某班有兩個課外活動小組,第一小組有足球票6張,排球票4張;第二小組有足球票4張,排球票6張.事件A為“甲從第一小組的10張票中任抽1張”,事件B為“乙從第二小組的10張票中任抽1張”.事件A,B之間有怎樣的關(guān)系?
一、乘法公式與全概率公式1.乘法公式:由條件概率的計(jì)算公式P(B|A)= 可知,P(BA)=P(A)P(B|A),這就是說,根據(jù)事件A發(fā)生的概率,以及已知事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率,可以求出A與B同時發(fā)生的概率.一般地,這個結(jié)論稱為乘法公式.
微練習(xí)1已知P(A)=0.3,P(B|A)=0.2,則P(BA)=　　　　　.?解析:P(BA)=P(A)·P(B|A)=0.3×0.2=0.06.答案:0.06微練習(xí)2已知P(A)=0.5,P(B|A)=0.3,P(B| )=0.4,則P(B)=　　　　　.?解析:P(B)=P(A)·P(B|A)+P( )·P(B| )=0.5×0.3+0.5×0.4=0.35.答案:0.35
微練習(xí)3已知P(A)=0.6,P(B|A)=0.4,P(B| )=0.3,則P(B)=(　　)解析:P(B)=P(A)P(B|A)+P( )P(B| )=0.6×0.4+0.4×0.3=0.36.答案:A
二、獨(dú)立性與條件概率的關(guān)系1.事件的相互獨(dú)立性:一般地,當(dāng)P(AB)=P(A)P(B)時,就稱事件A與B相互獨(dú)立(簡稱獨(dú)立).事件A與B相互獨(dú)立的直觀理解是,事件A是否發(fā)生不會影響事件B發(fā)生的概率,事件B是否發(fā)生也不會影響事件A發(fā)生的概率.
2.獨(dú)立性與條件概率的關(guān)系:當(dāng)P(B)>0且P(AB)=P(A)P(B)時,由條件概率的計(jì)算公式有 ,即P(A|B)=P(A).這就是說,此時事件A發(fā)生的概率與已知事件B發(fā)生時事件A發(fā)生的概率相等,也就是事件B的發(fā)生,不會影響事件A發(fā)生的概率.類似地,可以看出,如果P(A|B)=P(A),那么一定有P(AB)=P(A)P(B).因此,當(dāng)P(B)>0時,A與B獨(dú)立的充要條件是P(A|B)=P(A).這也就同時說明,當(dāng)P(A|B)≠P(A)時,事件B的發(fā)生會影響事件A發(fā)生的概率,此時A與B是不獨(dú)立的.事實(shí)上,“A與B獨(dú)立”也經(jīng)常被說成“A與B互不影響”等.
乘法公式與全概率公式例11號箱中有2個白球和4個紅球,2號箱中有5個白球和3個紅球,現(xiàn)隨機(jī)地從1號箱中取出一球放入2號箱,然后從2號箱隨機(jī)取出一球.問從2號箱取出紅球的概率是多少?
反思感悟 復(fù)雜事件概率的求法求復(fù)雜事件的概率,往往可以把它分解成若干個互不相容的簡單事件之并,然后利用條件概率和乘法公式,求出這些簡單事件的概率,最后利用概率的可加性,得到最終結(jié)果,這一方法的一般化就是全概率公式.
變式訓(xùn)練1甲、乙、丙三人向同一飛機(jī)射擊,設(shè)甲、乙、丙射中的概率分別為0.4,0.5,0.7,又設(shè)只有一人射中,飛機(jī)墜落的概率為0.2,若有二人射中,飛機(jī)墜落的概率為0.6,若有三人射中,飛機(jī)必墜落.求飛機(jī)墜落的概率.解:記A={飛機(jī)墜落},Bi={i個人射中飛機(jī)},i=1,2,3.B1={甲射中,乙、丙未射中}+{乙射中,甲、丙未射中}+{丙射中,甲、乙未射中},∴P(B1)=0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7=0.36.同理P(B2)=0.6×0.5×0.7+0.4×0.5×0.7+0.4×0.5×0.3=0.41.P(B3)=0.4×0.5×0.7=0.14.再由題設(shè),P(A|B1)=0.2,P(A|B2)=0.6,P(A|B3)=1.利用全概率公式,
事件獨(dú)立性的判斷例2把一顆質(zhì)地均勻的骰子任意地?cái)S一次,判斷下列各組事件是否獨(dú)立?(1)A={擲出偶數(shù)點(diǎn)},B={擲出奇數(shù)點(diǎn)};(2)A={擲出偶數(shù)點(diǎn)},B={擲出3的倍數(shù)點(diǎn)};(3)A={擲出偶數(shù)點(diǎn)},B={擲出的點(diǎn)數(shù)小于4}.
