查線段垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理的應用，能靈活運用勾股定理得出方程是解題的關(guān)鍵..二、填空題4．【解析】：由題意可作圖．如圖1，AC=5，CD=3，CD⊥AB，根據(jù)勾股定理可知：D==4，∴BD=1．∴BC2=12+32=10．如圖2，AC=5，CD=3，CD⊥AB，根據(jù)勾股定理可知：AD==4，∴BD=9，∴BC2=92+32=90．答案：10或90．【點評】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，作出圖形利用三角形知識求解即可。注意分類討論. 5．【解析】：如圖，a2=c2+b2=25，則a=5．又∵Rt△ABC的周長為，∴a+b+c=5+3，∴b+c=3（cm）．∴△ABC的面積=bc=[（c+b）2﹣（c2+b2）]÷2=[（3）2﹣25]÷2=5（cm2）．答案：5． 【點評】本題考查了勾股定理的應用，解答此題時，巧妙運用了完全平方公式的變形來求△ABC的面積. 6. 【解析】：如圖，當筷子的底端在D點時，筷子露在杯子外面的長度最長，∴h=24﹣8=16cm；當筷子的底端在A點時，筷子露在杯子外面的長度最短，在Rt△ABD中，AD=15，BD=8，∴AB==17，∴此時h=24﹣17=7cm，所以h的取值范圍是7cm≤h≤16cm．答案：7cm≤h≤16cm．【點評】本題考查了勾股定理的應用，能夠讀懂題意和求出h值最大值與最小值是解題的關(guān)鍵.　三、解答題7. 【解答】解：如圖，AB表示小方的路線，AC表示小朱的路線，由題意可知，AB=48，BC=14，在直角三角形ABC中，AC===50，小方用時：=16秒，小朱用時=16秒，因為16＜16，所以小方用時少，即小方先到達終點．【點評】本題主要是運用勾股定理求出直角三角形的斜邊長.8. 【解析】如圖，延長AD、BC交于E．∵∠B=90°，∠A=60°，∴∠E=90°﹣60°=30°，在Rt△ABE和Rt△CDE中，∵AB=2，CD=1，∴AE=2AB=2×4，CE=2CD=2×1=2，由勾股定理得，BE==2，DE==，∴S四邊形ABCD=×2×2﹣××1，=2﹣，=．【點評】本題考查的是勾股定理，熟知中任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊的長的平方是解答此題的關(guān)鍵. 9.　 【解析】：∵△ABC為等腰三角形，OA=OB=3，∴OC⊥AB，在Rt△OBC中，OC===，∵以O為圓心，CO長為半徑畫弧交數(shù)軸于點M，∴OM=OC=，∴點M對應的數(shù)為．【點評】

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