反思感悟 兩個事件是否獨(dú)立的判斷(1)直接法:由事件本身的性質(zhì)直接判定兩個事件發(fā)生是否相互影響.(2)定義法:當(dāng)P(AB)=P(A)P(B)時,事件A,B獨(dú)立.(3)條件概率法:當(dāng)P(A)>0時,可用P(B|A)=P(B)判斷.
變式訓(xùn)練2判斷下列事件是否獨(dú)立.(1)甲組有3名男生,2名女生;乙組有2名男生,3名女生.現(xiàn)從甲、乙兩組中各選1名同學(xué)參加演講比賽,“從甲組中選出1名男生”與“從乙組中選出1名女生”.(2)容器內(nèi)盛有5個白乒乓球和3個黃乒乓球,“從8個球中任意取出1個,取出的是白球”與“從剩下的7個球中任意取出1個,取出的還是白球”.
解:(1)“從甲組中選出1名男生”這一事件是否發(fā)生,對“從乙組中選出1名女生”這一事件是否發(fā)生沒有影響,所以兩個事件獨(dú)立.
相互獨(dú)立事件概率的計(jì)算例3小王某天乘火車從重慶到上海去辦事,若當(dāng)天從重慶到上海的三列火車正點(diǎn)到達(dá)的概率分別為0.8,0.7,0.9,假設(shè)這三列火車之間是否正點(diǎn)到達(dá)互不影響.求:(1)這三列火車恰好有兩列正點(diǎn)到達(dá)的概率;(2)這三列火車至少有一列正點(diǎn)到達(dá)的概率.分析(1)這三列火車之間是否正點(diǎn)到達(dá)互不影響,因此本題是相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率問題,注意兩列正點(diǎn)到達(dá)所包含的情況.(2)這三列火車至少有一列正點(diǎn)到達(dá)的對立事件是三列火車都沒正點(diǎn)到達(dá),這種情況比正面列舉簡單些,因此利用對立事件的概率公式求解.
反思感悟 與相互獨(dú)立事件有關(guān)的概率問題求解策略明確事件中的“至少有一個發(fā)生”“至多有一個發(fā)生”“恰好有一個發(fā)生”“都發(fā)生”“都不發(fā)生”“不都發(fā)生”等詞語的意義.一般地,已知兩個事件A,B,它們的概率分別為P(A),P(B),那么:(1)A,B中至少有一個發(fā)生為事件A+B.(2)A,B都發(fā)生為事件AB.
它們之間的概率關(guān)系如表所示:
延伸探究 本例條件下,求恰有一列火車正點(diǎn)到達(dá)的概率.
方程(組)思想在概率中的應(yīng)用(1)分別求甲、乙、丙三臺機(jī)床各自加工的零件是一等品的概率;(2)從甲、乙、丙加工的零件中各取一個檢驗(yàn),求至少有一個是一等品的概率.分析設(shè)甲、乙、丙三臺機(jī)床各自加工的零件是一等品為事件A,B,C,由題意可建立關(guān)于P(A),P(B),P(C)的方程組,從而確定P(A),P(B),P(C);再由對立事件和獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率公式求解.
解:(1)設(shè)甲、乙、丙三臺機(jī)床各自加工的零件是一等品為事件A,B,C.
方法點(diǎn)睛 已知基本事件的概率求與其有關(guān)的事件的概率時,通常分析相關(guān)事件的性質(zhì),利用條件概率公式、相互獨(dú)立事件公式直接求解;若已知基本事件的相關(guān)概率求基本事件的概率,則需要在分析相關(guān)事件的性質(zhì)后,構(gòu)建方程(組)求解.
1.擲一枚硬幣兩次,記事件A=“第一次出現(xiàn)正面”,B=“第二次出現(xiàn)反面”,則有(　　)A.A與B相互獨(dú)立B.P(A∪B)=P(A)+P(B)C.A與B互斥D.P(AB)=解析:事件A的發(fā)生與否對事件B的發(fā)生沒有影響,故A正確;由于A與B可以同時發(fā)生,所以事件A與B不互斥,故B,C錯誤;對于選項(xiàng)D,∵A,B相互獨(dú)立,∴P(AB)=P(A)·P(B)= ,∴D錯誤.答案:A
3.在一只布袋中有形狀大小一樣的32顆棋子,其中有16顆紅棋子,16顆綠棋子.某人無放回地依次從中摸出1顆棋子,則第1次摸出紅棋子,第2次摸出綠棋子的概率是　　　　　.?

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高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)選擇性必修 第二冊電子課本

4.1.1 條件概率

版本： 人教B版 (2019)

年級： 選擇性必修 第二冊

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